摘要：給出一個(gè)二維帶限函數(shù)，依據(jù)抽樣定理，分析出合適的抽樣間隔。之后改變參數(shù)，繼續(xù)驗(yàn)證抽樣不當(dāng)引起的欠采樣現(xiàn)象，通過Matlab中多幅二維和三維圖像的繪制和分析，以更直觀和深入理解抽樣定理與欠采樣。

關(guān)鍵詞：抽樣定理;復(fù)原;欠采樣

1?引言

在工程實(shí)際中，為了對信號有效傳輸和處理，往往要將連續(xù)信號進(jìn)行采樣離散化，以便計(jì)算機(jī)分析處理。“抽樣”即對時(shí)間連續(xù)的信號按一定時(shí)間間隔抽取一個(gè)瞬時(shí)值，實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號的離散化。本文利用Matlab作為分析和作圖工具，選取一個(gè)帶限函數(shù)，選擇一定的抽樣間隔，得到抽樣函數(shù)的頻譜，在頻域?yàn)V波，觀察欠采樣現(xiàn)象，來更直觀的理解抽樣定理與欠采樣。

2?抽樣定理

香農(nóng)抽樣定理是數(shù)字信號中的一個(gè)重要的理論。該定理指出，對于能量有限的帶限信號，要在數(shù)據(jù)接收端實(shí)現(xiàn)信號的無失真恢復(fù)，采樣頻率必須不小于信號帶寬的兩倍，即。當(dāng)不滿足抽樣定理，即時(shí)，則頻譜將產(chǎn)生混疊，不能恢復(fù)原信號。本文將通過分析抽樣間隔，來驗(yàn)證抽樣間隔選擇不當(dāng)而出現(xiàn)欠采樣，無法正確復(fù)原原函數(shù)的情況。利用直觀的仿真圖形，進(jìn)一步闡明抽樣定理的內(nèi)涵，加深其理解。

3仿真驗(yàn)證

3.1抽樣信號的恢復(fù)

考慮二維帶限函數(shù)，在矩形格點(diǎn)上進(jìn)行抽樣，則抽樣函數(shù)定義為：

其中comb為梳狀函數(shù)，由δ函數(shù)陣給出，X，Y是δ在x方向和y方向上的間隔。

由（1）式可得

的頻譜表示為：

其中u，v為頻域坐標(biāo)，分別對應(yīng)于空域的x，y坐標(biāo)，符號⊕為卷積。

假設(shè)函數(shù)是帶限函數(shù)，其頻譜只在頻率空間的有限區(qū)域R上不為零。該函數(shù)被抽樣后，抽樣函數(shù)的頻譜不為零的區(qū)域根據(jù)（2）式，可由在頻率平面的每一個(gè)點(diǎn)的周圍劃出R區(qū)域得到。如果X和Y足夠小，則1/X和1/Y的間隔就會足夠大，以保證相鄰區(qū)域不重疊。又由抽樣定理，令2Bx和2By分別表示完全圍住原帶限函數(shù)頻譜有限區(qū)域R的最小矩形沿u和v方向上的寬度，空域抽樣點(diǎn)陣間隔滿足X≤1/2Bx，Y≤1/2By的條件時(shí)，可保證頻譜區(qū)域分開而不混疊，原函數(shù)可恢復(fù)。

仿真中，利用Matlab編寫m文件實(shí)現(xiàn)信號復(fù)原。使用自帶的peaks函數(shù)生成一個(gè)二維帶限函數(shù)作為這里的，其數(shù)學(xué)表達(dá)式形式記為：，為了更好的觀察原連續(xù)函數(shù)的帶寬，可利用Matlab繪制三維頻譜函數(shù)，以及沿u、v方向二維顯示的中心剖線。該函數(shù)的空域圖形與沿u方向的頻譜中心剖線如圖1。

根據(jù)的中心剖線圖可知，所選帶限函數(shù)的沿u，v方向帶寬都小于128個(gè)像素，由于圖像大小為256*256，根據(jù)抽樣定理，重構(gòu)原函數(shù)的條件是抽樣間隔至少滿足Y=256/128=2個(gè)像素，可選擇X=Y=2。

為觀察欠采樣現(xiàn)象，選擇4個(gè)像素為抽樣點(diǎn)陣間隔，顯然不再滿足抽樣定理，應(yīng)出現(xiàn)欠采樣。對按對應(yīng)的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為64*64濾波器進(jìn)行頻譜濾波，再傅里葉逆變換，則可看到對應(yīng)的濾波后的頻譜與復(fù)原函數(shù)如圖2所示。由于出現(xiàn)欠采樣，原函數(shù)頻譜高頻信息出現(xiàn)部分丟失，復(fù)原的函數(shù)相比原函數(shù)也出現(xiàn)了明顯高頻丟失現(xiàn)象，引起了失真。

4?結(jié)論

本文以二維連續(xù)函數(shù)為例，對抽樣定理進(jìn)行了理論論述，對抽樣條件不滿足時(shí)的欠采樣進(jìn)行了重點(diǎn)仿真分析。可以看出，當(dāng)帶限連續(xù)函數(shù)的采樣間隔不滿足抽樣定理要求而出現(xiàn)欠采樣時(shí)，使用對應(yīng)的濾波器進(jìn)行頻譜濾波后，將出現(xiàn)高頻信息的丟失，而導(dǎo)致復(fù)原的函數(shù)明顯失真，該結(jié)果表明抽樣間隔的選擇對于原函數(shù)的正確復(fù)原非常重要。此外，通過給出多個(gè)二維和三維的仿真圖形，從時(shí)域和頻域分別對原函數(shù)和抽樣函數(shù)進(jìn)行了展示和分析，有助于更直觀的理解抽樣定理的內(nèi)涵。

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作者簡介：吳云飛（1980—），女，重慶人，碩士，講師，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)、電氣工程及其自動化.