王明珠， 楊冬英， 曹雁飛， 陳經(jīng)偉

(蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院， 蘇州 215011)

學(xué)者們針對樁-土振動(dòng)理論開展了大量研究，在成層土中樁基的振動(dòng)研究中，王奎華[1]、吳文兵等[2]基于廣義Voigt模型，研究了成層土土層參數(shù)對樁頂振動(dòng)特性的影響。何偉杰等[3]研究了大直徑樁在成層單相介質(zhì)土中的縱向振動(dòng)特性。劉林超等[4]、楊驍?shù)萚5]基于飽和多孔介質(zhì)理論與Novak等[6-7]薄層法，對成層飽和土中單樁的振動(dòng)問題進(jìn)行研究。

管樁是近年來出現(xiàn)的一種新型樁，憑借其優(yōu)勢得到廣泛應(yīng)用，同時(shí)它的動(dòng)力特性也得到重視[8]。但是在初期對于管樁的研究是考慮樁側(cè)土為單相介質(zhì)土或飽和土，崔春義等[9]基于多圈層平面應(yīng)變模型對單相介質(zhì)土中管樁的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。應(yīng)躍龍等[10]引入滲透系數(shù)，研究了飽和黏彈性地基土中管樁的縱向振動(dòng)，并討論了實(shí)心樁與管樁樁頂曲線的差異性。文獻(xiàn)[11-13]建立了飽和土與管樁的耦合振動(dòng)模型，分析了施工效應(yīng)及水的體積分?jǐn)?shù)的影響。為了接近實(shí)際土層，將實(shí)心樁樁側(cè)成層土的考慮應(yīng)用到管樁的研究中。崔周飛[14]視管樁樁側(cè)為成層單相土，分析了軟硬土層的影響。湯范楊等[15]視管樁樁側(cè)為成層飽和土，進(jìn)行了土塞相關(guān)問題的研究。但是目前為止成層土中管樁的振動(dòng)研究相對單一，或者純粹考慮單相介質(zhì)，或者考慮完全飽和，對實(shí)際由于地下水位變化而使樁側(cè)土單相和飽和情況變化的復(fù)雜成層土，尚未有學(xué)者對這類土中管樁的動(dòng)力問題進(jìn)行研究。

為此，假設(shè)樁側(cè)土層根據(jù)地下水位面，將地下水位面以上視為單相土，以下視為飽和土，建立單相土和飽和土與管樁的耦合振動(dòng)模型，探究地下水位面變化和地下水位面一定時(shí)管樁壁厚、樁周土的性質(zhì)對樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1 數(shù)學(xué)模型與基本假定

考慮樁側(cè)土體受在地下水位影響導(dǎo)致土層是單相介質(zhì)和飽和介質(zhì)的情況，建立管樁與樁側(cè)土耦合振動(dòng)模型。為了簡化計(jì)算，將土體分為兩層，視地下水位以上為單相介質(zhì)土，地下水位以下為飽和土，同時(shí)樁端視為黏彈性支承，樁頂受到任意激振力的作用，建立單相-飽和復(fù)雜成層土-管樁的數(shù)學(xué)模型，如圖1所示。將管樁沿縱向分段，從底部往上根據(jù)土層分層編號(hào)，每段樁長與成層土層厚度相同。

基于所建模型作出如下假定：①樁周土(單相土與飽和土)視為黏彈性體，樁端視為黏彈性支承；②樁周土(單相土與飽和土)兩個(gè)土層間的相互作用忽略不計(jì)；③管樁為圓形等截面體，其材料視為黏彈性，相鄰樁段符合位移連續(xù)條件及力平衡；④管樁與樁周土位移連續(xù)且樁-土振動(dòng)滿足小變形。

2 土體的動(dòng)力響應(yīng)

2.1 飽和土體的動(dòng)力響應(yīng)

根據(jù)飽和多孔介質(zhì)理論[16-17]以及下層土體的動(dòng)力控制方程為[18-19]

q(t)為樁頂豎向激振力；管樁的長度為H，H=h1+h2；內(nèi)半徑為r1；外半徑為r2；單相土層厚度為h1；飽和土層厚度為h2；管樁的 外壁剪切應(yīng)力為τ圖1 數(shù)學(xué)模型Fig.1 Mathematical model

(1)

(2)

(3)

對微分方程[式(2)]進(jìn)行求解可得其通解為

(4)

式(4)中：K0(λ1r)、I0(λ1r)分別為零階的第一類及第二類虛宗量的Bessel函數(shù)；C1、D1為待求的復(fù)系數(shù)，與所研究區(qū)域土體的邊界條件有關(guān)。

不考慮無限遠(yuǎn)處土體的位移，則D1=0，可得

(5)

任意一點(diǎn)土體的豎向剪切應(yīng)力τ為

(6)

式(6)中：η1為飽和土體阻尼系數(shù)；K1(λ1r)為一階的第二類虛宗量Bessel函數(shù)，由此可得單位長度上飽和土體對管樁的剪切復(fù)剛度為

(7)

式(7)中：r2為管樁的外半徑。

2.2 單相土體的動(dòng)力響應(yīng)

單相土體的振動(dòng)方程為

(8)

對式(8)采用Laplace變換并進(jìn)行整理可得

(9)

對式(9)進(jìn)行求解可得其通解為

(10)

式(10)中：K0(λ2r)、I0(λ2r)分別為零階的第一類及第二類虛宗量的Bessel函數(shù)；C2、D2為待求的復(fù)系數(shù)。

不考慮無限遠(yuǎn)處土體的位移，則D2=0，可得

(11)

任一點(diǎn)土體的豎向剪切應(yīng)力τ為

(12)

式(12)中：K2(λ2r)為一階的第二類虛宗量Bessel函數(shù)，由此可以得到單位長度上單相介質(zhì)土體對管樁的剪切復(fù)剛度為

(13)

3 管樁的縱向振動(dòng)方程與求解

任取管樁的微元體進(jìn)行分析，則管樁的縱向振動(dòng)方程為

(14)

式(14)中：ui(x,t)為第i段管樁的樁身位移；f1(x,t)、f2(x,t)分別為管樁內(nèi)側(cè)及外側(cè)的摩擦阻力；r1為管樁的內(nèi)半徑；r2為管樁的外半徑；Epi、Api、ρpi、ηpi分別為第i段管樁的楊氏模量、截面面積、樁身密度、樁身材料阻尼。

樁頂邊界條件與樁底邊界條件分別為

(15)

(16)

式(16)中：kp為彈簧系數(shù)；δp為阻尼系數(shù)。

應(yīng)滿足的初始條件為

(17)

連續(xù)條件為

ui(x,t)|x=hi=ui+1(x,t)|x=hi

(18)

(19)

對式(19)進(jìn)行求解可得

Ui(x,w)=Micos(βix)+Nisin(βix)

(20)

式(20)中：Mi、Ni為待求常數(shù)，可根據(jù)邊界條件求得。

對樁底的邊界條件采用Laplace計(jì)算可得

(21)

按照位移阻抗的概念(力與位移的比值)可以得出第1段管樁樁底處的函數(shù)表達(dá)式為

-[Ap1(kp+δpw)]

(22)

進(jìn)行整理并無量綱化可得

(23)

(24)

式(24)中：l1為第一段管樁的長度。

按照位移阻抗的概念(力與位移的比值)可以得出第1段管樁樁頂處的函數(shù)表達(dá)式為

(25)

根據(jù)遞推關(guān)系可以得到樁頂?shù)奈灰谱杩贡磉_(dá)式為

(26)

對式(26)采取無量綱化可得

(27)

式(27)中：Kr為無量綱動(dòng)剛度；Ki為無量綱動(dòng)阻尼。

樁頂速度導(dǎo)納Hv的表達(dá)式為

(28)

將式(28)進(jìn)一步無量綱化得

(29)

假設(shè)樁頂所受的振動(dòng)力為

(30)

式(30)中：T0為脈沖寬度。

對q(t)采取Laplace變換可得

(31)

式(31)中：Q為q(t)的Laplace變換。

根據(jù)卷積定理得出樁頂時(shí)域表達(dá)式為

(32)

對式(32)進(jìn)行無量綱化可得

(33)

4 相關(guān)參數(shù)分析

樁土參數(shù)不同往往對樁基礎(chǔ)的振動(dòng)特性產(chǎn)生影響，以下進(jìn)行兩種情況下的相關(guān)樁土參數(shù)對管樁振動(dòng)特性的影響研究。第一種是地下水位面變化的影響研究，第二種是地下水位面一定下管樁參數(shù)影響研究。

計(jì)算時(shí)樁土參數(shù)取值如下：樁周土體(下層飽和土)的參數(shù)：土體密度為2 000 kg/m3，剪切波速Vs1為200 m/s，水的體積分?jǐn)?shù)為0.33；樁周土體(上層單相土)參數(shù)：土體密度為1 800 kg/m3，剪切波速Vs2為180 m/s，兩土層阻尼比均為0.05；管樁的參數(shù)：管樁長度為12 m，內(nèi)、外半徑分別為0.3 m，0.5 m，樁身密度為2 500 kg/m3，縱波波速為4 000 m/s，泊松比0.25，樁身材料阻尼為0。彈簧系數(shù)無量綱化取為0.1，阻尼系數(shù)無量綱化取為0.06，脈沖寬度為0.8 ms。

4.1 地下水位面影響

樁側(cè)整體土層厚度12 m為定值，地下水位面距樁底的距離為h1，即樁側(cè)飽和土層厚度為h1，另h1取0、3、6、9、12 m。

圖2呈現(xiàn)的是地下水位面改變與樁頂速度時(shí)域曲線及幅頻曲線的關(guān)系。

|H′v|為速度導(dǎo)納H′v的模；為無量綱頻率； V′為時(shí)域響應(yīng)無量綱因子；為無量綱時(shí)間因子圖2 地下水位面對樁頂速度的影響Fig.2 Influence of groundwater level on pile top velocity

圖3 地下水位面對樁頂阻抗的影響Fig.3 Influence of groundwater level on pile top impedance

當(dāng)?shù)叵滤幻嬖跇兜讜r(shí)，此時(shí)飽和土層厚度為0，也就是樁周土為均質(zhì)單相土?xí)r，時(shí)域曲線反射信號(hào)幅值相對較小，隨著地下水位面的升高，反射信號(hào)幅值逐漸增大，這是由于土體的含水量不斷增多，土體對管樁的約束力慢慢減弱，吸收能量的能力也降低，形成了曲線幅值越來越大的現(xiàn)象；速度幅頻曲線表現(xiàn)出地下水位面越高、飽和土層厚度越大幅值越大的情形，是振動(dòng)能量吸收降低造成的。

4.2 管樁壁厚改變的影響

地下水位面在距樁底6 m時(shí)，分析管樁壁厚改變對樁頂振動(dòng)特性的影響，所得樁頂速度曲線與阻抗曲線如圖4、圖5所示，分析過程中管樁外半徑為0.5 m保持不變。

圖4(a)反映出管樁外半徑不變時(shí)，壁厚b越大，樁尖同向反射信號(hào)越強(qiáng)。由此可見，隨著壁厚的不斷增大，管樁截面積也變大，縱波傳播速度快，消耗的能量少，故反射幅值較為明顯；從圖4(b)中看出，壁厚為0.1 m時(shí)，速度導(dǎo)納曲線與其他曲線在波動(dòng)幅度上存在明顯的差異，其波動(dòng)幅度最小，壁厚越大曲線的波動(dòng)幅度越大。

由圖5可以看出，壁厚對樁頂阻抗存在較大的影響，壁厚最小為0.1 m時(shí)動(dòng)剛度、動(dòng)阻尼曲振蕩幅值很小，隨著壁厚的增加幅值增大，同時(shí)從單一曲線看振動(dòng)幅值隨著無量綱頻率的增大逐漸上升增加。

圖4 管樁壁厚對樁頂速度的影響Fig.4 Influence of pipe pile wall thickness on pile top velocity

圖5 管樁壁厚對樁頂阻抗的影響Fig.5 Influence of pipe pile wall thickness on pile top impedance

4.3 不同樁周土中管樁振動(dòng)特性的對比

將樁周土分為成層單相土、成層飽和土、單相-飽和復(fù)雜成層土，對樁頂?shù)恼駝?dòng)情況進(jìn)行對比分析。其中單相-飽和復(fù)雜成層土中地下水位面在距樁底6 m處(飽和土層厚度和單相土層厚度都為6 m)。以單相-飽和復(fù)雜成層土為基礎(chǔ)，首先，令下層飽和土中水的體積分?jǐn)?shù)為0，其余參數(shù)保持不變，使其成為成層單相土；其次，在參數(shù)不變的情況下將上層單相土變成飽和土，使其成為成層飽和土。

從圖6(a)中可以看出，樁周土的性質(zhì)對樁頂?shù)恼駝?dòng)特性存在一定的影響，樁周土不同時(shí)，樁尖反射的幅值存在明顯的差異，當(dāng)樁周為成層單相土?xí)r，反射波振幅最小，下層土變?yōu)轱柡屯翆訒r(shí)，振幅變大直至樁周土變?yōu)槌蓪语柡屯習(xí)r振幅最大。從圖6(b)可以看出，不同樁周土作用下產(chǎn)生的幅頻曲線上下振蕩呈規(guī)律性變化，不同之處在于振幅大小，表現(xiàn)出成層飽和土中樁頂?shù)恼駝?dòng)幅度最大，成層單相土中樁頂?shù)恼駝?dòng)幅度最小的情形。

圖7中動(dòng)剛度、動(dòng)阻尼曲線都表現(xiàn)出隨著共振頻率的增大振動(dòng)幅值逐漸增大的現(xiàn)象，并且三者的波動(dòng)頻率一致。此外，樁周由成層單相土變化到成層飽和土?xí)r，由于土體含水量不斷增多，縱波傳播消耗的能量減少，導(dǎo)致樁周為成層單相土、單相-飽和復(fù)雜成層土?xí)r樁頂?shù)恼穹h(yuǎn)小于樁周為成層飽和土?xí)r的振幅。

圖6 不同樁周土對樁頂速度的影響Fig.6 Influence of different soil around pile on velocity of pile top

圖7 不同樁周土對樁頂阻抗的影響Fig.7 Influence of different soil around pile on impedance of pile top

4.4 軟硬土層的影響

以上是考慮樁周為縱向兩層的非均質(zhì)土，為了明確軟硬土層對樁頂響應(yīng)的影響，進(jìn)一步將樁周土縱向分為三層(飽和土體分為等厚度的兩層，單相土層不變)，第一層飽和土和第三層單相土的參數(shù)同上一致，第二層飽和土通過改變土體剪切波速實(shí)現(xiàn)軟硬土層變化。Vs1=200 m/s，當(dāng)Vs1>Vs2時(shí)，說明土層為上軟下硬；當(dāng)Vs1=Vs2時(shí)，說明土層均質(zhì)；當(dāng)Vs1

圖8顯示樁周軟硬土層會(huì)對樁頂曲線產(chǎn)生明顯的影響。由圖8(a)可知，樁頂接收到樁底反射信號(hào)之前，首先收到了土層交界處傳遞的微小信號(hào)波，當(dāng)?shù)谝粚油恋男再|(zhì)優(yōu)于第二層時(shí)，微小信號(hào)波為同向反射，當(dāng)?shù)谝粚油恋男再|(zhì)差于第二層時(shí)，微小信號(hào)波為反向反射。同時(shí)也可得到，土的剪切波速越大，土體的性質(zhì)越好，傳遞反射信號(hào)會(huì)消耗更多的能量，因此反射信號(hào)幅值越小。由圖8(b)可知，第二層土為軟土層時(shí)得到幅頻曲線的幅值顯著大于均質(zhì)土?xí)r的幅值，而第二層為硬土層時(shí)，曲線幅值相對于均質(zhì)土較小。

圖9為軟硬土層對樁頂阻抗的影響。動(dòng)剛度曲線和動(dòng)阻尼曲線隨著剪切波速的增大，土體的性質(zhì)逐漸變好，相反幅值越小。飽和土層存在軟硬土層時(shí)與均質(zhì)飽和土的計(jì)算結(jié)果存在較大差異，由此可見軟硬土層這個(gè)因素對樁頂阻抗的影響不容忽視。

圖8 軟硬土層對樁頂速度的影響Fig.8 Influence of soft and hard soil on pile top velocity

圖9 軟硬土層對樁頂阻抗的影響Fig.9 Influence ofsoft and hard soil on pile top impedance

5 結(jié)論

以地下水位面為界，進(jìn)行單相-飽和復(fù)雜成層土中管樁的縱向振動(dòng)研究，具體分析了地下水位面變化、管樁壁厚和樁周土參數(shù)的影響，得出如下結(jié)論。

(1)地下水位面變化對樁頂振動(dòng)特性有一定的影響，并且地下水位面在樁底位置時(shí)，曲線的幅值最小，隨著地下水位面逐漸升高，曲線的振蕩幅值也越大。

(2)管樁壁厚較小時(shí)動(dòng)剛度、動(dòng)阻尼曲線趨近于一條直線，隨著壁厚的增大，曲線波動(dòng)幅度增大，幅值增大；成層單相土、單相-飽和復(fù)雜成層土、成層飽和土三種樁周土的曲線振動(dòng)幅度依次增大，且前兩者的峰值遠(yuǎn)小于第三種情況，由此可知管樁壁厚及樁周土體性質(zhì)的影響不可忽略。

(3)樁周的飽和土層無論是存在軟土層還是硬土層，樁頂?shù)乃俣惹€和阻抗曲線都與均質(zhì)飽和土層的曲線存在顯著差異，由此得到樁周土的復(fù)雜成層性能夠?qū)軜稑俄攧?dòng)力特性造成影響，并且影響程度由土體的性質(zhì)決定。