沐季歌

巴塞爾問題是一個(gè)著名的數(shù)論問題，由瑞士數(shù)學(xué)家皮耶特羅·門戈利于1644年提出.這個(gè)問題是以數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉的家鄉(xiāng)——瑞士的第三大城市巴塞爾命名的.1735年，年僅28歲的歐拉就得到了該問題的解法.

一、巴塞爾問題

巴塞爾問題可以簡要地描述為一個(gè)求和問題：

仔細(xì)觀察，你會發(fā)現(xiàn)巴塞爾問題其實(shí)就是一個(gè)冪級數(shù)求和問題.這個(gè)級數(shù)的和大約等于1.644934.歐拉發(fā)現(xiàn)它的準(zhǔn)確值是詈，并在1735年公布該結(jié)果.由于這個(gè)問題難倒了許多數(shù)學(xué)家，所以歐拉在發(fā)表該結(jié)果后馬上就出名了.

二、歐拉的解法

歐拉最初給出的方法并不是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但過程非常簡潔，想法特別新奇.歐拉最初的想法來自sinc（ X）函數(shù)，他將該函數(shù)定義為：sinc

（2）.其函數(shù)的圖象如圖1所示，當(dāng)x趨向于0時(shí)，

與 X的變化速度相同，將它們相除最終的結(jié)果會收斂到1.之所以要構(gòu)造這個(gè)函數(shù)，是因?yàn)榘腿麪枂栴}的答案就藏在它的零點(diǎn)，即當(dāng)sinc

=0時(shí)x的所有取值中.

1.運(yùn)用超越函數(shù)

歐拉首先構(gòu)造出多個(gè)多項(xiàng)式連乘的式子f（x）

然后將其展開，得到如下表達(dá)式：

我們知道，如果某一個(gè)函數(shù)的所有零點(diǎn)等于另一個(gè)函數(shù)的所有零點(diǎn)，那么至少在零點(diǎn)的附近，它們是近似的.這樣就構(gòu)建了一個(gè)與巴塞爾問題相關(guān)聯(lián)的等式（4）式.（4）式的展開式實(shí)際上是超越函數(shù).

圖2、3、4分別為指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的圖象.我們可以看出來，該函數(shù)的零點(diǎn)就是所有正負(fù)整數(shù).由

歐拉借助熟悉的式子（1 - x）（l +x）=l- X2來研究

歐拉把這個(gè)積式展開，并把所有x的二次項(xiàng)的系數(shù)收集在一起，得到x2+…（7）.這樣，等式右邊的式子已經(jīng)完全展開了，該式中x的二次項(xiàng)的系數(shù)為

然后把等

式左邊的x移到右邊，就會得到一個(gè)x的三次項(xiàng)，左邊便只剩下

那么只要求出x的三次項(xiàng)的系數(shù)的和，便能得出巴塞爾問題的答案.

2.利用泰勒級數(shù)

泰勒級數(shù)使用了無限項(xiàng)連加的形式來表示某一函數(shù)，每一項(xiàng)都是通過求該函數(shù)在某一點(diǎn)的n階導(dǎo)數(shù)計(jì)算出來的.也就是說，泰勒級數(shù)采用了無窮的子項(xiàng)去逼近某一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，每一個(gè)高階導(dǎo)數(shù)都是對該值的一點(diǎn)點(diǎn)逼近，最終收斂到該函數(shù).

當(dāng)項(xiàng)的數(shù)目不斷增加，泰勒級數(shù)最終將收斂于它所表示的函數(shù)的極值.圖5巾黑色曲線代表sinx（

）函數(shù)，其他曲線為其對應(yīng)不同階次的泰勒展開式，也就是最高次冪分別為1、3、5、7、9、11和13的多項(xiàng)式.這就需要找到逼近

中x的三次項(xiàng)的系數(shù)，圖5巾

的7個(gè)泰勒展開式為：

f（x）=x，

（7）式的左邊可以根據(jù)泰勒展開式表示為：

（9）.歐拉抽取x2項(xiàng)的系數(shù)，將式8看作具有無窮次冪的“偽多項(xiàng)式”，這樣的偽多項(xiàng)式有無窮多個(gè)根，其對應(yīng)的根由式（5）給出.通過聯(lián)立（7）式和（9）式，便可求

展開后的x的

二次項(xiàng)系數(shù)的和，即可得到巴塞爾問題的答案：.l+

不僅如此，歐拉在解答巴塞爾問題的過程巾得…了著名的瓦里斯（Wallis）乘積公式，僅需將 代入（6）式并求其倒數(shù)即可得到：，

歐拉在解決巴塞爾問題的過程巾并未涉及復(fù)雜的技巧與數(shù)學(xué)概念，只是巧妙地利用超越函數(shù)和泰勒級數(shù)逐步推導(dǎo)并進(jìn)行一系列巧妙的變換，便解決了著名的世界數(shù)學(xué)難題.這樣的思考過程、邏輯推理過程，讓人驚嘆不已.