李彥宏，楊 帥，唐 順，趙維謙，邱麗榮

（北京理工大學(xué) 光電學(xué)院 精密光電測(cè)試儀器及技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081）

1 引 言

在光學(xué)測(cè)量領(lǐng)域，球面光學(xué)元件作為光刻機(jī)、慣性約束核聚變裝置等大型光學(xué)系統(tǒng)中應(yīng)用十分廣泛的光學(xué)器件，其曲率半徑的檢測(cè)精度會(huì)決定元件本身是否合格以及系統(tǒng)整體性能的優(yōu)劣。隨著技術(shù)的不斷發(fā)展，球面光學(xué)元件曲率半徑的檢測(cè)除了保證較高的精度（10-5量級(jí)）之外，還必須簡(jiǎn)便、高效、低成本，因此以較低的成本實(shí)現(xiàn)球面光學(xué)元件曲率半徑的高精度檢測(cè)具有重要意義。

曲率半徑測(cè)量方法分為接觸式和非接觸式兩大類。接觸式測(cè)量方法包括球徑儀法［1-2］、三坐標(biāo)法［3］和輪廓儀法［4-5］等，這些方法的精度相對(duì)較低、測(cè)量速度較慢，而且會(huì)對(duì)元件表面造成損傷，導(dǎo)致元件廢品率上升。非接觸式測(cè)量方法可分為干涉法和非干涉法。非干涉法由于受衍射極限的制約，測(cè)量精度僅能達(dá)到10-4，如刀口法和自準(zhǔn)直儀法等［6］。相比之下，干涉法具有更高的測(cè)量精度，是目前應(yīng)用最廣泛的方法。隨著研究的深入，基于牛頓干涉法［7］、F-P干涉法［8-9］、泰伯-莫爾條紋干涉法［10］以及菲索干涉法［11-12］的曲率半徑測(cè)量方法被提出。

目前，最為常用且成熟的曲率半徑測(cè)量?jī)x器是ZYGO公司的菲索干涉儀，它利用機(jī)械移相分別對(duì)被測(cè)球面的貓眼位置和共焦位置進(jìn)行定焦，進(jìn)而得到待測(cè)曲率半徑。共焦法［13］基于菲索干涉光路，其測(cè)量的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為2×10-5，然而衍射極限限制了共焦法的測(cè)量精度。本課題組于2010年提出了非干涉的激光差動(dòng)共焦曲率半徑測(cè)量方法［14］，該方法基于差動(dòng)共焦法研究出針對(duì)凹、凸曲率半徑［15-16］以及特殊光學(xué)元件［17-19］的測(cè)量方法。然而，傳統(tǒng)差動(dòng)共焦法使用兩路離焦量大小相等、方向相反的針孔和探測(cè)器，同時(shí)兩個(gè)探測(cè)器的響應(yīng)特性必須保持一致，測(cè)量誤差較大，既增加了系統(tǒng)的造價(jià)成本，也增加了系統(tǒng)裝調(diào)、校準(zhǔn)的難度和時(shí)間。

本文提出后置分光瞳激光差動(dòng)共焦曲率半徑測(cè)量方法（Detecting Divided Aperture Laser Differential Confocal Radius Measurement，DDALDCRM），借助D型光闌將軸向雙路離焦探測(cè)轉(zhuǎn)化為焦平面上的單路離軸探測(cè)，通過算法實(shí)現(xiàn)虛擬針孔位置的選取，實(shí)現(xiàn)元件曲率半徑的差動(dòng)測(cè)量。與傳統(tǒng)差動(dòng)共焦法相比，該方法在保證測(cè)量精度的前提下減少一路探測(cè)系統(tǒng)，大大簡(jiǎn)化了光路結(jié)構(gòu)，同時(shí)避免了復(fù)雜且耗時(shí)的系統(tǒng)裝調(diào)過程，降低了系統(tǒng)成本。

2 測(cè)量原理

后置分光瞳差動(dòng)共焦測(cè)量原理如圖1所示。點(diǎn)光源S出射的光經(jīng)過分光鏡PBS和λ/4波片后被準(zhǔn)直鏡Lc準(zhǔn)直為平行光，平行光束入射匯聚鏡Ls后形成會(huì)聚的測(cè)量光束，當(dāng)測(cè)量光束聚焦在被測(cè)透鏡的貓眼位置和共焦位置時(shí)，其反射光束依次經(jīng)過匯聚鏡、準(zhǔn)直鏡和λ/4波片后被分光鏡反射，形成探測(cè)光束。探測(cè)光束被D型光闌（D-type Aperture，DA）遮擋一半，透過的一半測(cè)量光束會(huì)聚在顯微物鏡（Microscope Objective，MO）的物平面上，并被顯微物鏡以放大率β放大成像在CCD探測(cè)面上。在探測(cè)器平面上設(shè)置兩個(gè)圓形探測(cè)區(qū)域vph1和vph2，對(duì)稱地設(shè)置在坐標(biāo)原點(diǎn)的兩側(cè)，探測(cè)到焦前、焦后位置的軸向光強(qiáng)響應(yīng)并進(jìn)行差動(dòng)處理。差動(dòng)共焦響應(yīng)曲線的零點(diǎn)精確對(duì)應(yīng)被測(cè)球面元件的貓眼位置和共焦位置，利用激光干涉儀精確測(cè)得被測(cè)鏡表面貓眼點(diǎn)和共焦點(diǎn)的軸向坐標(biāo)ZA和ZB，這二者的間距d=zA-zB即為曲率半徑R。

圖1 后置分光瞳曲率半徑測(cè)量原理Fig.1 Detecting divided aperture laser differential confo?cal radius measuring principle

在CCD探測(cè)平面上設(shè)置兩個(gè)關(guān)于光軸對(duì)稱的圓形區(qū)域vph1，vph2，其差動(dòng)光強(qiáng)響應(yīng)函數(shù)為：

其中：u為歸一化軸向坐標(biāo)，v為歸一化極徑坐標(biāo)，ρ0為歸一化光瞳半徑，D/fS′為匯聚鏡Ls的相對(duì)孔徑，fC′為準(zhǔn)直鏡Lc焦距，積分區(qū)域?yàn)榘雸A。

離軸探測(cè)原理為：光斑在焦平面上橫向離軸，即焦前和焦后的探測(cè)位置與焦點(diǎn)探測(cè)位置不重合，如圖2所示，顯微物鏡將D型光闌遮擋的一半測(cè)量光束放大成像于焦平面的探測(cè)CCD上，當(dāng)被測(cè)鏡在貓眼點(diǎn)或共焦點(diǎn)附近進(jìn)行軸向掃描時(shí)，即歸一化軸向坐標(biāo)u從-2到2變化時(shí)，虛擬針孔vph1首先探測(cè)到焦前位置的光強(qiáng)信號(hào)，隨后vph2探測(cè)到焦后位置的光強(qiáng)信號(hào)，便可使用一路探測(cè)光路實(shí)現(xiàn)對(duì)焦前、焦后位置的探測(cè)。將虛擬針孔vph1和vph2的軸向響應(yīng)信號(hào)相減可以得到差動(dòng)共焦曲線，利用曲線零點(diǎn)附近存在的線性區(qū)域進(jìn)行直線擬合，計(jì)算得到絕對(duì)零點(diǎn)的位置坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)高精度、高靈敏差動(dòng)共焦定焦。

圖2 D型光闌離軸差動(dòng)探測(cè)原理Fig.2 Principle for off-axis differential detection using Dtype aperture

與傳統(tǒng)差動(dòng)共焦曲率半徑測(cè)量方法相比，本方法采用位于焦平面的CCD探測(cè)，通過軟件設(shè)置虛擬針孔實(shí)現(xiàn)對(duì)焦前、焦后位置的光強(qiáng)探測(cè)，可通過算法計(jì)算出CCD像面的像素位置坐標(biāo)，使得虛擬針孔位置選取更加方便快捷，而且避免了物理針孔尺寸對(duì)定焦靈敏度的影響；利用D型光闌將軸向離焦探測(cè)轉(zhuǎn)換為橫向離軸探測(cè)，簡(jiǎn)化了測(cè)量光路，進(jìn)一步降低了差動(dòng)共焦曲率半徑測(cè)量的裝調(diào)難度和成本。

3 虛擬針孔定位算法

利用算法實(shí)現(xiàn)CCD虛擬針孔檢測(cè)，對(duì)序列光斑圖像計(jì)算質(zhì)心坐標(biāo)并擬合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡直線，然后確定虛擬針孔的對(duì)稱中心以及離軸量大小和偏轉(zhuǎn)角度，即可實(shí)現(xiàn)虛擬針孔vph1和vph2的定位，虛擬針孔定位算法流程和定位示意圖如圖3所示。

圖3 虛擬針孔定位算法Fig.3 Virtual pinhole location algorithm

3.1 光斑質(zhì)心計(jì)算

外界環(huán)境存在的雜散光被采集CCD所接收，采集光斑圖像存在較多噪聲，會(huì)影響光斑的質(zhì)心計(jì)算，降低圖像的信噪比。因此在計(jì)算質(zhì)心坐標(biāo)之前，對(duì)序列光斑圖像進(jìn)行預(yù)處理，得到信噪比較好的光斑圖像。然后進(jìn)行二值化處理，由于圖像只有中間有光斑的部分的灰度值較大，四周的灰度值很低，可采用最大類間方差法（Otsu）實(shí)現(xiàn)對(duì)全局光斑圖像的二值化處理。其主要思想為設(shè)置閾值將圖像分割為目標(biāo)部分和背景部分，當(dāng)兩部分的類間方差最大時(shí)，目標(biāo)和背景的差別最大，二值化效果最好，由此計(jì)算出最佳閾值，得到光斑邊緣輪廓。最后，利用重心法求得每幅光斑圖像的質(zhì)心坐標(biāo)（ik，jk），其計(jì)算公式為：

其中m，n分別為光斑圖像橫向和縱向的像素點(diǎn)數(shù)目。

3.2 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡擬合

在得到序列光斑的質(zhì)心坐標(biāo)之后，可以發(fā)現(xiàn)光斑的質(zhì)心是沿某一方向運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方向與D型光闌的弦邊垂直，即擬合的光斑質(zhì)心坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡與D型光闌弦邊的中垂線重合?？紤]到實(shí)際應(yīng)用時(shí)無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)得D型光闌的擺放角度，因此需要對(duì)采集到的光斑圖像的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行擬合，間接求出質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方向。利用最小二乘法對(duì)序列圖像的質(zhì)心坐標(biāo)(ik，jk)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行線性擬合，序列質(zhì)心的橫坐標(biāo)記為I=(i1，i2，…，ik)T，縱坐標(biāo)記為J=(j1，j2，…，jk)T，假設(shè)回歸方程的矩陣表達(dá)式為：

即L=AI，其中A=(a0，a1)T，則觀測(cè)值J與擬合值L的偏差ε為：

最終求得序列光斑質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡直線TL。

3.3 確定對(duì)稱中心和離軸量

理想虛擬針孔的對(duì)稱中心應(yīng)當(dāng)是其焦點(diǎn)位置，在實(shí)際測(cè)量時(shí)并不知道焦點(diǎn)位置位于CCD像面的何處，因此將質(zhì)心坐標(biāo)灰度值g0(io，jo)最大時(shí)可近似看作其焦點(diǎn)位置，該質(zhì)心坐標(biāo)(io，jo)設(shè)為虛擬探針的對(duì)稱中心。

對(duì)軸向響應(yīng)曲線Idiff（u）求偏導(dǎo)得到差動(dòng)共焦離軸量。當(dāng)離軸量不斷增加時(shí)，差動(dòng)共焦曲線的定焦靈敏度隨離軸量的變化曲線如圖4所示，可以看出差動(dòng)共焦曲線零點(diǎn)位置的歸一化定焦靈敏度S（vM）在vM=4.2時(shí)最大，Smax(4.2)=0.517，此時(shí)差動(dòng)共焦曲線具有最高的定焦靈敏度。此外，離軸量的大小與顯微物鏡的放大倍數(shù)和CCD的像元尺寸有關(guān)，虛擬針孔在CCD探測(cè)面上的最佳離軸量為：

圖4 定焦靈敏度隨v M的變化Fig.4 Fixed focus sensitivity changes with v M

其中：fC′為匯聚鏡Lc的焦距，D為匯聚鏡Lc的通光口徑，β為顯微物鏡的放大倍數(shù)，p為CCD的像元尺寸。

運(yùn)動(dòng)軌跡擬合直線TL與水平方向的夾角即為虛擬針孔的離軸量偏轉(zhuǎn)角，即有：

后置分光瞳差動(dòng)共焦法主要通過程序設(shè)置對(duì)稱中心、離焦量和偏轉(zhuǎn)角這3個(gè)參數(shù)，由此可共同確定CCD探測(cè)面上虛擬針孔位置，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)單路離軸的差動(dòng)共焦定焦測(cè)量。

3.4 虛擬針孔尺寸確定

假設(shè)探測(cè)器針孔的歸一化半徑為rp，實(shí)際點(diǎn)探測(cè)器得到的圓域內(nèi)的光強(qiáng)響應(yīng)可以看作是光強(qiáng)響應(yīng)函數(shù)在以rp為半徑的圓域的積分，則探測(cè)器探測(cè)到的平均光強(qiáng)響應(yīng)信號(hào)為：

隨著積分區(qū)域的變化，得到的平均光強(qiáng)也會(huì)有所不同。圖5為定焦靈敏度S（vM）隨歸一化針孔半徑rp的變化曲線。隨著針孔半徑的增大，定焦靈敏度下降。

圖5 定焦靈敏度隨針孔尺寸的變化Fig.5 Variation of fixed focus sensitivity with pinhole′s radius

因此虛擬針孔的尺寸半徑rvph也應(yīng)很小，一方面需保證可采集到足夠強(qiáng)的光強(qiáng)信號(hào)，另一方面以該區(qū)域的平均光強(qiáng)來描述虛擬針孔中心的光強(qiáng)信號(hào)，保證光強(qiáng)信號(hào)的準(zhǔn)確性。選取以定位好的虛擬針孔的中心坐標(biāo)為圓心，以rvph為半徑的圓形區(qū)域，計(jì)算該圓形區(qū)域內(nèi)的平均灰度值作為虛擬針孔的探測(cè)光強(qiáng)響應(yīng)。在CCD探測(cè)面上的半徑rvph與顯微物鏡的放大倍數(shù)β和CCD的像元尺寸p有關(guān)，此時(shí)的虛擬針孔半徑rvph為：

綜合考慮，在保證零點(diǎn)的定焦靈敏度S（vM）不低于0.5時(shí)，虛擬針孔的尺寸半徑越小越好。一般情況下，CCD探測(cè)面上的虛擬針孔半徑rvph為3個(gè)像素為宜，此時(shí)對(duì)應(yīng)的物理針孔半徑rp約為1μm，既能使探測(cè)區(qū)域有足夠的光強(qiáng)，也能使針孔尺寸足夠小，保證了差動(dòng)共焦的高定焦靈敏度。

4 測(cè)量實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

為了驗(yàn)證本文方法的正確性及可行性，搭建后置分光瞳差動(dòng)共焦測(cè)量?jī)x器如圖6所示。測(cè)量?jī)x器主要由測(cè)量主機(jī)、直線導(dǎo)軌、五維調(diào)整架和測(cè)長(zhǎng)干涉儀4部分組成。測(cè)量主機(jī)的光軸、氣浮導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)軸以及測(cè)長(zhǎng)干涉儀光軸嚴(yán)格同軸，將被測(cè)鏡裝卡與五維自動(dòng)工作臺(tái)上，通過氣浮導(dǎo)軌在貓眼位置和共焦位置移動(dòng)，測(cè)長(zhǎng)干涉儀實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)位置，整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置放置于隔振平臺(tái)上，隔絕環(huán)境振動(dòng)對(duì)測(cè)量的干擾。實(shí)驗(yàn)在室溫為（20.0±0.5）℃、濕度為42%±4%的環(huán)境下進(jìn)行，被測(cè)件選用ZYGO F1.5的標(biāo)準(zhǔn)物鏡，其外表面的曲率半徑為-121.21 mm。

圖6 后置分光瞳差動(dòng)共焦曲率半徑測(cè)量?jī)x器Fig.6 Detecting divided aperture laser differential confo?cal radius measurement instrument

4.1 單點(diǎn)定焦及曲率半徑重復(fù)性實(shí)驗(yàn)

首先對(duì)貓眼位置進(jìn)行單點(diǎn)定焦實(shí)驗(yàn)，對(duì)測(cè)得的貓眼點(diǎn)的光斑圖像進(jìn)行虛擬針孔定位。選取CCD像面上坐標(biāo)為（276，232）作為中心點(diǎn)，虛擬針孔vph1，vph2的中心坐標(biāo)為（285，205）和（267，259），得到虛擬針孔vph1，vph2的光強(qiáng)響應(yīng)曲線并進(jìn)行差動(dòng)相減處理，其虛擬針孔vph1，vph2以及差動(dòng)共焦光強(qiáng)響應(yīng)曲線如圖7所示。利用貓眼位置差動(dòng)曲線零點(diǎn)附近的約9.5μm（-0.001 7 mm，0.007 8 mm）的線性測(cè)量范圍進(jìn)行直線擬合，得到：

計(jì)算得到零點(diǎn)的位置坐標(biāo)為0.003 0 mm，虛擬針孔vph1，vph2探測(cè)響應(yīng)曲線的半高寬（Full Width Half Maximum，F(xiàn)WHM）約為15μm。與差動(dòng)共焦法相比，此時(shí)的定焦靈敏度已達(dá)最高且無(wú)需額外調(diào)整硬件。

然后進(jìn)行曲率半徑的重復(fù)性測(cè)量實(shí)驗(yàn)。將被測(cè)鏡移動(dòng)到貓眼位置，測(cè)量此時(shí)的絕對(duì)位置zA，再次移動(dòng)到共焦位置，測(cè)量此時(shí)的絕對(duì)位置zB，則曲率半徑R=zA-zB，其中一次測(cè)量的貓眼和共焦位置的差動(dòng)共焦曲線圖7所示。

圖7 貓眼點(diǎn)和共焦點(diǎn)的差動(dòng)共焦曲線Fig.7 Differential confocal curves of cat′s eye point and confocal points

將后置分光瞳差動(dòng)共焦的測(cè)量結(jié)果與差動(dòng)共焦法的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，兩種方法重復(fù)測(cè)量10次的結(jié)果如表1所示。后置分光瞳差動(dòng)共焦法的曲率半徑測(cè)量結(jié)果的平均值為-121.209 4 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.53μm；差動(dòng)共焦法的曲率半徑測(cè)量結(jié)果的平均值為-121.209 7 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.39 μm，二者的測(cè)量結(jié)果相差0.3μm。

表1 曲率半徑重復(fù)測(cè)量結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of repeated measurement results of radius of curvature

4.2 不確定度分析

與傳統(tǒng)的差動(dòng)共焦法相比，本方法采用一路探測(cè)光路實(shí)現(xiàn)差動(dòng)共焦測(cè)量，避免了傳統(tǒng)差動(dòng)共焦由于兩個(gè)探測(cè)器的離焦量不一致引入的測(cè)量不確定度。此外，除了激光干涉儀測(cè)長(zhǎng)誤差、測(cè)長(zhǎng)激光光軸與系統(tǒng)光軸不同軸、面形誤差、運(yùn)動(dòng)誤差以及重復(fù)測(cè)量誤差會(huì)引入不確定度，由于在探測(cè)光路中加入D型光闌，光闌偏心也會(huì)影響其定焦結(jié)果。

4.2.1 光闌偏心引入的不確定度

光闌偏心影響定焦靈敏度，由此帶來了定焦誤差，引入的不確定度為：

其中：SNR是數(shù)字顯微鏡探測(cè)器的信噪比，S′（u）為某一偏心量下的定焦靈敏度補(bǔ)償值。此外根據(jù)公式還可以看出標(biāo)準(zhǔn)匯聚透鏡Ls的相對(duì)口徑D/fS′同樣引入不確定度，物鏡的相對(duì)口徑越大，定焦精度越高，因此在測(cè)量過程中應(yīng)選取相對(duì)口徑合適的標(biāo)準(zhǔn)物鏡來保證定焦精度。

4.2.2 測(cè)長(zhǎng)誤差引入的不確定度

進(jìn)行位置監(jiān)測(cè)的測(cè)長(zhǎng)干涉儀采用了測(cè)量不確 定 度 高 達(dá) ±0.5×10-6(k=2)的REN?ISHAW XL-80雙頻激光干涉儀，測(cè)長(zhǎng)誤差引入的不確定度為：

4.2.3 光軸不重合引入的不確定度

實(shí)際測(cè)量時(shí)，系統(tǒng)光軸和測(cè)長(zhǎng)干涉儀測(cè)量軸線之間存在一定夾角γ，由此帶來曲率半徑測(cè)量誤差。在CCD輔助下，γ角的調(diào)整精度可達(dá)4′，其不確定度為：

4.2.4 面形誤差引入的不確定度

測(cè)量貓眼位置時(shí)激光匯聚于被測(cè)鏡表面一微小區(qū)域，該區(qū)域與最佳參考球面不重合，會(huì)引入波長(zhǎng)量級(jí)的誤差，可用標(biāo)準(zhǔn)參考鏡面形PV值測(cè)量來補(bǔ)償誤差，補(bǔ)償后對(duì)被測(cè)鏡曲率半徑測(cè)量的不確定度為：

4.2.5 運(yùn)動(dòng)誤差引入的不確定度

在實(shí)際測(cè)量時(shí)，由于導(dǎo)軌的直線度偏差，被測(cè)件在沿運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)過程中相對(duì)測(cè)量軸發(fā)生徑向平移，系統(tǒng)采用高精度氣浮導(dǎo)軌，行程為1.5 m，運(yùn)動(dòng)徑向平移精度可達(dá)3μm，徑向平移誤差引入的不確定度為：

4.2.6 重復(fù)測(cè)量引入的不確定度

環(huán)境振動(dòng)、氣流、溫度等因素也會(huì)造成測(cè)量誤差，重復(fù)測(cè)量誤差帶來的不確定度為：

4.2.7 合成不確定度

上述不確定度分量相互獨(dú)立，最終合成的不確定度為：

該標(biāo)準(zhǔn)球曲率半徑測(cè)量結(jié)果的相對(duì)擴(kuò)展不確定度為：

5 結(jié) 論

本文提出了DDA-LDCRM方法，闡述了基于虛擬針孔技術(shù)的后置分光瞳差動(dòng)共焦定焦原理，研究出虛擬針孔定位算法實(shí)現(xiàn)單路離軸探測(cè)，然后構(gòu)建DDA-LDCRM儀器，對(duì)儀器性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：10次測(cè)量曲率半徑的平均值為-121.209 4 mm，重復(fù)性優(yōu)于5×10-6。在滿足曲率半徑高精度測(cè)量需求之外，該方法舍去雙路離焦探測(cè)裝置，改為單路焦面探測(cè)，而且虛擬針孔的位置可以根據(jù)算法輕松調(diào)整，避免了傳統(tǒng)物理針孔調(diào)整困難的缺點(diǎn)，極大地降低了系統(tǒng)裝調(diào)的難度和成本，為高精度曲率半徑測(cè)量提供了一條簡(jiǎn)便易行且成本低廉的途徑。