張 峰 張香莎 高旭東

1.火箭軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程學(xué)院，西安 710025

2.黃河交通學(xué)院汽車工程系，河南 焦作 454950

0 引言

航天領(lǐng)域的發(fā)展越來(lái)越成為世界各國(guó)綜合國(guó)力的體現(xiàn)，而航天器的在軌運(yùn)行情況無(wú)疑是航天領(lǐng)域中最為重要的環(huán)節(jié)之一。幾十年來(lái)，世界各國(guó)科學(xué)家在航天器在軌運(yùn)行方面付出了巨大努力，力求得到最逼近于實(shí)際情況下的航天器在軌運(yùn)行狀態(tài)[1-3]。

在動(dòng)力學(xué)定軌中，衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確與否直接影響導(dǎo)航精度。衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型中包含了最基本的二體模型以及各種攝動(dòng)模型，但是各種攝動(dòng)模型對(duì)于不同軌道衛(wèi)星的影響量級(jí)不同。針對(duì)不同軌道及定軌精度要求，需要選取不同的攝動(dòng)模型。特別是隨著我國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的全面組網(wǎng)運(yùn)行，不少學(xué)者研究動(dòng)力學(xué)定軌中的攝動(dòng)模型[4-7]。

在動(dòng)力學(xué)定軌的攝動(dòng)模型研究中，文獻(xiàn)[1]主要針對(duì)低軌衛(wèi)星星座精度定軌及運(yùn)行控制進(jìn)行了綜述；文獻(xiàn)[2]針對(duì)太陽(yáng)攝動(dòng)的真實(shí)力學(xué)模型下地月系平動(dòng)點(diǎn)的不穩(wěn)定性進(jìn)行研究；文獻(xiàn)[3]主要驗(yàn)證了不同重力場(chǎng)的適用范圍，從計(jì)算精度和效率兩方面制定了優(yōu)化的定軌策略；文獻(xiàn)[4,6]主要考慮太陽(yáng)光壓對(duì)定軌影響；文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)的歷書擬合模型主要適用于地球靜止軌道和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星。目前，關(guān)于衛(wèi)星定軌研究多是從某一方面建模分析，系統(tǒng)性的建模分析研究較少。

本文對(duì)地球軌道衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型的地球非球形攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)、太陽(yáng)光壓攝動(dòng)和日月引力攝動(dòng)等4個(gè)主要攝動(dòng)因素進(jìn)行了建模及仿真，計(jì)算了各種攝動(dòng)模型下低軌和高軌衛(wèi)星的星歷，并由星歷反求出其在二體模型下的軌道六根數(shù)，進(jìn)而分析各攝動(dòng)項(xiàng)對(duì)不同軌道高度衛(wèi)星的影響；最后給出了三種軌道的攝動(dòng)模型星歷與其二體模型星歷的最大標(biāo)量誤差[8-10]。

1 二體模型及軌道六根數(shù)

如圖1所示，在討論二體模型之前，先建立一個(gè)慣性坐標(biāo)系，將在此坐標(biāo)系下，對(duì)質(zhì)量為m的衛(wèi)星和質(zhì)量為M的地球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析[11-13]。

圖1 二體模型

圖中E表示地球，S表示衛(wèi)星，rE是地球位置在O-XiYiZi坐標(biāo)系中的矢量表示，rs是衛(wèi)星位置的矢量表示，r是衛(wèi)星相對(duì)于地球的位置。

在此坐標(biāo)系中，以地球?yàn)橹行奶祗w，忽略衛(wèi)星質(zhì)量，對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行受力分析，進(jìn)而得到衛(wèi)星相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)方程：

(1)

其中，μ=GM是地球引力常數(shù)，e是由地球指向衛(wèi)星的單位向量。對(duì)二體模型下衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程求解，可以得到軌道六根數(shù)。

軌道六根數(shù)如圖2所示，半長(zhǎng)軸決定了衛(wèi)星軌道的大?。黄穆蕸Q定了衛(wèi)星軌道的形狀；軌道傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω共同決定了衛(wèi)星軌道平面相對(duì)與地球赤道平面的位置；近地點(diǎn)幅角ω決定了衛(wèi)星在其軌道平面內(nèi)軌道的走向；飛行器過(guò)近地點(diǎn)的時(shí)刻、初始時(shí)刻的真近點(diǎn)角以及初始時(shí)刻的平近點(diǎn)角則給出了衛(wèi)星在軌道內(nèi)的相對(duì)位置[14]。

圖2 軌道六根數(shù)示意圖

本文仿真使用的衛(wèi)星軌道參數(shù)如表1所示。

表1 軌道參數(shù)

2 攝動(dòng)模型對(duì)軌道參數(shù)影響分析

2.1 地球非球形攝動(dòng)

地球非球形攝動(dòng)主要影響衛(wèi)星軌道平面傾角，使其逐漸減小，并使衛(wèi)星軌道平面產(chǎn)生一種被稱為軌道面進(jìn)動(dòng)的長(zhǎng)期變化[15]。此外還會(huì)對(duì)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)引起其它的攝動(dòng)，這些攝動(dòng)將會(huì)影響衛(wèi)星軌道根數(shù)的變化，尤其對(duì)低軌衛(wèi)星的影響較為顯著。

在地固坐標(biāo)系中，地球引力勢(shì)和引力導(dǎo)致的加速度的表達(dá)式為：

(2)

(3)

式中：

(4)

將地固坐標(biāo)系下的加速度通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)為地心慣性系下的加速度：

(5)

本文在20×20引力場(chǎng)模型(J20.20)下進(jìn)行了衛(wèi)星星歷計(jì)算，并反求出衛(wèi)星每個(gè)時(shí)刻星歷所對(duì)應(yīng)的二體模型下的六根數(shù)，仿真結(jié)果如圖3～4所示。

可以看出，地球非球形攝動(dòng)使低軌衛(wèi)星軌道發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，如圖3(a)所示，這種變化稱之為軌道面進(jìn)動(dòng)；低軌衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)一天的時(shí)間內(nèi)其軌道傾角隨時(shí)間的變化最大可達(dá)1.2×10-2°，升交點(diǎn)赤經(jīng)變化最大可達(dá)1°，如圖3(b)、(c)所示。這些變化是導(dǎo)致衛(wèi)星軌道面進(jìn)動(dòng)的直接原因。

圖3 地球非球形攝動(dòng)下低軌衛(wèi)星仿真結(jié)果

高軌衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)一天的時(shí)間內(nèi)其軌道傾角隨時(shí)間變化的最大值只有2.5×10-5°，升交點(diǎn)赤經(jīng)變化最大值不到2×10-2°，如圖4(b)、(c)所示。高軌衛(wèi)星軌道如圖4(a)所示，與圖3(a)相比較，地球非球形攝動(dòng)對(duì)高軌衛(wèi)星的影響較小，這是由于引力與距離的二次方成反比關(guān)系，軌道越高，影響越小。

圖4 地球非球形攝動(dòng)下高軌衛(wèi)星仿真結(jié)果

2.2 日、月引力攝動(dòng)

如圖5所示，衛(wèi)星在軌運(yùn)動(dòng)時(shí)，不僅受到地球?qū)ζ涞囊Γ瑫r(shí)太陽(yáng)和月球也會(huì)對(duì)其有引力作用，并且太陽(yáng)和月球還會(huì)對(duì)地球有引力作用，二者作用力之差，便是日、月引力攝動(dòng)。

圖5 三體模型

由衛(wèi)星、地球、日月的幾何關(guān)系對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行受力分析，得到衛(wèi)星的加速度表達(dá)式：

(6)

其中，S、M分別表示太陽(yáng)和月球；MS,MM分別表示太陽(yáng)和月球的質(zhì)量；Δrj是攝動(dòng)體到衛(wèi)星的中心距離，Δrj=r-rj，r,rj是衛(wèi)星和攝動(dòng)體在地心慣性系中的位置矢量。

由式(6)可以看出，只要求出攝動(dòng)體在地心慣性系中的位置矢量，便可以得到衛(wèi)星的加速度。在實(shí)際應(yīng)用中，由于日、月引力遠(yuǎn)小于地球?qū)πl(wèi)星的引力，因此在計(jì)算日、月攝動(dòng)下的衛(wèi)星加速度無(wú)需知道日、月的精確坐標(biāo)。多數(shù)情況下，使用低精度的日、月坐標(biāo)就可以使計(jì)算精度達(dá)到0.1%～1%[17]。

太陽(yáng)引力攝動(dòng)的仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。在太陽(yáng)引力攝動(dòng)下，低軌衛(wèi)星軌道的形狀與二體軌道形狀相似，都呈現(xiàn)出一個(gè)光滑的橢圓形，如圖6(a)所示；低軌衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸隨時(shí)間變化的最大變化值僅有8×10-4，軌道傾角變化的最大值只有不到6×10-5°，如圖6(b)、(c)所示。

圖6 太陽(yáng)引力攝動(dòng)下低軌衛(wèi)星仿真結(jié)果

高軌衛(wèi)星軌道的形狀基本無(wú)變化，如圖7(a)所示；同時(shí)從圖7(b)、(c)中可以看出，太陽(yáng)引力攝動(dòng)下高軌衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸隨時(shí)間變化的值不超過(guò)1，軌道傾角變化最大不到3.5×10-4°。由上述分析可知，太陽(yáng)引力攝動(dòng)對(duì)高軌衛(wèi)星和低軌衛(wèi)星的影響都比較小，但是對(duì)高軌衛(wèi)星的影響要大于低軌衛(wèi)星，這是由于太陽(yáng)引力與距離的二次方成反比，日地距離過(guò)遠(yuǎn)導(dǎo)致的。

圖7 太陽(yáng)引力攝動(dòng)下高軌衛(wèi)星仿真結(jié)果

月球引力攝動(dòng)的仿真結(jié)果如圖8和圖9所示。在月球引力攝動(dòng)下，低軌衛(wèi)星軌道的形狀與二體軌道形狀相似，如圖8(a)所示；低軌衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸隨時(shí)間變化的量最大僅有大約1.6×10-3，軌道傾角變化的最大值不到3×10-4°，如圖8(b)、(c)所示。

圖8 月球引力攝動(dòng)下低軌衛(wèi)星仿真結(jié)果

月球引力攝動(dòng)下，高軌衛(wèi)星的軌道有明顯的“折痕”，圖9(a)所示；高軌衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸隨時(shí)間變化最大可達(dá)1左右，軌道傾角變化最大可達(dá)9×10-4°，如圖9(b)、(c)所示。由上述分析可知，由于月球引力與距離的二次方成反比，月球引力攝動(dòng)對(duì)高軌衛(wèi)星的影響比較明顯，對(duì)低軌衛(wèi)星影響甚微。

圖9 月球引力攝動(dòng)下高軌衛(wèi)星仿真結(jié)果

2.3 太陽(yáng)光壓攝動(dòng)

太陽(yáng)光壓是太陽(yáng)光粒子流沖擊衛(wèi)星表面產(chǎn)生的壓力，太陽(yáng)光壓攝動(dòng)對(duì)于面質(zhì)比較大、軌道高度較高的衛(wèi)星影響較大。同時(shí)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)，太陽(yáng)光會(huì)被地球或者月球遮擋，還有地球的反光等因素，所以太陽(yáng)光壓攝動(dòng)情況相當(dāng)復(fù)雜[18-19]。

首先已知在距離太陽(yáng)1AU處，太陽(yáng)流量為φ≈1367W·m-2，太陽(yáng)輻射壓P的大小則是由太陽(yáng)流量大小來(lái)決定的：

(7)

其中，c是光速，假設(shè)所有撞擊衛(wèi)星表面的光子都垂直射入并全部被吸收。

考慮太陽(yáng)光照射衛(wèi)星表面有全反射、全吸收以及太陽(yáng)光被遮擋等情況，引入太陽(yáng)光壓系數(shù)CR和陰影函數(shù)υ，給出太陽(yáng)光壓引起的衛(wèi)星加速度：

(8)

r是衛(wèi)星與太陽(yáng)的距離，eΘ為由衛(wèi)星指向太陽(yáng)方向的單位矢量。對(duì)太陽(yáng)光壓攝動(dòng)的仿真結(jié)果如圖10～11所示。

太陽(yáng)光壓輻射模型下低軌衛(wèi)星偏心率隨時(shí)間變化的最大變化值僅有2.5×10-8左右，軌道傾角隨時(shí)間變化的最大值僅有4×10-8°，如圖10(b)、(c)所示。

圖10 太陽(yáng)光壓輻射攝動(dòng)下低軌衛(wèi)星仿真結(jié)果

太陽(yáng)光壓輻射模型下高軌衛(wèi)星偏心率隨時(shí)間變化最大可達(dá)2.5×10-7左右，軌道傾角隨時(shí)間變化最大不到8×10-7°，如圖11(b)、(c)所示。由上述分析可知，太陽(yáng)光壓輻射攝動(dòng)主要影響高軌衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，對(duì)低軌衛(wèi)星的影響比高軌衛(wèi)星小一個(gè)量級(jí)，原因是太陽(yáng)光到達(dá)地球附近時(shí)，其流量急劇減小。

圖11 太陽(yáng)光壓輻射攝動(dòng)下高軌衛(wèi)星仿真結(jié)果

2.4 大氣阻力攝動(dòng)

大氣阻力會(huì)不斷消耗衛(wèi)星動(dòng)能，減小衛(wèi)星速度，減小半長(zhǎng)軸，降低偏心率，使衛(wèi)星軌道逐漸變?yōu)閳A形，最終使衛(wèi)星在濃密的大氣層中燃燒。但是由于大氣阻力方向始終與衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向相反，所以大氣阻力只影響衛(wèi)星軌道的形狀，對(duì)于軌道傾角，基本沒(méi)有影響。

大氣阻力攝動(dòng)產(chǎn)生的衛(wèi)星加速度為：

(9)

其中，CD是大氣阻尼系數(shù)，描述了大氣與衛(wèi)星表面材料的相互作用，一般為1.5～2.3；m為衛(wèi)星質(zhì)量；ev是與相對(duì)速度方向相同的單位向量。

大氣阻力攝動(dòng)影響下的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果如圖12～13所示。大氣阻力使得低軌衛(wèi)星的軌道半長(zhǎng)軸和偏心率隨時(shí)間變化不斷減小，如圖12(b)、(c)所示；但是由于大氣阻力方向始終與衛(wèi)星軌道在同一平面上，大氣阻力攝動(dòng)下低軌衛(wèi)星軌道傾角隨時(shí)間變化最大值僅有2.5×10-7°，如圖12(d)所示，。

圖12 大氣阻力攝動(dòng)下低軌衛(wèi)星仿真結(jié)果

由于在4萬(wàn)公里高度處，地球大氣極其稀薄幾乎為0，大氣阻力攝動(dòng)下高軌衛(wèi)星的各個(gè)參數(shù)均不隨時(shí)間變化，如圖13所示。由上述分析可知，大氣阻力攝動(dòng)只對(duì)低軌衛(wèi)星有顯著影響，不會(huì)影響高軌衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)。

圖13 大氣阻力攝動(dòng)下高軌衛(wèi)星仿真結(jié)果

3 攝動(dòng)模型綜合影響分析

通過(guò)前面4個(gè)小節(jié)的建模與仿真，分析了不同軌道高度的衛(wèi)星在不同攝動(dòng)模型下的軌道六根數(shù)的變化。本節(jié)則計(jì)算一段時(shí)間內(nèi)，近地軌道、中軌軌道和同步軌道衛(wèi)星在不同攝動(dòng)下的星歷與其在二體模型下的星歷之間的最大標(biāo)量誤差。并以此為依據(jù)，進(jìn)一步說(shuō)明不同攝動(dòng)項(xiàng)對(duì)不同軌道高度衛(wèi)星的影響，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 一段時(shí)間內(nèi)星歷的最大標(biāo)量誤差

可以看出，在一天的時(shí)間內(nèi)，地球非球形攝動(dòng)對(duì)近地軌道、中軌軌道、同步軌道的衛(wèi)星的影響是依次降低的，其量級(jí)分別為400km、300km和20km，因此，在衛(wèi)星軌道計(jì)算中所使用的動(dòng)力學(xué)模型不可忽略地球非球形攝動(dòng)的影響。日月引力對(duì)高軌衛(wèi)星的影響量級(jí)在千米以上，對(duì)低軌和中軌衛(wèi)星的影響在百米左右，所以在計(jì)算高軌衛(wèi)星軌道時(shí)其動(dòng)力學(xué)模型中不可忽略日月引力攝動(dòng)。太陽(yáng)輻射壓對(duì)于高軌衛(wèi)星的影響量級(jí)在200m左右，對(duì)低軌和中軌衛(wèi)星只有幾十米。實(shí)際計(jì)算中，在精度要求不太高的情況下，可以忽略太陽(yáng)輻射壓的影響。大氣阻力只對(duì)低軌衛(wèi)星有影響，對(duì)于高軌和中軌衛(wèi)星沒(méi)有影響[20]。

4 總結(jié)

根據(jù)衛(wèi)星精密定軌的需求，對(duì)二體模型和四種攝動(dòng)模型進(jìn)行了模型建立及仿真，分析了各種模型下對(duì)低軌和高軌衛(wèi)星的軌道影響。

根據(jù)仿真分析可知，在計(jì)算衛(wèi)星軌道的動(dòng)力模型中，對(duì)低軌衛(wèi)星必須考慮地球非球形攝動(dòng)和大氣阻力攝動(dòng)，在精度要求不高的情況下可以忽略日月引力攝動(dòng)和太陽(yáng)輻射壓攝動(dòng)；對(duì)中軌衛(wèi)星必須考慮地球非球形攝動(dòng)，在精度要求不高的情況下，可以忽略其它攝動(dòng)項(xiàng)；而對(duì)高軌衛(wèi)星必須考慮地球非球形攝動(dòng)和日月引力攝動(dòng)，在精度要求不高的情況下可以忽略太陽(yáng)輻射壓攝動(dòng)，大氣阻力攝動(dòng)對(duì)高軌衛(wèi)星沒(méi)有影響。