方戰(zhàn)鋒,李正義,陸 坤,蘇 峻

(南京林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210037)

邁克爾遜干涉儀是利用分振幅法實(shí)現(xiàn)分光干涉的精密光學(xué)儀器。其中，分光板將光源發(fā)出的光分成相互垂直的兩束光，即由分光板表面反射的光(反射光)及透過分光板的光(透射光)。補(bǔ)償板平行于分光板放置，用于補(bǔ)償這兩束光的光程差。當(dāng)補(bǔ)償板和透射光的夾角改變時(shí)，會(huì)引起透射光光程的變化。故在緩慢改變補(bǔ)償板的角度的過程中可以觀察到干涉圓環(huán)不斷從其中心“吐出”或“吞入”[1]。已有文獻(xiàn)[2,3]從理論上推導(dǎo)出補(bǔ)償板的角度在45°～90°范圍內(nèi)變化時(shí)其角度變化量與干涉條紋變化的關(guān)系，但未見有實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。本文推導(dǎo)了補(bǔ)償板的角度在0°～90°范圍內(nèi)變化時(shí)，其角度變化量與干涉條紋變化的關(guān)系。利用精密微調(diào)螺桿調(diào)節(jié)補(bǔ)償板的角度，并基于光杠桿原理[4]測(cè)量補(bǔ)償板微小角度變化量，驗(yàn)證了補(bǔ)償板角度變化量與干涉條紋變化的關(guān)系。可為應(yīng)用邁克爾遜干涉儀測(cè)量微小角度變化提供理論和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。同時(shí)，基于等傾干涉的光強(qiáng)分布公式，利用MATLAB設(shè)計(jì)了仿真實(shí)驗(yàn)軟件。

1 理論依據(jù)

圖1 補(bǔ)償板旋轉(zhuǎn)前后透射光光路圖

設(shè)空氣的折射率為n0，補(bǔ)償板的折射率為n2，補(bǔ)償板厚度為d，則透射光在補(bǔ)償板旋轉(zhuǎn)前后的光程差為：

(1)

i+θ=90°,i′+θ′=90°

(2)

根據(jù)折射定律，n0sini=n2sinj，n0sini′=n2sinj′，及(1)、(2)式可得：

(3)

(4)

當(dāng)補(bǔ)償板在光路中繞其他軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，等效為補(bǔ)償板繞其前表面中心軸的旋轉(zhuǎn)及其平動(dòng)的疊加。而補(bǔ)償板在平動(dòng)過程中不會(huì)引起額外光程差。故(4)式對(duì)補(bǔ)償板繞任意軸旋轉(zhuǎn)均成立。

2 實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)和功能

在邁克爾遜干涉儀(WSM-100，杭州光學(xué)電子儀器有限公司生產(chǎn))補(bǔ)償板一側(cè)加裝精密微調(diào)螺桿(M6×0.25，精度0.001 mm)，以對(duì)補(bǔ)償板的角度進(jìn)行微調(diào)(順時(shí)針旋轉(zhuǎn)微調(diào)螺桿時(shí)，補(bǔ)償板與透射光方向夾角減?。荒鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)微調(diào)螺桿時(shí)，夾角增大)。在補(bǔ)償板上方固定一個(gè)表面鍍膜平面反射鏡，其與補(bǔ)償板嚴(yán)格平行且豎直放置，如圖2所示。

1-精密微調(diào)螺桿；2-微調(diào)螺桿球頭；3-補(bǔ)償板G2；4-微調(diào)螺桿固定支架；5-表面鍍膜平面反射鏡；6-平面反射鏡底座圖2 微調(diào)螺桿及平面反射鏡結(jié)構(gòu)圖

實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示，利用半導(dǎo)體激光器、平面反射鏡以及光屏E2組成光杠桿系統(tǒng)以測(cè)量補(bǔ)償板角度的微小變化量。當(dāng)通過精密微調(diào)螺桿微調(diào)補(bǔ)償板的角度時(shí)，平面反射鏡旋轉(zhuǎn)相同角度，半導(dǎo)體激光器發(fā)出的激光經(jīng)平面反射鏡反射至光屏E2中，進(jìn)而將補(bǔ)償板微小角度變化量放大為光屏E2上反射光點(diǎn)的位移量。

1-光屏E1；2-光源；3-鍍膜平面反射鏡；4-平面鏡底座；5-分光板G1；6-補(bǔ)償板G2；7-微調(diào)螺桿；8-補(bǔ)償板底座；9-光屏E2；10-半導(dǎo)體激光器；11-動(dòng)鏡M1；12-定鏡M2；13-反射光點(diǎn)圖3 實(shí)驗(yàn)裝置圖

2.2 補(bǔ)償板角度測(cè)量原理

圖4所示，記平面反射鏡與透射光夾角45°位置為P，半導(dǎo)體激光器中心投影至光屏E2中的位置為點(diǎn)Q。設(shè)光屏E2中反射光點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離為D，補(bǔ)償板旋轉(zhuǎn)前平面反射鏡中心到光屏E2的垂直距離為L(zhǎng)。則補(bǔ)償板旋轉(zhuǎn)后經(jīng)平面反射鏡產(chǎn)生的反射光線與其入射光線的夾角為：

(5)

其中，平面反射鏡由位置P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，D>0；逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，D<0。根據(jù)反射定理及幾何關(guān)系可知，平面反射鏡(也即補(bǔ)償板)偏離位置P的角度為：

(6)

由幾何關(guān)系可知旋轉(zhuǎn)后補(bǔ)償板和透射光方向夾角為：

θ′=45°-α

(7)

聯(lián)立(5)、(6)及(7)式，可得：

(8)

1-半導(dǎo)體激光器；2-旋轉(zhuǎn)前平面反射鏡；3-旋轉(zhuǎn)后平面反射鏡；4-光屏E2；5-透射光圖4 補(bǔ)償板角度測(cè)量原理圖

2.3 測(cè)量過程

搭建如圖3所示實(shí)驗(yàn)裝置。調(diào)節(jié)邁克爾遜干涉儀，使光屏E1中呈現(xiàn)清晰完整的干涉條紋，測(cè)出平面反射鏡中心到光屏E2的垂直距離L。

(1)調(diào)節(jié)補(bǔ)償板至某個(gè)初始角度，標(biāo)記光屏E2中反射光點(diǎn)位置為點(diǎn)S，測(cè)量并記錄點(diǎn)S和點(diǎn)Q的距離D0，根據(jù)(8)式計(jì)算補(bǔ)償板和透射光方向夾角θ0。

(2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)微調(diào)螺桿，當(dāng)光屏E1中干涉條紋中心“吐出”(或向中心“吞入”)圓環(huán)數(shù)量變化15個(gè)時(shí)，測(cè)量并記錄光屏E2中反射光點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離D。記錄多組數(shù)據(jù)后，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)微調(diào)螺桿，將光屏E2中反射光點(diǎn)和標(biāo)記點(diǎn)S重合。

(3)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)微調(diào)螺桿，當(dāng)光屏E1中干涉條紋中心“吞入”(或向中心“吐出”)圓環(huán)數(shù)量變化15個(gè)時(shí)，測(cè)量并記錄光屏E2中反射光點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離D。記錄多組數(shù)據(jù)后，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)微調(diào)螺桿，將光屏E2中反射光點(diǎn)和標(biāo)記點(diǎn)S重合。

(4)重復(fù)上述步驟(2)、(3)三次。

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理及誤差分析

實(shí)驗(yàn)中分別測(cè)量了補(bǔ)償板初始角度在45°附近、30°附近及50°附近時(shí)補(bǔ)償板角度改變量和干涉條紋中心“吞吐”圓環(huán)的數(shù)量。實(shí)驗(yàn)用邁克爾遜干涉儀補(bǔ)償板厚度d=8.28 mm，所使用的激光波長(zhǎng)λ=624.8 nm(實(shí)驗(yàn)測(cè)得)，平面反射鏡到光屏E2垂直距離L=3.987 m。當(dāng)補(bǔ)償板初始角度在45°附近時(shí)，由D0=0 m及(8)式可知θ0=45°；當(dāng)補(bǔ)償板初始角度在30°附近時(shí)，測(cè)得D0=1.934 6 m，由(8)式計(jì)算得θ0=32.058°；當(dāng)補(bǔ)償板初始角度在50°附近時(shí)，測(cè)得D0=-1.137 7 m，由(8)式計(jì)算得θ0=52.963°。三組實(shí)驗(yàn)所測(cè)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1～3所示。

表1 θ0=45°時(shí)干涉條紋變化與補(bǔ)償板角度 改變量的關(guān)系數(shù)據(jù)

表2 θ0=32.058°時(shí)干涉條紋變化與 補(bǔ)償板角度改變量的關(guān)系數(shù)據(jù)

表3 θ0=52.963°時(shí)干涉條紋變化與 補(bǔ)償板角度改變量的關(guān)系數(shù)據(jù)

如圖5所示，利用Origin軟件對(duì)比每組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論數(shù)據(jù)，并對(duì)測(cè)量值進(jìn)行線性擬合。

(a)θ0=45°

(b)θ0=32.058°

(c)θ0=52.963°圖5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論數(shù)據(jù)對(duì)比圖

由表1～3及圖5可知：(1)實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差在6%以內(nèi)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量值和理論值相吻合；(2)三組實(shí)驗(yàn)的ΔN和Δθ線性擬合度較好，相關(guān)系數(shù)分別為0.999、0.998、0.998，故可知當(dāng)補(bǔ)償板的角度在某個(gè)基礎(chǔ)角度附近5°范圍內(nèi)改變時(shí)，干涉條紋中心“吞吐”圓環(huán)數(shù)量ΔN和補(bǔ)償板角度改變量Δθ可視為線性關(guān)系；(3)由三組實(shí)驗(yàn)的ΔN和Δθ線性擬合的K值可知，隨著補(bǔ)償板初始角度的增大，其微小角度分辨率(干涉條紋每變化一環(huán)時(shí)補(bǔ)償板角度改變量)逐漸增大。補(bǔ)償板初始角度為32.058°時(shí)，其微小角度分辨率為0.004 3°；補(bǔ)償板初始角度為45°時(shí)，其微小角度分辨率為0.006 36°；補(bǔ)償板初始角度為52.963°時(shí)，其微小角度分辨率為0.008 86°。

對(duì)于實(shí)驗(yàn)測(cè)量值和理論值存在一定誤差，分析如下：1)由(8)式可知，實(shí)驗(yàn)所測(cè)量的角度只與D和L有關(guān)，D和L讀數(shù)的準(zhǔn)確性是實(shí)驗(yàn)誤差的主要來源；2)實(shí)驗(yàn)中干涉條紋中心“吞吐”圓環(huán)的數(shù)量采用人工計(jì)數(shù)亦是誤差的來源。

4 仿真軟件設(shè)計(jì)

在文獻(xiàn)[5,6]基礎(chǔ)上，利用MATLAB中App Designer功能設(shè)計(jì)了如圖6所示邁克爾遜干涉儀仿真軟件。該仿真軟件不僅可以對(duì)常規(guī)邁克爾遜干涉實(shí)驗(yàn)進(jìn)行仿真，還可對(duì)補(bǔ)償板角度與干涉條紋變化關(guān)系進(jìn)行仿真[8]。其基于邁克爾遜干涉儀的等傾干涉的光強(qiáng)分布實(shí)現(xiàn)：

(9)

其中，t為動(dòng)鏡M1和定鏡M2的像之間的距離，z為定鏡M2的像到光屏E1的距離，r為光屏E1中某點(diǎn)到光屏中心點(diǎn)的距離，δ表示因補(bǔ)償板旋轉(zhuǎn)引起的光程差(即(3)式)。

本仿真軟件實(shí)現(xiàn)功能如下：(1)直觀、動(dòng)態(tài)地顯示出干涉條紋圖像及補(bǔ)償板與透射光方向夾角；(2)通過拖動(dòng)“微調(diào)手輪”旋鈕調(diào)節(jié)動(dòng)鏡M1移動(dòng)距離，“動(dòng)鏡位置數(shù)值”結(jié)果欄顯示動(dòng)鏡M1移動(dòng)距離，“動(dòng)鏡位移條紋變換環(huán)數(shù)”結(jié)果欄顯示干涉條紋中心“吞吐”圓環(huán)的數(shù)量；(3)通過拖動(dòng)“G2調(diào)節(jié)旋鈕”調(diào)節(jié)補(bǔ)償板與透射光方向夾角，“輸出結(jié)果”面板顯示補(bǔ)償板與透射光方向夾角以及干涉條紋中心“吞吐”圓環(huán)的數(shù)量；(4)可自動(dòng)保存或手動(dòng)保存實(shí)驗(yàn)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)參數(shù)；(5)提供實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理功能。該仿真軟件能夠簡(jiǎn)化學(xué)生的實(shí)驗(yàn)操作，使學(xué)生較方便地觀察到不同參數(shù)條件下干涉條紋的變化，可加深學(xué)生對(duì)光的干涉等相關(guān)物理概念的理解。再者，利用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)教學(xué)手段，可以提升實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果。

該仿真軟件下載鏈接為：https://github.com/CopleM/Simulation-of-Michelson-interferometer

圖6 邁克爾遜干涉儀MATLAB仿真系統(tǒng)界面

5 討 論

邁克爾遜干涉儀補(bǔ)償板的角度在0°-90°范圍內(nèi)變化時(shí)其角度變化量和干涉條紋中心“吞吐”圓環(huán)的數(shù)量存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。且補(bǔ)償板在一定角度基礎(chǔ)上改變微小角度時(shí)(5°以內(nèi))，其角度變化與干涉條紋中心“吞吐”圓環(huán)的數(shù)量近似為線性關(guān)系。這為利用邁克爾遜干涉儀測(cè)量微小角度提供理論和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用中，在某個(gè)基礎(chǔ)角度處微調(diào)補(bǔ)償板的角度，計(jì)數(shù)干涉條紋中心“吞吐”圓環(huán)的數(shù)量，根據(jù)(4)式計(jì)算補(bǔ)償板旋轉(zhuǎn)后的角度，進(jìn)而計(jì)算補(bǔ)償板角度變化量?；?qū)?shù)輸入仿真軟件中，通過仿真軟件獲得補(bǔ)償板角度改變量。此外，可設(shè)計(jì)邁克爾遜干涉儀干涉條紋自動(dòng)測(cè)量裝置降低測(cè)量誤差。上述實(shí)驗(yàn)在邁克爾遜干涉實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上豐富了光的干涉實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，實(shí)驗(yàn)原理簡(jiǎn)單，操作難易適中，可作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)性和探究性實(shí)驗(yàn)，以加深學(xué)生對(duì)光的干涉等相關(guān)物理概念的理解。