于 琪，張少欽，熊 磊，李云鵬

（南昌航空大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌 330063）

引 言

膜結(jié)構(gòu)作為一種柔性結(jié)構(gòu)，其膜材不能抗壓、抗彎，故需要在符合給定邊界條件的情況下，通過(guò)施加一定的初始預(yù)應(yīng)力使膜面產(chǎn)生只有張力作用的自平衡曲面來(lái)維持結(jié)構(gòu)形狀和抵抗外荷載，這種由應(yīng)力分布狀態(tài)求解結(jié)構(gòu)形狀的過(guò)程常被稱為找形（form finding）。從膜結(jié)構(gòu)分析的三個(gè)過(guò)程（初始形態(tài)分析、荷載效應(yīng)分析和裁剪分析）來(lái)看，初始形態(tài)分析（找形）是膜結(jié)構(gòu)分析過(guò)程中最為活躍、最為關(guān)鍵的部分，結(jié)構(gòu)初始形態(tài)的好壞直接影響后續(xù)分析過(guò)程[1]。

從最開(kāi)始的物理找形到近年來(lái)的數(shù)值找形，眾多學(xué)者廣泛探索有效的找形方法及不斷加以改進(jìn)。用于膜結(jié)構(gòu)初始形態(tài)確定的數(shù)值方法主要有：力密度法(Force Density Method)[2]、動(dòng)力松弛法(Dynamic Relaxation Method)[3]和非線性有限元法(Nonlinear Finite Element Method)[4]。在計(jì)算機(jī)軟硬件飛速發(fā)展的今天，非線性有限元法應(yīng)用更為廣泛[5]。利用非線性有限元法確定膜結(jié)構(gòu)初始形態(tài)的計(jì)算方法主要包括節(jié)點(diǎn)平衡法和支座移動(dòng)法[6]。衛(wèi)東等[6]在對(duì)具體薄膜結(jié)構(gòu)算例進(jìn)行初始形態(tài)確定的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)各種傳統(tǒng)方法的分析比較，提出了綜合節(jié)點(diǎn)平衡法。葉繼紅等[7]根據(jù)建筑師對(duì)膜面造型的變化要求，針對(duì)動(dòng)力松弛法中阻尼參數(shù)的取值，對(duì)常規(guī)動(dòng)力松弛法進(jìn)行了改進(jìn)。周樹(shù)路等[8]針對(duì)力密度法進(jìn)行膜結(jié)構(gòu)找形時(shí)總需要多次試算才能確定合適的力密度取值的相關(guān)問(wèn)題，提出了改進(jìn)找形過(guò)程的措施。魏德敏等[5]通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，膜的預(yù)張力、單元的劃分、邊索和脊索的預(yù)張拉力值以及初始彈性模量等參數(shù)的選取都會(huì)影響找形結(jié)果?？v智育等[9]根據(jù)幾何非線性有限元理論，提出運(yùn)用新的8結(jié)點(diǎn)曲面四邊形等參單元進(jìn)行張力膜結(jié)構(gòu)找形分析的具體做法。袁駟等[10]提出一種基于EEP（單元能量投影）法的二維非線性有限元自適應(yīng)方法，成功將之應(yīng)用于膜結(jié)構(gòu)的找形分析。

針對(duì)結(jié)構(gòu)找形分析過(guò)程中，采用傳統(tǒng)網(wǎng)格加密方法能提高結(jié)構(gòu)找形精度但計(jì)算量較大且效率低下的問(wèn)題，本文從調(diào)整有限元網(wǎng)格的角度，提出了一種在保證單元總量不變的情況下，通過(guò)分層加密網(wǎng)格的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)膜結(jié)構(gòu)找形優(yōu)化的方法，并結(jié)合具體的懸鏈面膜結(jié)構(gòu)算例驗(yàn)證其有效性。

1 懸鏈面膜結(jié)構(gòu)數(shù)值找形優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)

1.1 數(shù)值找形的實(shí)現(xiàn)

懸鏈面（圖1）是旋轉(zhuǎn)面中唯一有解析解的最小曲面，其曲面方程為：

圖1 懸鏈面結(jié)構(gòu)模型示意圖[6]

其中，a表示懸鏈面內(nèi)圓半徑，h表示懸鏈面高度，，其含義為結(jié)構(gòu)內(nèi)任一高度上圓的半徑，(X，Y，Z)為懸鏈面內(nèi)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。h的求解方法如下式所示。

其中，b表示懸鏈面外圓半徑。

基于ANSYS軟件采用節(jié)點(diǎn)平衡法對(duì)懸鏈面膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值找形，具體流程如下：

采用SHELL41三維殼體單元模擬懸鏈面膜面，建立初始形狀（可通過(guò)曲面擬合[6]等方式得到）模型，設(shè)定很小的彈性模量（如取實(shí)際彈性模量的10?3~10?6），利用式(3)[11]將膜面初始預(yù)應(yīng)力轉(zhuǎn)換為下降溫度值施加于膜單元以確定其平衡曲面（稱為第一次找形）；進(jìn)行模型修正，直到膜面應(yīng)力趨于相等或滿足一定的應(yīng)力誤差為止，得到近似的最小曲面（稱為第二次找形）[12]。

其中，ΔT為溫度下降值；σ為膜面初始預(yù)應(yīng)力；E為膜材彈性模量；α為膨脹系數(shù)；t為膜材厚度。

1.2 分層加密網(wǎng)格的實(shí)現(xiàn)

分層加密網(wǎng)格分兩步進(jìn)行。第一步，根據(jù)初始條件進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元建模及分析，求出正常網(wǎng)格劃分情況下的膜面數(shù)值解與解析解誤差。第二步，重新建立模型，對(duì)原結(jié)構(gòu)誤差數(shù)值相近的區(qū)域進(jìn)行歸類，將結(jié)構(gòu)劃分為不同的網(wǎng)格劃分區(qū)域，在單元總量保持不變的情況下，對(duì)誤差較小區(qū)域采用較稀疏的網(wǎng)格，對(duì)誤差較大區(qū)域則將網(wǎng)格劃分的密集。這就達(dá)到了分析計(jì)算量增加不大的同時(shí)使結(jié)構(gòu)找形結(jié)果得到優(yōu)化的目的。

首先，全面收集區(qū)域概況資料、土壤污染源資料、土壤環(huán)境和農(nóng)產(chǎn)品資料及其對(duì)應(yīng)的圖件資料等，并通過(guò)分析，研究有關(guān)信息劃分區(qū)域內(nèi)的地理單元，為污染風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)提供基礎(chǔ)支撐；其次，通過(guò)評(píng)估土壤及農(nóng)產(chǎn)品調(diào)查點(diǎn)位的土壤重金屬污染情況、農(nóng)產(chǎn)品重金屬污染情況，反映該點(diǎn)位土壤和農(nóng)產(chǎn)品重金屬污染狀況，劃分點(diǎn)位土壤重金屬風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)，為區(qū)域風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)提供基礎(chǔ)依據(jù)；最后，通過(guò)評(píng)價(jià)單元內(nèi)土壤重金屬污染風(fēng)險(xiǎn)、農(nóng)產(chǎn)品重金屬危害風(fēng)險(xiǎn)、重金屬生物可利用性等因素的情況，反映區(qū)域內(nèi)耕地土壤和農(nóng)產(chǎn)品重金屬污染情況，劃分區(qū)域內(nèi)土壤重金屬風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)，為重金屬污染耕地分級(jí)管理提供依據(jù)。

以懸鏈面1/4結(jié)構(gòu)平面圖模型為例，分層加密網(wǎng)格法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

首先建立正常網(wǎng)格劃分方法下的結(jié)構(gòu)模型，將模型周向圓弧邊及徑向直線邊劃分為12等份，得到如圖2所示網(wǎng)格尺寸為12×12的結(jié)構(gòu)模型。

圖2 懸鏈面1/4結(jié)構(gòu)(平面展開(kāi))網(wǎng)格

按照?qǐng)D2所示網(wǎng)格劃分方式求得結(jié)構(gòu)數(shù)值解與解析解誤差后，依據(jù)誤差數(shù)值相近進(jìn)行歸類的原則，對(duì)重新建立的結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)網(wǎng)格區(qū)域劃分，如圖3a所示。其中，A、B、C、D表示不同節(jié)點(diǎn)數(shù)值解與解析解誤差對(duì)應(yīng)區(qū)域。根據(jù)分析結(jié)果，在誤差的數(shù)量關(guān)系上從區(qū)域A至區(qū)域D誤差逐級(jí)遞增，實(shí)際結(jié)構(gòu)劃分區(qū)域數(shù)視誤差情況而定。將圖3a中四個(gè)區(qū)域從A至D逐級(jí)加密網(wǎng)格。具體做法為：周向圓弧邊上各區(qū)域網(wǎng)格劃分份數(shù)相同，徑向直線邊上每個(gè)區(qū)域按等分方式劃分網(wǎng)格，由于每個(gè)區(qū)域徑向?qū)挾炔煌ㄔ娇拷A，徑向?qū)挾仍叫。朔ň蛯?shí)現(xiàn)了從外圓至內(nèi)圓分層加密網(wǎng)格的構(gòu)想，網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖3b所示。

圖3 分層加密網(wǎng)格法示意圖

2 計(jì)算結(jié)果與分析

算例取內(nèi)圓半徑a=8 m，外圓半徑b=40 m，高度h=18.339 5 m。結(jié)構(gòu)上下邊界均固定，初始預(yù)應(yīng)力σ=2.5 MPa，彈性模量E=250 MPa，厚度t=1 mm，泊松比μ=0.34，膨脹系數(shù)α=0.01。采用兩種不同的網(wǎng)格尺寸（1/4結(jié)構(gòu)網(wǎng)格尺寸分別為策略一：12 ×12和策略二：16×16），對(duì)正常網(wǎng)格劃分以及采用分層加密網(wǎng)格法下（網(wǎng)格調(diào)整前后）結(jié)構(gòu)變形圖、應(yīng)力云圖及節(jié)點(diǎn)數(shù)值解與解析解誤差進(jìn)行對(duì)比分析。

2.1 策略一結(jié)果對(duì)比

圖4中，網(wǎng)格調(diào)整前后結(jié)構(gòu)單元及節(jié)點(diǎn)總量保持不變，其中單元有1152個(gè)，節(jié)點(diǎn)624個(gè)?；趫D4可以看出，采用分層加密網(wǎng)格法下的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格分布更加均勻，特別是靠近小圓位置，結(jié)構(gòu)曲面較前者更為平滑。

圖4 策略一結(jié)構(gòu)變形云圖

從圖5可以得出，網(wǎng)格調(diào)整前結(jié)構(gòu)應(yīng)力在4.27~4.68 MPa之間，應(yīng)力差值為0.41 MPa，網(wǎng)格調(diào)整后的結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布在4.38~4.72 MPa之間，應(yīng)力差值為0.34 MPa。整體應(yīng)力方面，網(wǎng)格調(diào)整后增加了約2.5%，應(yīng)力稍有提高；應(yīng)力差值方面，網(wǎng)格調(diào)整后降低了約20.5%，結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布較網(wǎng)格調(diào)整前提高明顯。

圖5 策略一結(jié)構(gòu)應(yīng)力云圖(俯視圖)

由于懸鏈面是旋轉(zhuǎn)面[13]，其在各個(gè)方向上變化相同，為了方便計(jì)算，在判斷節(jié)點(diǎn)數(shù)值解與解析解誤差時(shí)，文章選取的節(jié)點(diǎn)均在XZ軸平面內(nèi)，故Y坐標(biāo)取為0。此外，結(jié)構(gòu)邊界上的節(jié)點(diǎn)未產(chǎn)生位移，即不存在誤差，故未在表中列出。

表1 策略一網(wǎng)格調(diào)整前節(jié)點(diǎn)數(shù)值解與解析解誤差

表2 策略一網(wǎng)格調(diào)整后節(jié)點(diǎn)數(shù)值解與解析解誤差

表3 策略一坐標(biāo)相近節(jié)點(diǎn)誤差對(duì)比

2.2 策略二結(jié)果對(duì)比

圖6中，網(wǎng)格調(diào)整前后結(jié)構(gòu)單元及節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，其中單元個(gè)數(shù)為2048個(gè)，節(jié)點(diǎn)1088個(gè)。由圖6可以看出，新方法下的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格分布較前者更加均勻，曲面也更為平滑。

圖6 策略二結(jié)構(gòu)變形云圖

依據(jù)圖7，網(wǎng)格調(diào)整前結(jié)構(gòu)應(yīng)力在4.28~4.65 MPa之間，應(yīng)力差值為0.37 MPa，網(wǎng)格調(diào)整后的結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布在4.38~4.72 MPa之間，應(yīng)力差值為0.34 MPa。整體應(yīng)力方面，網(wǎng)格調(diào)整后增加了約2.3%，應(yīng)力稍有提高；應(yīng)力差值方面，網(wǎng)格調(diào)整后減小了約9%，結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布較網(wǎng)格調(diào)整前也有一定減小。

圖7 策略二結(jié)構(gòu)應(yīng)力云圖(俯視圖)

從表4、表5、表6中可以看出，采用新方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)找形的節(jié)點(diǎn)數(shù)值解與解析解誤差較正常網(wǎng)格劃分方式下的誤差仍有顯著降低。

表4 策略二網(wǎng)格調(diào)整前節(jié)點(diǎn)數(shù)值解與解析解誤差

表5 策略二網(wǎng)格調(diào)整后節(jié)點(diǎn)數(shù)值解與解析解誤差

表6 策略二坐標(biāo)相近節(jié)點(diǎn)誤差對(duì)比

對(duì)比圖5a、圖7a、表1及表4還可以發(fā)現(xiàn)，分析時(shí)采用16×16的網(wǎng)格比12×12的網(wǎng)格應(yīng)力分布更均勻，數(shù)值解與解析解誤差也更小。

3 結(jié) 論

1) 結(jié)構(gòu)變形方面，分層加密網(wǎng)格法比常規(guī)方法求得的結(jié)構(gòu)變形更協(xié)調(diào)；應(yīng)力分布方面，采用分層加密網(wǎng)格法計(jì)算出的結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布比常規(guī)方法更加均勻；數(shù)值解與解析解誤差方面，采用分層加密網(wǎng)格法計(jì)算出的誤差相比于常規(guī)方法，其計(jì)算結(jié)果有明顯改善。

2) 進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)采用較密集的網(wǎng)格能提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確度。