陳玉龍，劉世忠

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

波形鋼腹板組合箱梁因其特殊的構(gòu)造和優(yōu)于普通混凝土箱梁的力學(xué)特性，在當(dāng)今橋梁工程中應(yīng)用廣泛。其自身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)主要體現(xiàn)在波形鋼腹板組合箱梁在外力荷載作用下，波形鋼腹板承受截面上很大部分的剪力，混凝土頂?shù)装逯饕惺芙孛嫔系膹澗?，充分利用了各材料的力學(xué)性能。但由于翼板的剪切變形造成的彎曲正應(yīng)力沿梁寬方向不均勻的“剪力滯”現(xiàn)象[1]存在于各種結(jié)構(gòu)形式的箱梁中，因此同樣要對(duì)波形鋼腹板組合箱梁進(jìn)行剪力滯效應(yīng)的研究分析，以便更好地為設(shè)計(jì)和實(shí)際應(yīng)用提供可靠的理論依據(jù)。關(guān)于波形鋼腹板剪力滯現(xiàn)象的研究，國(guó)內(nèi)學(xué)者采用不同的方法進(jìn)行了大量的研究工作。MA等[2]采用新的空間網(wǎng)格模型來研究波形鋼腹板組合梁剪力滯效應(yīng)，建立了對(duì)應(yīng)的斜拉橋?qū)嶓w模型驗(yàn)證了該方法的有效性和準(zhǔn)確性，SHAO等[3]通過模型試驗(yàn)和截面實(shí)測(cè)應(yīng)力數(shù)據(jù)對(duì)剪力滯現(xiàn)象進(jìn)行了分析，周勇超等[4]利用最小勢(shì)能原理分別研究了等截面和變截面波形鋼腹板組合梁的剪力滯效應(yīng)，周茂定等[5]采用三桿比擬桿法對(duì)波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁的剪力滯系數(shù)進(jìn)行了分析，姜瑞娟等[6]采用能量變分法分別研究了幾何參數(shù)對(duì)波形鋼腹板簡(jiǎn)支和連續(xù)箱梁剪力滯效應(yīng)的影響。上述方法都是在計(jì)算中以等厚度的翼板為前提條件進(jìn)行剪力滯分析，對(duì)翼板變厚度波形鋼腹板箱梁的剪力滯效應(yīng)分析鮮有報(bào)道。同時(shí)在進(jìn)行箱梁剪力滯分析時(shí)，選用的剪滯翹曲位移函數(shù)也有很大差異，XU[7]將剪滯翹曲位移函數(shù)按照三次拋物線方程進(jìn)行剪力滯系數(shù)計(jì)算，CHENG等[8]將剪滯翹曲位移模式設(shè)為余弦函數(shù)進(jìn)行剪力滯效應(yīng)下的撓度計(jì)算，肖軍等[9]按照四次拋物線方程利用變分法求解了剪力滯控制微分方程及其解析解，以上方法對(duì)于剪力滯效應(yīng)的解析解計(jì)算精度有不同程度的影響，因此，選用適當(dāng)?shù)募魷N曲位移函數(shù)也是研究分析的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。張?jiān)５萚10]在分析翼板面內(nèi)的剪切變形時(shí)，驗(yàn)證了剪滯翹曲縱向位移函數(shù)以二次拋物線形式分布的正確性，因此，本文在進(jìn)行剪力滯效應(yīng)分析時(shí)選用這一函數(shù)形式。同時(shí)，倪元增等[11]認(rèn)為如果想要得到更加精確的理論值，剪滯翹曲縱向位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足全截面軸力自相平衡這一附加條件，該條件在文獻(xiàn)[10]中已被證實(shí)是可有效提高計(jì)算精度的。為了能夠更加準(zhǔn)確地研究翼板變厚度的單箱雙室波形鋼腹板箱梁的剪力滯效應(yīng)，本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，以翼板變厚度的單箱雙室波形鋼腹板箱梁為研究對(duì)象，結(jié)合波形鋼腹板箱梁受力特點(diǎn)，采用變分法的最小勢(shì)能原理，建立了翼板變厚度單箱雙室波形鋼腹板箱梁在考慮剪滯效應(yīng)和剪切變形雙重影響的基本微分方程并進(jìn)行推導(dǎo)求解，得到翼板變厚度單箱雙室波形鋼腹板箱梁剪力滯效應(yīng)的分析方法，并利用有限元分析值對(duì)解析值進(jìn)行驗(yàn)證。

1 翼板變厚度單箱雙室波形鋼腹板剪滯基本微分方程的建立及求解

1.1 基本假定

1)忽略波形鋼腹板對(duì)抗彎承載力的貢獻(xiàn)；

2)在豎向荷載作用下，截面處混凝土上、下翼板滿足平截面假定；

3)波形鋼腹板與混凝土上、下翼板之間連接良好且共同工作，不發(fā)生相對(duì)滑移；

4)不考慮鋼筋對(duì)截面剛度的影響。

1.2 基本原理

如圖1所示的翼板變厚度單箱雙室波形鋼腹板箱梁，在任意豎向外力荷載q(z)作用下，截面發(fā)生撓曲變形，為更好地描述箱梁截面上任一點(diǎn)的縱向位移，選用滿足軸向剪滯翹曲應(yīng)力自平衡的二次拋物線為翼板縱向位移差函數(shù)，同時(shí)給出組合箱梁豎向撓度w(z)和考慮了剪切變形的縱向位移u(x,y,z)2個(gè)廣義位移的表達(dá)式為：

圖1 外力荷載及波形鋼腹板箱梁橫斷面簡(jiǎn)圖Fig.1 Diagram of external load and cross section of corrugated steel web box girder

Ge可通過式(3)進(jìn)行計(jì)算[12]：

式中：G為鋼材的理論剪切模量，a,b,c分別為計(jì)算需用到的波形鋼腹板幾何尺寸值，h為波高值，如圖2所示。

圖2 波形鋼腹板幾何尺寸圖Fig.2 Geometrical size drawing of corrugated steel web

本文在對(duì)翼板變厚度單箱雙室波形鋼腹板進(jìn)行計(jì)算分析時(shí)，選用的翼板剪滯翹曲縱向位移差函數(shù)如下[13]：

d為使箱梁橫截面滿足軸向剪滯翹曲應(yīng)力平衡條件而考慮的常數(shù)位移值，因本文計(jì)算分析中上、下翼板為變厚度形式，其計(jì)算表達(dá)式較為繁瑣，詳見式(19)，b1,b2,b3,h1,h2表示見圖1。對(duì)于翼板剪滯翹曲縱向位移差函數(shù)，參照文獻(xiàn)[10]有如下公式：

根據(jù)式(2)可知，截面上任一點(diǎn)的縱向正應(yīng)變和面內(nèi)剪切變形為：

由式(6)～(7)可得，翼板變厚度單箱雙室波形鋼腹板的頂?shù)装鍛?yīng)變能及鋼腹板應(yīng)變能如下：

組合箱梁受到外力作用后的外力勢(shì)能為：

則截面箱梁體系的總勢(shì)能為：

式(10)中：

Gc及Ec分別為混凝土的剪切模量和彈性模量，Au1,Au2,Ad分別為翼板變厚度箱梁的內(nèi)頂板，懸臂板及底板橫截面面積。

由式(11)微分方程組可得翼板變厚度單箱雙室波形鋼腹板箱梁的剪滯微分方程為：

解微分方程可得：

式中：C1與C2為與邊界條件有關(guān)的常系數(shù)；D為與Q(z)有關(guān)的特解。

于是根據(jù)胡克定律，可得橫截面上任一點(diǎn)的縱向正應(yīng)力和剪力滯系數(shù)為：

通過上述計(jì)算，可以看出，翼板變厚度單箱雙室波形鋼腹板的剪力滯控制微分方程與文獻(xiàn)[13]中的等厚度單箱雙室波形鋼腹板的剪力滯控制微分方程形式具有相似性，但I(xiàn)ωζ,Iyωζ及Iω′由于翼板厚度發(fā)生變化，等厚度條件下的計(jì)算方法不再適用，因此需要重新推導(dǎo)求解。

2 均布荷載及集中荷載作用下的單箱雙室翼板變厚度波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁的剪滯效應(yīng)分析

2.1 單箱雙室翼板變厚度波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁在集中荷載作用下的剪滯分析

如圖3所示，一跨長(zhǎng)為l的波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁在集中荷載作用下，

圖3 波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁受集中荷載作用Fig.3 Simply supported box girder with corrugated steel webs subjected to concentrated load

當(dāng)0≤z≤a時(shí)，令ξ=,M1(z)=ξPz,Q1(z)=ξP；

當(dāng)a

將以上表達(dá)式代入式(12)可得：

根據(jù)以上4個(gè)邊界條件及其構(gòu)成的4個(gè)方程式，可得：

所以當(dāng)0≤z≤a時(shí)，將u1代入式(14)有：

當(dāng)a

2.2 單箱雙室翼板變厚度波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁在均布荷載作用下的剪滯分析

如圖4所示，一跨長(zhǎng)為l的波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁在集中荷載作用下，根據(jù)力學(xué)關(guān)系可得：，將其代入式(12)可得：

圖4 波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁受均布荷載作用Fig.4 Simply supported box girder with corrugated steel webs under uniform load

將C1,C2及u代入式(14)可得：

3 翼板變厚度單箱雙室波形鋼腹板箱梁截面慣性矩常數(shù)計(jì)算

鑒于已有文獻(xiàn)[4?6,13]等在進(jìn)行波形鋼腹板組合箱梁剪力滯后效應(yīng)分析時(shí)，都按照等厚度翼板條件下的箱梁分析，這與工程實(shí)際中的箱梁翼板形式存在較大差異，因此本文將以變厚度翼板為研究對(duì)象進(jìn)行分析。由前述單箱雙室翼板變厚度波形鋼腹板剪滯微分方程可知，式中的Iωζ,Iyωζ及Iω′計(jì)算方法不同于翼板等厚度情況，本文按照翼板面積等效原則，以翼板厚度沿箱梁橫截面方向線性變化作為新的條件，仍以原有翼板面積不變?yōu)樵瓌t進(jìn)行分析，因此在進(jìn)行等效計(jì)算時(shí)，截面的抗彎剛度不發(fā)生變化。

如圖5所示的箱梁橫截面，y1和y2分別為頂板下緣的表達(dá)式，y3和y4分別為底板的上緣表達(dá)式，y5則為懸臂板的下緣表達(dá)式，上述表達(dá)式的方程為：

圖5 箱梁橫斷面Fig.5 Cross section of box girder

根據(jù)變厚度翼板的各上、下緣方程表達(dá)式，將式(4)代入式(5)，即可解得常數(shù)位移值d為：

式(19)中的y′11和y′12分別為圖6(b)中的頂板處A11,A21和A12,A22的各截面形心到中性軸的距離，y′21和y′22則為底板處簡(jiǎn)化后的相應(yīng)截面形心到中性軸的距離，A則為圖5整個(gè)橫截面面積。

圖6 箱梁左頂板Fig.6 Box beam left roof

如圖6所示，對(duì)變厚度翼板進(jìn)行等效計(jì)算時(shí)，可將實(shí)際結(jié)構(gòu)中的翼板面積從圖6(a)向圖6(b)進(jìn)行簡(jiǎn)化，由于翼板厚度相較于箱梁梁高很小，因此為方便計(jì)算，簡(jiǎn)化前后整個(gè)截面的中性軸位置保持不變，對(duì)于懸臂板和底板的計(jì)算也采用同樣的等效方法，不再贅述。

以圖6為例，利用箱梁左頂板尺寸及式(10)中Iωζ,Iyωζ及Iω′的計(jì)算公式對(duì)翼板變厚度箱梁不同含義的參數(shù)慣性矩進(jìn)行推導(dǎo)求解：

式(20)～(22)即為圖6中頂板A11和A12面積下的截面慣性矩計(jì)算公式，對(duì)于頂板另一半面積A21和A22，通過計(jì)算也可得到相似公式，只是公式中的φ1需改寫為φ2，其余系數(shù)均不變，由式(18)得：φ1=φ2，因此可得翼板變厚度箱梁左頂板有Iωζ=Iωζ1+Iωζ2=2Iωζ1，Iyωζ=Iyωζ1+Iyωζ2=2Iyωζ1，Iω′=Iω′1+Iω′2=2Iω′1。

由于實(shí)際應(yīng)用中，箱梁橫截面大多具有對(duì)稱性，對(duì)于頂板處右邊的Iωζ,Iyωζ及Iω′則可利用橫截面的對(duì)稱性進(jìn)行求解，同樣對(duì)于底板及懸臂板的各慣性矩?cái)?shù)值，利用圖6中的簡(jiǎn)化方式及式(20)～(22)以及箱梁橫截面的對(duì)稱性均可求得，限于篇幅，不再介紹。

4 翼板變厚度單箱雙室波形鋼腹板箱梁剪滯效應(yīng)算例

4.1 均布荷載作用下的剪滯效應(yīng)分析

本文算例的幾何尺寸參考文獻(xiàn)[14]算例中的幾何跨度和橫截面尺寸，將文獻(xiàn)[14]算例中的橫截面尺寸簡(jiǎn)化為與圖6相似的形式，再按照本文介紹的計(jì)算方法進(jìn)行理論分析。已知混凝土彈性模量為34.5 GPa，泊松比為0.167，波形鋼腹板彈性模量為206 GPa，泊松比為0.283，在簡(jiǎn)支箱梁跨中部位按照文獻(xiàn)[14]中的布載方式布置q=30 kN/m的均布荷載，圖7為按照文獻(xiàn)[14]算例中的實(shí)際截面建立的有限元模型圖，圖8為按照本文要求簡(jiǎn)化后的截面尺寸，并在截面相應(yīng)位置設(shè)置計(jì)算點(diǎn)，最后將計(jì)算結(jié)果及有限元分析值一并列于表1中。

圖7 有限元模型Fig.7 Finite element model

圖8 箱梁橫截面簡(jiǎn)化圖Fig.8 Simplified cross section of box girder

通過表1中的結(jié)果對(duì)比可以看出，以本文方法計(jì)算得到的結(jié)果與有限元軟件分析所得結(jié)果除在頂板下緣個(gè)別計(jì)算點(diǎn)處誤差達(dá)到10%左右外，其余各計(jì)算點(diǎn)的結(jié)果誤差相對(duì)較小，最小誤差可以達(dá)到0.92%，說明本文方法可以滿足工程實(shí)際的需要。

表1 均布荷載作用下跨中截面應(yīng)力分析值Table 1 Stress analysis value of mid-span section under uniformly distributed load

4.2 集中荷載作用下的剪滯效應(yīng)分析

對(duì)單箱雙室翼板變厚度波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁在集中荷載作用下進(jìn)行計(jì)算分析時(shí)，同樣按照文獻(xiàn)[14]算例中的荷載布置方式布置P=90 kN的集中荷載，由于在集中荷載作用點(diǎn)存在局部荷載效應(yīng)，因此在表2中不列出該處計(jì)算點(diǎn)的應(yīng)力值。

表2 集中荷載作用下跨中截面應(yīng)力分析值Table 2 Stress analysis value of mid-span section under concentrated load

由表2結(jié)果可以看出，在頂板部位各計(jì)算點(diǎn)的計(jì)算值與有限元分析值存在較大誤差，而在底板處誤差相對(duì)更小，最小誤差僅為0.87%，可見在集中荷載作用下進(jìn)行分析時(shí)，由于集中荷載局部效應(yīng)的影響，底板處的應(yīng)力對(duì)比情況要好于頂板處。

4.3 翼板變厚度與翼板等厚度在均布荷載作用下的剪滯效應(yīng)對(duì)比分析

若按照文獻(xiàn)[14]中將箱梁橫截面簡(jiǎn)化為翼板等厚度截面進(jìn)行剪力滯效應(yīng)分析時(shí)，只需將式(19)～(22)中的φ1,φ2,φ3,φ4,φ5代為0進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果分別列于表3和表4中，并與有限元分析值進(jìn)行比較。

根據(jù)表3的數(shù)據(jù)分析結(jié)果可知，在均布荷載作用下，按照翼板厚度不變計(jì)算時(shí)，6號(hào)與8號(hào)計(jì)算點(diǎn)理論值與有限元值最大誤差分別為44.3%和42.4%，這是由于在利用有限元分析時(shí)，應(yīng)力誤差要比位移誤差大一個(gè)量綱，所以出現(xiàn)較大的變化；同時(shí)在等厚度條件下，除頂板少數(shù)計(jì)算點(diǎn)分析誤差比表1變厚度條件下的分析誤差有減少外，其余各計(jì)算點(diǎn)分析誤差與變厚度分析誤差相比都有所增大，可見本文采用的變厚度計(jì)算方法要優(yōu)于等厚度計(jì)算分析。

表3 均布荷載作用下的跨中截面應(yīng)力分析值Table 3 Stress analysis value of mid-span section under uniformly distributed load

由圖9可以看出，在均布荷載作用下，對(duì)于頂?shù)装甯饔?jì)算點(diǎn)而言，本文方法的計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果吻合情況要優(yōu)于等厚度條件下的計(jì)算結(jié)果，說明本文方法具有更好的實(shí)用性。

由表4的計(jì)算結(jié)果可以看出，在頂板上緣和個(gè)別翼板厚度最小處，變厚度翼板剪滯效應(yīng)相比等厚度翼板剪滯效應(yīng)有所增加；而在截面其余計(jì)算點(diǎn)處，變厚度翼板剪滯效應(yīng)都要比等厚度翼板剪滯效應(yīng)有所減小。從圖9中可以看出，變厚度翼板剪滯效應(yīng)與有限元分析結(jié)果下的剪滯效應(yīng)吻合情況要好于等厚度翼板與有限元分析的吻合情況，可見利用變厚度計(jì)算方法，能夠更加精確地對(duì)波形鋼腹板組合梁剪滯效應(yīng)情況進(jìn)行分析。

表4 均布荷載作用下的跨中截面剪滯效應(yīng)對(duì)比Table 4 Comparison of shear lag effect of mid-span section under uniformly distributed load

圖9 均布荷載作用下的應(yīng)力對(duì)比Fig.9 Stress contrast under uniformly distributed load

4.4 翼板變厚度與翼板等厚度在集中荷載作用下的剪滯效應(yīng)對(duì)比分析

由表5的數(shù)據(jù)分析結(jié)果可以看出，在集中荷載作用下，按照翼板厚度不變計(jì)算時(shí)，9號(hào)計(jì)算點(diǎn)理論值與有限元值最大誤差為35.71%，比變厚度條件下的分析誤差增大了12%；除4號(hào)計(jì)算點(diǎn)分析誤差比表2中變厚度條件下的分析誤差減少2.12%外，其余各計(jì)算點(diǎn)分析誤差與變厚度分析誤差相比都有所增大，可見變厚度分析方法的實(shí)效性更好。

表5 集中荷載作用下的跨中截面應(yīng)力分析值Table 5 Stress analysis value of mid-span section under concentrated load

由圖10可以看出，在集中荷載作用下，對(duì)于頂?shù)装甯饔?jì)算點(diǎn)而言，按照本文方法計(jì)算的結(jié)果與有限元分析結(jié)果吻合情況也要好于按照等厚度方法計(jì)算的結(jié)果與有限元分析結(jié)果的吻合情況，說明本文方法更貼合工程實(shí)際情況。

圖10 集中荷載作用下的應(yīng)力對(duì)比Fig.10 Stress contrast under concentrated load

由表6的分析結(jié)果可知，除頂板上緣處變厚度翼板剪滯效應(yīng)比等厚度翼板剪滯效應(yīng)有所增大外，在其余各計(jì)算點(diǎn)處，變厚度翼板剪滯效應(yīng)都要比等厚度翼板剪滯效應(yīng)有所減?。磺覐膱D10中可以看出，變厚度翼板剪滯效應(yīng)與有限元分析結(jié)果下的剪滯效應(yīng)吻合情況也要優(yōu)于等厚度翼板與有限元分析的吻合情況，可見變厚度翼板剪滯效應(yīng)要比等厚度翼板剪滯效應(yīng)更接近工程實(shí)際中的剪滯效應(yīng)現(xiàn)象。

表6 集中荷載作用下的跨中截面剪滯效應(yīng)對(duì)比Table 6 Comparison of shear lag effect of mid-span section under concentrated load

5 結(jié)論

1)在進(jìn)行箱梁剪滯效應(yīng)分析時(shí)，選取滿足軸向剪滯翹曲應(yīng)力自平衡的二次拋物線為翼板縱向位移差函數(shù)，并利用翼板面積等效原則對(duì)變厚翼板單箱雙室波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁進(jìn)行剪滯效應(yīng)分析所得的解析解與有限元分析值吻合良好，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

2)對(duì)變厚翼板單箱雙室波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁進(jìn)行剪滯效應(yīng)分析時(shí)，均布荷載作用下的應(yīng)力誤差要明顯小于集中荷載作用下的應(yīng)力誤差，是由于集中荷載作用位置附近的應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)所致。

3)采用翼板變厚度和等厚度計(jì)算方法分別對(duì)單箱雙室波形鋼腹板簡(jiǎn)支箱梁進(jìn)行剪滯效應(yīng)分析時(shí)，前者計(jì)算得到的應(yīng)力誤差比后者計(jì)算得到的應(yīng)力誤差最大可減少33%，可見將復(fù)雜形狀變厚翼板等效為線形變厚翼板進(jìn)行剪力滯剪切雙重效應(yīng)分析，不僅極大簡(jiǎn)化計(jì)算，而且提高了計(jì)算精度。

4)在均布荷載和集中荷載分別作用下，變厚度翼板剪滯效應(yīng)總體來說要比等厚度翼板剪滯效應(yīng)有所減小，并且變厚度翼板剪滯效應(yīng)更接近實(shí)際工程中的剪滯效應(yīng)現(xiàn)象，因此在工程結(jié)構(gòu)分析中，可以通過變厚度翼板剪滯效應(yīng)計(jì)算方法來對(duì)工程實(shí)際中的組合梁剪滯效應(yīng)現(xiàn)象進(jìn)行分析。