郭麗巍

摘? ? 要：探究動態(tài)問題，妙用特殊思想。如果一個數(shù)學結論對一般情況成立，那么對于特殊值的情況必然成立。因此在解決某些問題時就可以利用特殊值法，選擇恰當?shù)奶厥庵?、特殊點、特殊圖形來解決，這對煩瑣問題的求解意義重大。本文將針對特殊值在動態(tài)軌跡中的巧妙運用進行說明。

關鍵詞：數(shù)學素養(yǎng);特殊值;歸納推理;動點問題

1.研究目標

新課程標準提出數(shù)學六大核心素養(yǎng)包括數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析。可見邏輯推理在數(shù)學教學中占有舉足輕重的地位。邏輯推理包括歸納推理和演繹推理，它在幾何證明中占有重要的地位。邏輯推理的訓練能力應該從小培養(yǎng)，為今后的數(shù)學學習奠定基礎。

《普通高中課程標準（2017年版）》中給出了邏輯能力的界定：通過對數(shù)學對象（數(shù)學概念、關系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等）進行邏輯思考（觀察、實驗、歸納、類比、演繹），從而做出推論;再進一步尋找證據(jù)、給出證明或舉出反例說明給出推論的合理性的綜合能力。

2.應用廣度

動態(tài)幾何問題是初中數(shù)學非常重要的一類題型，因其綜合性強、涉及知識點多、解答能力要求較高等特點，一直受到命題者的青睞。在近幾年各地的中考、高考試卷中，以動點問題為主的動態(tài)幾何題頻頻出現(xiàn)在填空、選擇、解答等各種題型中，成為全卷的難點，考查學生對圖形的直覺能力以及從變化中看到不變實質(zhì)的數(shù)學洞察力。史寧中教授認為，教學不僅要教給知識，更要幫助學生形成智慧。知識的主要載體是書本，智慧則形成于經(jīng)驗的過程中，形成于經(jīng)歷的活動中，形成于學生應用知識解決實際問題的教育教學實踐中。今天我們淺談下數(shù)學六大核心素養(yǎng)中的“邏輯推理”中的“歸納推理”。它主要體現(xiàn)在特殊值情況代替題設中的普遍條件，得出特殊的結論，從而在解決問題時做出正確判斷。這種方法叫做“特殊值法”。題目中已知條件中含有某些不確定的量，而題目的結論是唯一的或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將變量取一些特殊值或特殊的位置、特殊情況來求出這個定值，從而簡化了推理、論證的過程。這種方法的主要特征是取特例（如特殊值、特殊函數(shù)、特殊角、特殊點、特殊位置等），進行合理科學的判斷——否定或肯定，從而達到快速解題的目的。

下面以實例說明特殊值在一些數(shù)學問題中的應用。

3.案例展示

（1）解題策略——運用函數(shù)模型，靜化動點問題

例：已知A是雙曲線y=在第一象限上的一動點，連結AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊做等邊三角形ABC，點C在第四象限，已知點C的位置始終在一函數(shù)圖像上運動，則這個函數(shù)解析式為（? ? ）

A.y=-（x>0）? ? ? ? ? B.y=（x>0）

C.y=-6x（x>0）? ? ? ? ? D.y=6x（x>0）

[分析]：A為動點，AB為動線。考慮A及AB的特殊位置，使得點A及直線AB為定點和定直線，把動態(tài)問題轉化為常規(guī)問題。

解：如右圖，當AB與x軸正半軸的夾角為45？紫時;當直線AB為一三象限的角分線時，直線AB為y=x，此時可求出點A（，），∠ACO=30？紫，OC=2，即點C的坐標為（，-? ），k=×-=-6，即函數(shù)解析式為y= （x>0）

解：如下圖，當AB與x軸正半軸的夾角為60？紫時;當直線AB為一三象限的角分線時，直線AB為y=x，此時可求出點A（? x，x ），且k=x×x=2。則OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即點C的坐標為（3x，- x ），k=3x×- x=-3x2=6，即函數(shù)解析式為y= ?（x>0）

解：如下圖，當AB與x軸正半軸的夾角為30？紫時;當直線AB為一三象限的角分線時，直線AB為y= x ，此時可求出點A（x，x ），且k=x×x=2。則OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即點C的坐標為（x，-3x ），k= 3x×- x=-3x2=6，即函數(shù)解析式為y= ?（x>0）

[解析]首先判斷點C的軌跡，若是選擇題，便可直接帶入點去驗證，若本題為填空題，無論特殊點A選在哪里，都會得到一個確定的C點，嘗試兩次即可發(fā)現(xiàn)此軌跡為反比例函數(shù)的一支。代入點求出函數(shù)表達式。

（一般證明求解。）

解：過點A作x軸的垂線交x軸于點E，過點C做x軸的垂線交x軸于點F。

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30？紫;

OC=OA;

△AOE∽△OCF;

===;

OF=AE，CF=OE;

∴OF×CF=3AE×OE=6

即函數(shù)解析式為：y=（x>0）

[評析]本題是考查反比例函數(shù)的綜合題。自然解法源于高觀點的統(tǒng)領[1]，本題涉及了直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識，綜合考查的知識點較多。解答本題的關鍵是將所學知識融會貫通。由于本題是選擇題，引導學生自然化的解決問題，化動點為定線，培養(yǎng)核心素養(yǎng)，簡單巧妙地解決問題。此題要想求出函數(shù)解析式，只要求點C函數(shù)軌跡，即點C的橫縱坐標。由于此題中點C是一個動點，因此讓直線AB選取特定的位置，選定A、B點C的位置就很容易確定了。若要規(guī)范地證明此題需要一個完整的思考體系，一般的學生很難得到標準答案。因此在做選擇填空題時，學生應該學會適當?shù)匕盐罩骶€、學會巧妙化動為定。

（2）嘗試運用——打破思維定式，尋找最優(yōu)解法