朱彥名 張振華

摘要：文章使用互補集合經(jīng)驗模態(tài)分解（CEEMD）和自回歸移動平均（ARIMA）組合預測模型對中美雙邊貿(mào)易進出口總額進行建模預測。傳統(tǒng)ARIMA模型的擬合精度較低，CEEMD-ARMA組合相比傳統(tǒng)時間序列模型預測精度更高，有效解決了原始數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)性。仿真結(jié)果表明，該模型優(yōu)于其他模型，能夠以一定的精度預測中美雙邊貿(mào)易額走勢。

關(guān)鍵詞：CEEMD;ARIMA;組合預測;中美雙邊貿(mào)易額

一、引言

改革開放以來，我國的經(jīng)濟迅速發(fā)展，進出口貿(mào)易的快速增長功不可沒。對外貿(mào)易作為拉動經(jīng)濟發(fā)展的三輛馬車之一，合理的預測其發(fā)展走勢是必不可少的，這對制定未來貿(mào)易戰(zhàn)略方針具有重大的指導性作用，對外貿(mào)易市場的進一步擴大，參與全球化經(jīng)濟競爭，保證我國經(jīng)濟平穩(wěn)快速增長，保證國民經(jīng)濟平穩(wěn)增長具有積極的意義。

進出口貿(mào)易是拉動經(jīng)濟增長和實現(xiàn)對外交流的重要工具，近年來我國對外貿(mào)易發(fā)展迅速，尤其是出口經(jīng)濟。但隨著國際形勢的日益復雜化和我國高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)核心競爭力升級，近年來中美貿(mào)易摩擦日益嚴重。美國以“貿(mào)易逆差”為由對中國發(fā)動貿(mào)易戰(zhàn)，實則是為了遏制中國的崛起。自2018年3月以來，美國針對中國推出三輪提高關(guān)稅政策。另一方面，美國指責中國“竊取知識產(chǎn)權(quán)”和“強迫技術(shù)轉(zhuǎn)讓”，體現(xiàn)出美國試圖妨礙中國發(fā)展高新技術(shù)。中美關(guān)稅增加，貿(mào)易摩擦的產(chǎn)生必然對中美雙邊貿(mào)易產(chǎn)生影響?？茖W預測中美貿(mào)易的發(fā)展趨勢，對我國制定中美貿(mào)易戰(zhàn)略方針有著一定指導性作用。

目前針對進出口貿(mào)易額的預測應用分析，我國學者所選擇的預測方法各有不同，但預測方法多為單一模型。吳昕（2016）基于向量自回歸模型，采取定量與定性分析相結(jié)合的方式對我國進出口貿(mào)易趨勢進行了預測研究;陳銳（2015）基于“監(jiān)督分組”主成分回歸對進出口貿(mào)易值與增速進行了預測?；貧w預測的缺陷在于只提取了線性規(guī)律而對非線性規(guī)律則無法進一步進行挖掘。杜江（2010）基于模糊時間序列模型，針對我國對外貿(mào)易的進口水平進行了預測;陳蔚（2015）使用人工BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和ARIMA模型，對我國對外貿(mào)易的進口與出口貿(mào)易額進行了預測;王雅琴（2018）采用時間序列分析和彈性分析法就中美貿(mào)易戰(zhàn)局勢下對我國煤炭進出口貿(mào)易額進行了預測。目前傳統(tǒng)單一模型預測結(jié)果的平均絕對百分誤差多在10%～40%間，為了提高預測的精度，近年來更多的學者將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、時間序列、支持向量機（SMV）、灰色預測、模糊算法等相結(jié)合，形成多方法并用的組合預測算法模型。舒服華（2018）運用小波變換和灰色DGM（2，1）模型相結(jié)合的方法預測我國進出口貿(mào)易總額。本文選用時間序列預測模型，結(jié)合適用于非平穩(wěn)時間序列的CEEMD分解法構(gòu)建組合預測模型，該模型相比其他模型能夠有效地解決時間序列數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)性問題，且預測精度更高。

二、相關(guān)模型理論

（一）時間序列模型

根據(jù)時間序列模型的建模步驟，首先對原時間序列需進行平穩(wěn)性檢驗和白噪聲檢驗。

1. 時間序列預處理

（1）平穩(wěn)性檢驗。圖檢驗法和單位根檢驗法是常見的平穩(wěn)性檢驗方法。圖檢驗法利用了平穩(wěn)序列具有短期相關(guān)的特性，對序列自相關(guān)系數(shù)進行觀察，若其較快衰減到零而后在零附近波動，則原序列為平穩(wěn)的。而常見單位根檢驗法有DF檢驗、ADF檢驗和PP檢驗，若檢驗出原序列存在單位根，則序列為非平穩(wěn)時間序列，反之則為平穩(wěn)序列。在實際分析過程中，由于經(jīng)濟發(fā)展趨勢，大多數(shù)的經(jīng)濟時間序列都是非平穩(wěn)的。因此要對原序列進行平穩(wěn)化，若原序列為非平穩(wěn)時間序列，可通過對數(shù)處理和差分處理等方式將非平穩(wěn)時間序列平穩(wěn)化。

（2）白噪聲檢驗。白噪聲檢驗也稱作純隨機性檢驗，其目的是檢驗原時間序列是否為白噪聲序列。白噪聲序列的特點是任意兩個時點的隨機變量都無關(guān)系，即原序列中沒有任何動態(tài)規(guī)律可以為人所用。因此白噪聲序列是無法進行預測分析的。只有通過白噪聲檢驗，也就是說原序列為非白噪聲序列，預測建模才有意義。

2. 平穩(wěn)時間序列建模

（1）自回歸模型。p階自回歸過程AR（p）的表達式為：

Yt=c+■？覬iYt-i+εt（1）

自回歸模型討論的是t時刻的序列值Yt與過去時序值Yt-i和常數(shù)項c的相關(guān)關(guān)系，φi（i=1，2，…，p）表示自回歸系數(shù)，且φp≠0，εt表示殘差，殘差應符合白噪聲序列。

（2）移動平均模型。q階移動平均模型MA（q）的表達式為：

Yt=c+■θiεt-i+εt（2）

移動平均模型討論的是t時刻的序列值Yt與現(xiàn)在干擾值εt以及過去隨機干擾值εt-i的相關(guān)關(guān)系。εt為t時刻的干擾值，c表示常數(shù)，θi（i=1，2，…，q）表示移動平均系數(shù)，且θq≠0。

（3）自回歸移動平均模型。自回歸移動平均模型討論的是t時刻的序列值Yt與現(xiàn)在干擾值εt、過去隨機干擾值εt-i，以及過去時序值Yt-i和常數(shù)項c的相關(guān)關(guān)系，即ARMA（p，q）模型、表達式為：

Yt=c+■？覬iYt-i+εt-■θiεt-i（3）

3.非平穩(wěn)時間序列建模

單整自回歸移動平均模型，即ARIMA（p，d，q）模型，表達式為：

（1-■？覬iBi）（1-B）dYt=（1+■θiBi）εi（4）

ARIMA模型可用于非平穩(wěn)時間序列，其中p為自回歸系數(shù)，q為移動平均系數(shù)，d表示差分階數(shù)。實際上ARIMA（p，d，q）模型可從ARMA（p，q）模型通過d階差分得到，即將非平穩(wěn)時序通過差分的方式使原序列平穩(wěn)化，再采用ARMA模型進行建模的過程。

（二）CEEMD分解

1. EMD分解思想

經(jīng)驗模態(tài)分解法，也可稱為EMD分解法是一種自適應信號時頻處理方法。EMD方法由N. E. Huang（1998，2009）提出，該分解方法適合處理非線性、非平穩(wěn)信號序列。相比較于傳統(tǒng)的小波分解，EMD分解更能保持原有序列的信息，信號損失更小，且局部表現(xiàn)能力更優(yōu)，更適合對高頻、非線性的經(jīng)濟宏觀數(shù)據(jù)進行處理。通過EMD方法分解得出來的分量被稱作本征模函數(shù)（Intrinsic Mode Function，簡稱IMF）。分解步驟如下：

（1）找出原始信號s（t）所有的極大值點，并將其用三次樣條函數(shù)擬合出原始信號的上包絡(luò)線;同理，找出信號所有極小值點，擬合出下包絡(luò)線。

（2）計算上下包絡(luò)線的均值，記為m1（t），那么原信號的第一個IMF分量為：

h1（t）=s（t）-m1（t）（5）

經(jīng)驗模態(tài)分解法將信號分解為一系列表征時間尺度的IMF分量，使得各IMF分量是窄帶信號，即IMF分量必須滿足下面兩個條件：在整個信號程度上，極值點和過零點的數(shù)目必須相等或者至多只相差一個;在任意時刻，由極大值點定義的上包絡(luò)線和由極小值點定義的下包絡(luò)線的平均值為零，即信號的上下包絡(luò)線關(guān)于時間軸對稱。具體步驟如下：

找出原始信號x（t）所有的極值點，使用三次樣條函數(shù)擬合出原始信號的上包絡(luò)線emax（t）和下包絡(luò)線emin（t）;

計算上下包絡(luò)線均值，記為m1（t），用原始信號x（t）減去m1（t）：

m1（t）=（emintm1（t）+emaxm1（t））/2（6）

h1（t）=x（t）-m1（t）（7）

（3）對殘余的h1（t）作為原始信號重復上述步驟，直到得出的余量滿足以下兩個條件為止：函數(shù)在整個時間范圍內(nèi)，局部極值點和過零點的數(shù)目必須相等，或最多相差一個;在任意時刻點，局部最大值的包絡(luò)（上包絡(luò)線）和局部最小值的包絡(luò)（下包絡(luò)線） 均值為零。此時得到第一個IMF分量，用IMF1（t）表示，此分量為原序列x（t）中最高頻分量。

h1k（t）=h1（k-1）（t）-m1k（t）（8）

c1（t）=h1k（t）（9）

（4）將分量IMF1（t）從原序列x（t）中剔除，得到殘余序列r1（t）：

r1（t）=x（t）-IMF1（t）（10）

將殘余序列r1（t）作為原始信號，重復上述步驟，則可以得到第二個分量IMF2（t），如此循環(huán)：

r2（t）=r1（t）-IMF2（t）（11）

rn（t）=rn-1（t）-IMFn（t）（12）

到此原始序列x（t）則被分解成n個IMF分量，其頻率由高頻逐漸到低頻，以及殘余函數(shù)rn（t），殘余函數(shù)rn（t）代表了序列的平均趨勢，

2. CEEMD基本思想

互補集合模態(tài)分解（complementary ensemble empirical mode decomposition，簡稱CEEMD）是由Yeh（2010）等人從EMD方法和EEMD方法不斷優(yōu)化而來。相比EMD方法，他解決了EMD方法所存在的模態(tài)混疊效應與頻譜泄露問題，相比EEMD方法，他能更高效地抹去重組信號中的殘余輔助噪聲，在一定程度上提高了效率。其主要步驟為：

第一步：向原始序列x（t）中添加n組正、負成對的輔助白噪聲序列，得到

M■M■=1 11 -1x（t）N（13）

其中，N表示輔助白噪聲，加入白噪聲后重組數(shù)據(jù)為M1、M2。

第二步：對第一步處理后的數(shù)據(jù)進行EMD處理?？梢缘玫絀MFij，即第i個分量的第j個IMF。

第三步：計算均值得到

IMFj=■■IMFij（14）

其中，IMFj表示CEEMD分解后最終得到的第j個IMF分量，n為白噪聲組數(shù)。

三、實驗研究

（一）數(shù)據(jù)獲取

考慮數(shù)據(jù)的連續(xù)性及有效性，本文選取了2008年5月至2019年12月共140個數(shù)據(jù)作為本文核心數(shù)據(jù)，下文皆以此月度數(shù)據(jù)為核心，數(shù)據(jù)來源于中國商務(wù)部國別報告（https：//countryreport.mofcom.gov.cn/）。此外，為了提高預測結(jié)果的穩(wěn)健性，本文選取了1985年第一季度至2020年第二季度共142個季度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于Wind數(shù)據(jù)庫。月度與季度數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)時序圖（見圖1、圖2）。

（二）時間序列預測模型

1. 時間序列預處理

經(jīng)濟學上的時間序列通常呈現(xiàn)非平穩(wěn)性，通過觀察中美雙邊貿(mào)易進出口總額的時間序列圖，可以發(fā)現(xiàn)其整體存在著上升趨勢。本文采用ADF檢驗法對序列平穩(wěn)性進行檢驗，ADF檢驗結(jié)果表明，t值為-2.401，均大于1%、5%、10%顯著水平下的臨界值，進一步表明中美雙邊貿(mào)易進出口總額時間序列為非平穩(wěn)序列。

中美雙邊貿(mào)易的非平穩(wěn)性通常是宏觀經(jīng)濟波動和季節(jié)波動所造成的，欲將原始序列平穩(wěn)化，本文先對原序列進行季節(jié)差分，再進行一階差分。差分處理后的數(shù)據(jù)如圖3所示，可見處理后的序列基本在零值附近波動，無明顯的上升趨勢。將處理后的序列再進行ADF檢驗，結(jié)果顯示，t值為-4.375，此時1%水平的臨界值為-3.493、5%水平的臨界值為-2.889、10%水平的臨界值為-2.581，t值小于各個顯著水平下的臨界值，同時p值小于0.01，表明處理后的序列不存在單位根。將處理后的時間進行Ljung-Box檢驗，發(fā)現(xiàn)其p值小于0.01，表明差分后的序列不是白噪聲序列。由此可見，經(jīng)過預處理后的序列符合平穩(wěn)非白噪聲序列，可以進行下一步建模。

2. 模型定階

中美雙邊貿(mào)易進出口總額時間序列進行差分后為平穩(wěn)序列，建立ARIMA（p，d，q）模型，數(shù)據(jù)預處理中進行了季節(jié)差分和一階差分，因此可以將季節(jié)差分后的數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，再取差分階數(shù)d=1。由自相關(guān)函數(shù)圖和偏自相關(guān)系數(shù)圖（見圖4），可以確定模型中p與q的階數(shù)，本文的預選模型為ARIMA（2，1，2）和ARIMA（2，1，3）。

3. 建模

利用R.Studio軟件，本文分別對預處理后的數(shù)據(jù)進行ARIMA（2，1，2）和ARIMA（2，1，3）建模，參數(shù)估計的結(jié)果如表1所示。

根據(jù)表1可以看出，ARIMA（2，1，2）模型的AIC值比ARIMA（2，1，3）模型的AIC值更小，說明ARIMA（2，1，2）模型更優(yōu)。因此本文選用ARIMA（2，1，2）模型進行預測。預測擬合結(jié)果如圖5所示，帶有“▲”的曲線表示原始序列，帶有“×”的曲線表示預測序列。均方誤差（MSE）為42.0707可見其預測性能一般，有待提高。

（三）CEEMD-ARIMA組合預測模型

1. 中美雙邊貿(mào)易進出口總額時間序列的經(jīng)驗模態(tài)分解

根據(jù)CEEMD的分解算法，利用Python3.7軟件對中美雙邊貿(mào)易進出口總額時間序列進行分解。得到的各頻斷信號如圖6所示，從上至下第一項為原始信號圖，中間四項分別為IMF1到IMF4，自上而下頻率由高到低，最后一項為剩余分量。

用x（t）表示原始數(shù)據(jù)，rn表示殘余分量，則原始數(shù)據(jù)與各分量的數(shù)學關(guān)系為：

x（t）=■IMFi+rn（15）

2. 混合預測模型

中美雙邊貿(mào)易進出口總額時間序列為非平穩(wěn)序列，運用傳統(tǒng)的時間序列模型預測存在一定的誤差。本文對時間序列進行CEEMD分解，可以有效地降低其非平穩(wěn)性。如表2所示，經(jīng)過ADF檢驗，分解出來的IMF1至IMF4分量均在0.01水平上顯著為平穩(wěn)序列。如表3所示，經(jīng)過Ljung-Box檢驗，IMF1為白噪聲序列，IMF2至IMF4分量在0.01水平上顯著通過白噪聲檢驗，因此對于IMF2至IMF4分量無需差分即對每一頻帶分別進行ARIMA模型預測，IMF1分量取0值，無需進行預測。

其擬合效果如圖7所示，從左至右以此為IMF2至IMF4分量的擬合圖，帶有“▲”的曲線表示原始序列，帶有“×”的曲線表示預測序列，由圖7可看出擬合效果非常好。

（四）誤差分析

為了體現(xiàn)誤差分析的穩(wěn)健性，本文選用平均絕對百分誤差（MAPE）和均方誤差（MSE）作為指標來進行預測結(jié)果的分析對比，其數(shù)學表達式如式（16）、（17）所示。

MAPE=■■■×100%（16）

MSE=■■（xi-pi）2（17）

其中，xi表示原始序列的真實數(shù)據(jù)，pi表示預測結(jié)果，N為樣本數(shù)。

本文采用CEEMD分解法，從月度數(shù)據(jù)和季度數(shù)據(jù)兩個層面與傳統(tǒng)時間序列模型進行對比驗證，另外在模型定階上對比了ACF/PACF圖形定階法與自動定階法。得出的平均絕對百分誤差（MAPE）以及均方誤差（MSE）如表4所示。

從表4中可以看出，無論是季度數(shù)據(jù)還是月度數(shù)據(jù)，CEEMD-ARIMA組合預測模型的表現(xiàn)都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)時間序列模型，平均絕對百分誤差（MAPE）和均方誤差（MSE）也更小，因此采用CEEMD-ARIMA組合預測模型的精度更高，預測效果更佳。此外，對比月度數(shù)據(jù)和季度數(shù)據(jù)可以看出，在近乎相同數(shù)據(jù)量的情況下，時間跨度小的月度數(shù)據(jù)比跨度大的季度數(shù)據(jù)預測結(jié)果更加精確，因此用月度數(shù)據(jù)進行預測更加具有可靠性。

四、結(jié)語

本文采用了互補集合經(jīng)驗模態(tài)分解與ARIMA的組合預測方法建模，較之于傳統(tǒng)的單一時間序列模型使用差分等方法處理序列的非平穩(wěn)，采用分解的方式對原始序列的信息損失更小，且計算精度更高。通過對非平穩(wěn)的中美雙邊貿(mào)易額的實際數(shù)據(jù)實驗對比，可以看出互補集合經(jīng)驗模態(tài)分解與ARIMA的組合模型在非平穩(wěn)時間序列預測中比傳統(tǒng)模型預測效果更加良好。

本文給予了中美兩國進出口貿(mào)易的預測，一方面發(fā)現(xiàn)月度數(shù)據(jù)比季度數(shù)據(jù)預測效果更好，另一方面驗證了CEEMD-ARIMA預測模型的實用性。能否就此將此方法應用在兩國出口貿(mào)易、進口貿(mào)易，乃至某行業(yè)某領(lǐng)域進出口貿(mào)易，還有待探究。

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*本文受全國統(tǒng)計科學研究重點項目資助（項目號2016LZ18）。

（作者單位：廣東外語外貿(mào)大學。張振華為通訊作者）