聶磊 蔡文濤 黃一凡 董正瓊

摘要：? 掌握微藻生長環(huán)境中的溫度、硝酸鹽濃度、氧氣濃度等參數(shù)的變化規(guī)律有利于提高生物產(chǎn)出量。本研究利用鈍頂螺旋藻全生長周期中的大量環(huán)境參數(shù)，引入時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，通過極大似然估計(jì)，得到線性回歸模型，同時(shí)引入狀態(tài)空間預(yù)測(cè)方法，將低維的線性模型映射到高維空間，以消除低維空間下模型的不準(zhǔn)確性。為評(píng)估模型的有效性，采用了杜賓-瓦特森檢驗(yàn)法、圖像法、均方根誤差、平均絕對(duì)誤差和最大誤差等評(píng)估方法和指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估和驗(yàn)證。預(yù)測(cè)結(jié)果顯示，自回歸滑動(dòng)平均模型和自回歸滑動(dòng)平均-卡爾曼濾波模型均可用于預(yù)測(cè)微藻生長的環(huán)境參數(shù);與前者相比，后者預(yù)測(cè)誤差更小，模型擬合更精確，能更好地揭示鈍頂螺旋藻生長過程中環(huán)境參數(shù)的內(nèi)在規(guī)律。

關(guān)鍵詞：? 鈍頂螺旋藻; 自回歸滑動(dòng)平均模型; 自回歸滑動(dòng)平均-卡爾曼濾波模型; 環(huán)境參數(shù)

中圖分類號(hào)：? Q949.2??? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A??? 文章編號(hào)：? 1000-4440（2021）05-1183-07

Prediction model of microalgae growth environment parameters based on time series

NIE Lei， CAI Wen-tao， HUANG Yi-fan， DONG Zheng-qiong

（College of Mechanical Engineering， Hubei University of Technology/Hubei Key Laboratory of Manufacture Quality Engineering， WuHan 430068， China）

Abstract：? Mastering the variation law of parameters such as temperature， nitrate concentration and oxygen concentration in the growth environment of microalgae is beneficial to improve the biological output. In this study， a large number of environmental parameters in the full growth cycle of ?Spirulina platensis ?were used， and the time series prediction method was introduced to obtain a linear regression model by maximum likelihood estimation， while a state space prediction method was introduced to map the low-dimensional linear model to the high-dimensional space to eliminate the inaccuracy of the model in the low-dimensional space. Evaluation methods and indicators such as the Durbin-Watson test， image method， root mean square error， mean absolute error and maximum error were used to assess the validity of the model. The prediction results showed that both the autoregressive moving average model and the autoregressive moving average-Kalman filter model could be used to predict the environmental parameters of microalgae growth. Compared with the autoregressive moving average， the autoregressive moving average-Kalman filter model has smaller prediction error and more accurate model fitting， which can better reveal the intrinsic patterns of environmental parameters during the growth of ?Spirulina platensis .

Key words：? ?Spirulina platensis ; autoregressive moving average model; autoregressive moving average-Kalman filter model; environmental parameters

在過去的二十年里，微藻細(xì)胞作為蛋白質(zhì)、維生素、必需氨基酸和脂肪酸的重要來源而受到關(guān)注? [1-5] 。螺旋藻是一種絲狀藍(lán)藻，它由藍(lán)綠色的圓柱形細(xì)胞的絲狀螺旋毛狀體組成? [6] ，可以在許多其他生物不適宜的環(huán)境中定居? [7] ，是微藻培養(yǎng)的典型藻種。螺旋藻被開發(fā)為“未來的食物”，因?yàn)樗哂斜绕渌孱惛咝У睾铣筛哔|(zhì)量濃縮食物的驚人能力。最值得注意的是，螺旋藻蛋白質(zhì)含量超過50%，所有必需氨基酸都處于完美平衡狀態(tài)。它的光合轉(zhuǎn)化率為8%～10%，相比之下，大豆等陸生植物只有3%。

戶外跑道池系統(tǒng)是當(dāng)下商業(yè)藻類生產(chǎn)最常用的方法? [8-10] ，它試圖最大限度地將太陽能和無機(jī)化學(xué)物質(zhì)轉(zhuǎn)化成高價(jià)值產(chǎn)品。目前，利用戶外跑道池系統(tǒng)培養(yǎng)藻類的運(yùn)營成本較高，其主要原因在于最佳種群密度、最適溫度難以維持以及過飽和光照度易引起高溶解氧水平降低等問題。針對(duì)上述問題，已有許多研究結(jié)果表明微藻的生長速度受到周圍環(huán)境參數(shù)的影響。例如， Baky等? [11] 比較了螺旋藻在不同氮濃度下的生長，結(jié)果表明，在氮限制條件下，螺旋藻的總類胡蘿卜素和總脂肪含量最高。Li等? [12] 采用CO? 2 吸收和微藻（CAMC）轉(zhuǎn)化混合系統(tǒng)，研究不同含氮量對(duì)微藻培養(yǎng)工藝性能的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng) NH? 4 HCO? 3? 與NaNO? 3 的比例為 1∶ 4時(shí)，復(fù)合工藝的碳利用率可達(dá)40.45%，高于傳統(tǒng)的微藻CO? 2 固定工藝（約 10%～ 30%）。李姿等? [13] 在恒溫條件下，比較了4個(gè)不同生長期內(nèi)的光照度和CO? 2 體積分?jǐn)?shù)的最適條件，得到的鈍頂螺旋藻最大生物量和固碳速率分別為4.126 ?g/L 和58.231 ?mg/（L·h） 。趙嶝科等? [14] 研究了Ni? 2+ 對(duì)螺旋藻生長的影響，試驗(yàn)結(jié)果表明，質(zhì)量濃度0.5 ?μg/ml 的Ni? 2+ 可促進(jìn)螺旋藻生長。掌握跑道池系統(tǒng)參數(shù)變化規(guī)律，預(yù)測(cè)未來參數(shù)數(shù)值，是實(shí)現(xiàn)微藻培養(yǎng)過程優(yōu)化的重要前提。

本研究以鈍頂螺旋藻為研究對(duì)象，采用時(shí)間序列模型對(duì)其培養(yǎng)過程中的溫度、硝酸鹽濃度和氧氣濃度等變量的變化進(jìn)行預(yù)測(cè)，隨后對(duì)時(shí)間序列模型進(jìn)行卡爾曼濾波，以消除單一模型預(yù)測(cè)的局限性，揭示微藻整個(gè)生長周期中環(huán)境變量的變化規(guī)律，為其延遲期、對(duì)數(shù)期前期、對(duì)數(shù)期后期和穩(wěn)定期中環(huán)境變量的調(diào)控提供依據(jù)，為發(fā)現(xiàn)低成本、高產(chǎn)出的微藻培養(yǎng)條件參數(shù)組合打下基礎(chǔ)。

1 材料與方法

1.1 試驗(yàn)材料及數(shù)據(jù)來源

1.1.1 試驗(yàn)材料? 試驗(yàn)材料為從美國模式培養(yǎng)物集存庫（American type culture collection，ATCC）中獲得的藍(lán)藻S.platensis 29408;戶外跑道池中接種1.5 L鈍頂螺旋藻和200.0 L培養(yǎng)基。

1.1.2 試驗(yàn)儀器? 四葉片漿輪，以6.875 ?r/min 速度旋轉(zhuǎn);Hobo數(shù)據(jù)記錄器;15 ml Falcon管;Dionex離子色譜儀DX-120;克拉克式氧微電極與Unisense皮安計(jì)。

1.1.3 試驗(yàn)環(huán)境? 試驗(yàn)地點(diǎn)在美國加利福尼亞州馬斯堡，室外跑道水池系統(tǒng)是在屋頂溫室中構(gòu)建的，在整個(gè)試驗(yàn)過程中，空氣溫度是唯一的控制因子。

1.1.4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)定? 溫度數(shù)據(jù)的測(cè)定：溫度數(shù)據(jù)（以攝氏度為單位）使用漂浮在每個(gè)滾道中的Hobo數(shù)據(jù)記錄器收集，每5 min測(cè)量1次，數(shù)據(jù)每周從數(shù)據(jù)記錄器下載。硝酸鹽濃度的測(cè)定：硝酸鹽濃度數(shù)據(jù)收集每周3次，從每個(gè)滾道每天收集的25 ml樣本中取10 ml以9 ?g 的速度在15 ml Falcon離心管中離心10 min，倒出上清液并儲(chǔ)存在30 ml閃爍小瓶中，儲(chǔ)存在 -20 ℃ 的冷凍室中，備用。使用型號(hào)為DX-120的Dionex離子色譜儀分析500 μl來自閃爍瓶的硝酸鹽樣品。氧氣濃度的測(cè)定：從每個(gè)滾道收集2份50 ml樣品來測(cè)量氧氣濃度，每周3次。首先，將克拉克式微電極耦合到Unisense皮安計(jì)上，放入樣品試管中，記錄下電極的電流，并采用兩點(diǎn)法對(duì)電極進(jìn)行校準(zhǔn)? [15] ，然后分別向2份樣品中通入氮?dú)夂涂諝饧s3 min，同時(shí)記錄電流，最后對(duì)照水飽和空氣溶氧表獲得此時(shí)的氧氣含量。

1.2 參數(shù)預(yù)測(cè)方法

1.2.1 時(shí)間序列模型的建立? 時(shí)間序列分析是一種處理隨時(shí)間變化的相關(guān)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)方法? [16-18] 。該方法的基本思想是：在不同的時(shí)間，同一變量的觀測(cè)值之間存在著一定的聯(lián)系，通過分析觀測(cè)值的序列，找出它所反映的事物發(fā)展過程和趨勢(shì)，然后進(jìn)行類推或延伸，以達(dá)到預(yù)測(cè)的目的? [19-22] 。時(shí)間序列分析中最常用的自回歸滑動(dòng)平均模型（Autoregressive moving average，ARMA）將平穩(wěn)的有色噪聲序列視為與時(shí)刻有關(guān)的序列，其一般形式為：

x k=φ 1x? k-1 +φ 2x? k-2 +…+φ px? k-p +ε k-θ 1ε? k-1 - θ 1ε? k-1 -… -θ qε? k-q?? （1）

其中， φ i <1（ i =1，2，…， p ），為回歸系數(shù); θ i <1 （ i = 1，2，…， q ），為滑動(dòng)平均系數(shù); p 、 q 為ARMA（ p ， ?q ）模型的階次; ε k 為誤差。當(dāng) q 為0時(shí)，該模型是自回歸模型AR（ p ），當(dāng) p 為0時(shí)，該模型是滑動(dòng)平均模型MA（ q ）。建立時(shí)序模型的步驟如圖1所示：

（1） 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

在對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行ARMA建模之前，要對(duì)序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。本研究采用ADF（Augmented dickey-fuller）檢驗(yàn)，也稱單根檢驗(yàn)，是一種時(shí)序模型建立常用的檢驗(yàn)方法。

（2） 差分

在實(shí)際測(cè)量中，由于測(cè)量目標(biāo)不斷變化，測(cè)量得到的數(shù)據(jù)是不平穩(wěn)的，不能對(duì)其直接進(jìn)行ARMA建模。差分處理，可以去除序列的趨勢(shì)性，對(duì)序列進(jìn)行一次差分處理后，得到的新序列通常可以滿足ARMA建模平穩(wěn)性的需求。

（3） 零均值化

對(duì)于錄入的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，選取若干個(gè)數(shù)據(jù)組成新的數(shù)據(jù)序列，并將其零均值化，處理數(shù)據(jù)速度快，能較好地符合建立ARMA模型所需的條件。

（4） 序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）

由ACF和PACF的圖像可以觀察數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)，同時(shí)根據(jù)圖像是否拖尾，來分別判斷模型中的自回歸部分 p 和滑動(dòng)平均部分 q 的最大值。二者計(jì)算公式如下：

ρ ^ ??k=n=k t=1 （x t-x - ）（x? t+k -x - ）n t=1 （x t-x - ） 2 ??（2）

φ ^ ???kk = ?D ^ ??k ?D ^ ????（3）

ρ ^ ??k 為第 k 個(gè)自相關(guān)函數(shù)， ?x? t? 為序列中第 t 個(gè)數(shù)據(jù)， x? - 為序列均值， x 為序列中第 t+k 個(gè)數(shù)據(jù)， D? ^ 為自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)互相轉(zhuǎn)換的系數(shù)矩陣，? D? ^ ??k是根據(jù)克拉默法則得到的矩陣。公式（3）中，

D ^ =

1? ?ρ ^ ??1? … ?ρ ^ ???k-1

ρ ^ ??1? 1? … ?ρ ^ ???k-2

ρ ^ ???k-1?? ρ ^ ???k-2? …? 1 ??;

D ^ ?k=

1? ?ρ ^ ??1? … ?ρ ^ ???1

ρ ^ ??1? 1? … ?ρ ^ ???2

ρ ^ ???k-1?? ρ ^ ???k-2? …?? ρ ^ ???k??? 。

（5） 模型的定階

赤池信息準(zhǔn)則 （Akaike information criterion，AIC）和貝葉斯信息準(zhǔn)則 （Bayesian information criterion，BIC）是ARMA建模常用的定階方法，本研究選取BIC準(zhǔn)則作為擬合模型的定階準(zhǔn)則。二者的計(jì)算方法如下：

BIC（p，q） =lg （σ 2? （p，q） ）+ p+q n ?lg n? （4）

AIC（p，q） =lg （σ 2? （p，q） ）+ 2 n （p+q）? （5）

公式（4）和（5）中， p 、 q 為ARMA模型的階數(shù)， σ 2? （p，q）? 為模型殘差的方差， n 為樣本個(gè)數(shù)。

（6） 模型檢驗(yàn)

模型定階后指定模型結(jié)構(gòu)，采用最小二乘法計(jì)算模型參數(shù)，對(duì)得到的模型需檢驗(yàn)其可用性，即檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臍埐钍欠駷榘自肼?，是否具有相關(guān)性，若模型殘差為白噪聲且不具有相關(guān)性，則模型可用;否則，模型不可用。

1.2.2 卡爾曼濾波模型的建立? 考慮到單一ARMA模型預(yù)測(cè)結(jié)果存在著滯后、不精確等問題，本研究采用卡爾曼濾波方法對(duì)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行修正，以時(shí)序模型建模得到的線性方程為卡爾曼濾波模型的狀態(tài)方程，以狀態(tài)方程為依據(jù)建立卡爾曼濾波模型的預(yù)測(cè)部分和修正部分，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)序模型的優(yōu)化。

卡爾曼濾波器（Kalman filter，KF）是一種以線性隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測(cè)方程為基本方程，用狀態(tài)方程進(jìn)行遞推，通過計(jì)算線性最小方差估計(jì)，濾除觀測(cè)數(shù)據(jù)及系統(tǒng)中噪聲和干擾的影響，從而得到最優(yōu)自回歸數(shù)據(jù)的處理算法? [23-24] 。卡爾曼濾波的基本公式如下：

X（k）=AX（k-1）+BU（k）+W（k）? （6）

Z（k）=HX（k）+V（k）? （7）

公式（6）和（7）中， X（k ）是 k 時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)，? U（k ） 是 k 時(shí)刻系統(tǒng)的控制量。 A 、 B 是系統(tǒng)的系數(shù)，對(duì)多變量系統(tǒng)模型，它們是矩陣。 Z（k ）是 k 時(shí)刻系統(tǒng)的測(cè)量值， H 是測(cè)量系統(tǒng)系數(shù)，對(duì)于多變量系統(tǒng)，它是矩陣。 W（k ）和 V（k ）分別是模型和測(cè)量過程的噪聲。

進(jìn)一步根據(jù)公式（6）和（7）推導(dǎo)出如下的卡爾曼濾波方程：

X（k|k-1）=AX（k-1|k-1）+BU（k）? （8）

P（k|k-1）=AP（k-1|k-1）A T+Q? （9）

X（k|k）=X（k|k-1）+Kg（k）[Z（k）-HX（k|k-1）]? （10）

Kg（k）=P（k|k-1）H T/[HP（k|k-1）H T+R]? （11）

P（k|k）=[1-Kg（k）H]P（k|k-1） ?（12）

公式（8）中， X（k|k -1）是利用上一狀態(tài)預(yù)測(cè)的結(jié)果， X（k -1| k -1）是上一狀態(tài)的最優(yōu)結(jié)果， U（k ）為控制量， P（k|k -1）是 X（k|k -1）對(duì)應(yīng)的協(xié)方差，? P（k -1| k -1） 是 X（k -1| k -1）對(duì)應(yīng)的協(xié)方差， Q 是系統(tǒng)過程的噪聲方差， R 是測(cè)量過程的噪聲方差， ?Kg（k） 為 k 時(shí)刻的卡爾曼增益， I 為全1矩陣。獲取ARMA模型后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測(cè)量方程可表示為：

X 1（k+1） X 2（k+1）? ? X p（k+1） =? φ 1 φ 2 … φ p? 1? 0? 0? 0? 0? 1? 0? 0? 0? 0? …? 1? X 1（k） X 2（k）? ?X p（k） + 1 θ 1 θ 2?θ q ω（k+1）? （13）

Z（k+1）= 1 0? ? 0? X 1（k+1） X 2（k+1）? ? X p（k+1） +v（k+1）? （14）

1.2.3 模型的評(píng)估與驗(yàn)證? 首先，采用殘差圖分析和QQ圖（分位數(shù)圖示法）分析對(duì)ARMA模型進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，然后利用相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)圖像法和杜賓-瓦特森（Durbin-watson，DW）法檢驗(yàn)其相關(guān)性，最后采用均方根誤差（ RMSE ）、平均絕對(duì)誤差（ MAE ）和誤差極差對(duì)整體的建模精度開展評(píng)估。

DW=? ?n k （e k-e? k-1 ） 2? ?n k e 2 k ??（15）

誤差極差=max （x k-x ^ ?k）? （16）

MAE= 1 nn k=1 |（x k-x ^ ?k）|? （17）

RMSE=? 1 nn k=1 （x k-x ^ ?k） 2 ??（18）

其中： e? k? 是 k 時(shí)刻的殘差， e? k??? -1 是 k -1時(shí)刻的殘差， x? k? 是 k 時(shí)刻序列實(shí)際值， x ^ ?k 是 k 時(shí)刻序列預(yù)測(cè)值， n 是樣本數(shù)量， DW 為杜賓-瓦特森統(tǒng)計(jì)量的值。

模型的相關(guān)性可通過計(jì)算 DW 值進(jìn)行評(píng)價(jià)，數(shù)值越接近2，說明模型不具有相關(guān)性，若其接近0或4，則說明模型分別有負(fù)相關(guān)和正相關(guān)的性質(zhì)，模型不可用。誤差極差評(píng)價(jià)模型誤差的最大波動(dòng)情況， MAE 評(píng)價(jià)模型整體的波動(dòng)， RMSE 衡量預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度可以說明模型預(yù)測(cè)值的離散程度。

2 結(jié)果與分析

2.1 自回歸滑動(dòng)平均-卡爾曼濾波模型的預(yù)測(cè)結(jié)果

選取培養(yǎng)微藻時(shí)的溫度、硝酸鹽濃度和氧氣濃度3種環(huán)境參數(shù)的數(shù)據(jù)作為ARMA模型的輸入，得到不同參數(shù)條件下ARMA模型表達(dá)式，以該表達(dá)式作為卡爾曼濾波模型的基本公式，最終得到自回歸滑動(dòng)平均-卡爾曼濾波模型（ARMA-KF）。擬合得到3種環(huán)境參數(shù)的ARMA模型階數(shù)及參數(shù)（表1），2種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2、圖3和圖4所示。其中，ARMA-KF模型所對(duì)應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的匹配程度最高，故可利用該模型預(yù)測(cè)微藻生長過程中環(huán)境參數(shù)的變化規(guī)律。

2.2 模型的評(píng)估與驗(yàn)證

2.2.1 模型的驗(yàn)證? 考慮到ARMA模型對(duì)混合模型的精度影響很大，對(duì)ARMA模型的相關(guān)性和正態(tài)性分別進(jìn)行了檢驗(yàn)，結(jié)果如圖5、圖6和圖7所示。由圖5、圖6、圖7中可以看出，標(biāo)準(zhǔn)化殘差十分平穩(wěn)，且QQ圖中大多數(shù)殘差落在圖中虛線上，可以判斷模型基本接近正態(tài)分布，由殘差的自相關(guān)函數(shù)圖與偏自相關(guān)函數(shù)可初步得出模型無相關(guān)性。通過DW方法檢驗(yàn)?zāi)Ｐ妥韵嚓P(guān)性得到檢驗(yàn)值分別為1.97、2.06、2.02，說明模型無相關(guān)性。此時(shí)，原始數(shù)據(jù)中有用的信息提取完畢，可對(duì)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2.2.2 模型的評(píng)估? 利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)建模的過程中，ARMA模型得到的擬合曲線存在著一定的誤差，且明顯滯后于實(shí)際曲線。將ARMA模型與卡爾曼濾波結(jié)合后，曲線的3個(gè)誤差指標(biāo)下降了約60%（表2）。說明ARMA-KF模型很適合運(yùn)用于鈍頂螺旋藻生長環(huán)境指標(biāo)的預(yù)測(cè)。

3 結(jié) 論

環(huán)境因素對(duì)微藻的生長有著重要的影響，也是限制微藻大量生產(chǎn)的主要因素。本研究建立的ARMA模型能夠?qū)ξ⒃迳L的環(huán)境因素如營養(yǎng)物質(zhì)濃度、氧氣濃度等進(jìn)行預(yù)測(cè)，但其存在局限性，即預(yù)測(cè)結(jié)果存在一定的滯后，而ARMA-KF模型能很好地消除ARMA模型的局限性，且其預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于單一的ARMA模型，大大地提高了模型的可用性。本研究模型可運(yùn)用于微藻生產(chǎn)的各項(xiàng)重要環(huán)境指標(biāo)參數(shù)的預(yù)測(cè)，為其生長過程的調(diào)控提供理論依據(jù)，同時(shí)也為其他微生物的生長過程預(yù)測(cè)提供了新思路。本模型對(duì)于變化較為緩慢的線性環(huán)境參數(shù)較為適用，對(duì)于環(huán)境參數(shù)變化較為劇烈的非線性參數(shù)適用性不強(qiáng)，下一步可采用自適應(yīng)的預(yù)測(cè)方法，將線性和非線性預(yù)測(cè)模型組合起來，進(jìn)一步掌握環(huán)境參數(shù)的變化規(guī)律。

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（責(zé)任編輯：陳海霞）