劉海琴

(1.山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，山西 太谷 030801；2.中北大學(xué) 大數(shù)據(jù)學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

類(lèi)似地，圖G的Randic矩陣R(G)=(rij)n×n定義為

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出路圖Pn，圈圖Cn，星圖Sn，完全圖Kn，完全二部圖Km,n的具體定義.

定義1 若簡(jiǎn)單圖G的頂點(diǎn)集為V={1,2,3,…,n}，邊集為E={12,23,34,…,(n-1)n}，則簡(jiǎn)單圖G稱(chēng)為n個(gè)頂點(diǎn)的路，記作Pn.

定義2 若簡(jiǎn)單圖G的頂點(diǎn)集為V={1,2,3,…,n}(n≥3)，邊集為E={12,23,34,…,(n-1)n，n1}，則簡(jiǎn)單圖G稱(chēng)為n個(gè)頂點(diǎn)的圈，記作Cn.

定義3 若簡(jiǎn)單圖G的頂點(diǎn)集為V={1,2,3,…,n}(n≥3)，邊集為E={1n,2n,3n,…,(n-1)n}，則簡(jiǎn)單圖G稱(chēng)為n個(gè)頂點(diǎn)的星圖，記作Sn.

定義4 若簡(jiǎn)單圖G的任意兩個(gè)不同的頂點(diǎn)間恰有一條邊，則此簡(jiǎn)單圖稱(chēng)為完全圖，記作Kn.

定義5 設(shè)G為簡(jiǎn)單圖，若其頂點(diǎn)集V={1,2,3,…,n}可以分成兩個(gè)互不相交的子集V1,V2，且V1中每個(gè)頂點(diǎn)都與V2中每個(gè)頂點(diǎn)相鄰，則稱(chēng)G為完全二部圖，記為Km,n,其中m=|V1|，n=|V2|.

2 路圖和圈圖的Harmonic特征多項(xiàng)式

定理1 當(dāng)n≥5時(shí)，路圖Pn的Harmonic特征多項(xiàng)式滿(mǎn)足

證明當(dāng)k≥3時(shí)，定義

設(shè)HP(Pn,λ)=det(λI-H(Pn)),則有

HP(Pn,λ)=

將此行列式按照第一列展開(kāi)可得

依次推導(dǎo)可得

HP(Pn,λ)=

所以

定理2 當(dāng)k≥3時(shí)，圈圖Cn的Harmonic特征多項(xiàng)式為

將此行列式按照第一行展開(kāi)得

因此，

注當(dāng)G是圈圖Cn時(shí)，其Harmonic矩陣H(G)與Randic矩陣R(G)相等[2]，故對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式也相同.

3 星圖、完全圖、完全二部圖的Harmonic能量的上界

對(duì)于星圖Sn，完全圖Kn，完全二部圖Km,n，其Harmonic能量的上界均為2.下文中運(yùn)用圖的Harmonic特征多項(xiàng)式理論，給出了證明.

引理1[1]如果M是非奇異矩陣，則有

定理3 1)星圖Sn=K1，n-1(n≥2)的 Harmonic 特征多項(xiàng)式為

證明由于K1，n-1的Harmonic矩陣為

所以，

det(λI-H(Sn))=

由引理 1 可知，

det(λI-H(Sn))=

而

J(n-1)×1×J1×(n-1)=Jn-1,

所以，

且

由引理 2 可得，當(dāng)n≥2時(shí)，HE(Sn)≤2.證畢.

2)完全圖Kn(n≥2)的Harmonic能量為HE(Kn)=2.

定理5 1)完全二部圖Km,n(m,n≠1)的Harmonic特征多項(xiàng)式為

證明完全二部圖Km,n的Harmonic矩陣為

HP(Km,n,λ)=det(λI-H(Km,n))=

由引理 2 知

det(λI-H(Km,n))=

而

Jn×m×Jm×n=mJn,

則有

且有