李盤潤 劉 瑤

（四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 廣元 628000）

傅立葉變換作為一種線性積分變換，在物理學(xué)及工程技術(shù)有許多應(yīng)用，通常將時域信號轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域信號，分析信號的頻域成分。對于簡單的時間信號。通常僅考慮一個維度的信號變化，即一維傅立葉變換。近年來，圖像處理技術(shù)越來越多采用傅立葉變換技術(shù)，而空間上圖像不再是簡單的一維信號，可以由一維推廣獲得二維傅立葉變換。對于更高維信號，同樣存在高維傅立葉變換。

本文主要針對二維傅立葉變換進行研究。在笛卡爾坐標(biāo)系下，在空間上對信號做采樣處理，將連續(xù)傅立葉變換(CFT)轉(zhuǎn)換為離散傅立葉變換(DFT)，進而容易在數(shù)字計算機上進行計算。而對于某些中心對稱函數(shù)，更容易在極坐標(biāo)上描述，則需要定義在極坐標(biāo)上傅立葉變換，如傅立葉光學(xué)。此時采樣信息為極坐標(biāo)采樣，因此不能夠采用離散傅立葉的快速算法。而極坐標(biāo)上采樣可以認(rèn)為是一種非均勻采樣方法，進而可采用NEFT 實現(xiàn)極坐標(biāo)采樣條件下的離散傅立葉變換計算。但對于一些特殊的極坐標(biāo)函數(shù)，容易獲得相應(yīng)連續(xù)傅立葉變換的解析解。

本文將針對不同坐標(biāo)定義下的連續(xù)傅立葉變換進行研究，并給出關(guān)于連續(xù)變換與離散變換及非均勻變換之間的關(guān)系。進一步針對某些理想?yún)^(qū)域上的特殊函數(shù)，利用傅立葉變換積分定義，容易計算相應(yīng)傅立葉變換的原函數(shù)。對于特殊的高斯函數(shù)，計算其對應(yīng)的傅立葉變換對。

1 積分變換定義

本節(jié)給出不同坐標(biāo)系條件下，二維傅立葉變換的定義，同時，給出一維Hankel 變換，在后面的內(nèi)容中，二維極坐標(biāo)上的傅立葉變換可轉(zhuǎn)為一維Hankel 變換。

1.1 笛卡爾坐標(biāo)系傅立葉變換

笛卡爾坐標(biāo)下，函數(shù)f（x，y）在[-∞，+∞]有定義，且滿足傅立葉積分定理條件，則函數(shù)：

稱為f（λ，ω）的傅立葉逆變換。

f（λ，ω）稱為f（x，y）在傅立葉變換下的象函數(shù)，反之，稱為原函數(shù)。象函數(shù)與原函數(shù)構(gòu)成一組傅立葉變換對。

1.2 極坐標(biāo)系傅立葉變換

對于某些二維函數(shù)，具有中心對稱的性質(zhì)，相比與笛卡爾坐標(biāo)系，該函數(shù)更容易在極坐標(biāo)系上描述。在極坐標(biāo)下，設(shè)空間域函數(shù)，其對應(yīng)域上的傅立葉象函數(shù)為F（ρ，φ）。則傅立葉變換的形式如下：

極坐標(biāo)系的傅立葉變換定義與式(1)與式(2)等價，象函數(shù)與原函數(shù)構(gòu)成一組傅立葉變換對。關(guān)于兩種定義的等價關(guān)系，可通過積分的變量替換方法實現(xiàn)證明，此處不做詳細(xì)說明

1.3 Hankel 變換

Hankel 變換為另一類積分變換，n 階Hankel 變換定義為如下積分：

極坐標(biāo)上的二維傅立葉變換，可通過一維上的Hankel 變換描述，從而容易計算極坐標(biāo)上的傅立葉變換對。

2 離散傅立葉變換

在笛卡爾坐標(biāo)系上，式(1)通常為連續(xù)傅立葉變換。為使該積分變換的計算能在計算機上進行，需將式(1)連續(xù)傅立葉變換轉(zhuǎn)為離散傅立葉變換。若f（x，y）在x=nT，y=mT（n，m=0，±0，±1，±2，…）是連續(xù)的，稱f（nT，mT）為采樣間隔為T 的采樣波形。其對應(yīng)的離散傅立葉變換為：

根據(jù)采樣定理，頻域上采樣間隔δf=1/NT,關(guān)于上式存在快速計算方法(FFT)，需要注意離散傅立葉變換空間采樣及頻域采樣存在極強的耦合關(guān)系。

在研究過程中，任意函數(shù)關(guān)于(1)的連續(xù)傅立葉變換不存在耦合關(guān)系，但其直接積分計算，需記住黎曼積分計算頻域上特定位置的象函數(shù)：

比較(7)與(8)，即連續(xù)傅立葉變換與離散傅立葉變換的頻域振幅存在T2的倍數(shù)關(guān)系，從而可根據(jù)快速傅立葉方法（FFT）獲得特定頻域位置上的傅立葉象函數(shù)。類似簡單推導(dǎo)可應(yīng)用在逆變換上。

3 基于采樣的非均勻傅立葉變換

式(7)為離散傅立葉變換，它的快速算法FFT 的計算復(fù)雜度為O（nlogn）。但是存在諸多限制，比如頻域點與空間點存在極強的耦合關(guān)系δf=1/T，且必須在采樣空間必須均勻采樣。這些限制導(dǎo)致在應(yīng)用中，如果使用FFT 算法，無法通過在頻率域加密采樣來提高空間域變換結(jié)果的精度。連續(xù)傅立葉變換，可以避免頻域點與空間點的耦合關(guān)系及采樣條件限制，但是需進行復(fù)雜且耗時的積分運算。存在基于采樣的非均勻傅立葉變換。

其中x 為空間上任意位置，從而避免的限制，其計算復(fù)雜度為O（n2）。對于頻域均勻采樣而空間域非均勻c 采樣的非均勻傅立葉變換，同樣存在快速計算方法[3]。

非均勻傅立葉變換的快速實現(xiàn)。其本質(zhì)為連續(xù)傅立葉變化的離散化。對于離散采樣精度直接影響空間域變換結(jié)果的精度，直接的辦法可通過在頻率域加密采樣，提高計算精度。對于某些函數(shù)F（p），若采樣結(jié)果F（pi）=0。則加密采樣的同時。會增加計算的時間，但對于精度的提升有限。另一種方法是提高頻域采樣精度，取采樣結(jié)果為F（pi）采樣對應(yīng)區(qū)域與F（p）有效區(qū)域相交面積。該方法等價于在頻率域加密采樣，但僅選擇特殊位置的采樣結(jié)果去計算式(9),且該位置的采樣結(jié)果為周圍采樣結(jié)果的均值。

基于采樣離散傅立葉變換可獲得特定位置(原)象函數(shù)值，而非均勻傅立葉變換容易獲得任意位置的（原）象函數(shù)值。另一方面，極坐標(biāo)上的采樣可認(rèn)為是笛卡爾坐標(biāo)上的非均勻采樣，從而極坐標(biāo)上傅立葉變換容易通過非均勻傅立葉變換快速計算。

4 傅立葉變換與Hanker 變換的關(guān)系

本節(jié)中，著重說明極坐標(biāo)條件下，連續(xù)傅立葉變換可表述為一維Hanker 變換的無窮級數(shù)。

4.1 徑向?qū)ΨQ函數(shù)

極坐標(biāo)上某些徑向?qū)ΨQ函數(shù)(高斯函數(shù)等)，僅需ρ 徑向描述該二維函數(shù)，考慮極坐標(biāo)系下的傅立葉變換定義(3);

對于徑向?qū)ΨQ函數(shù)，二維空間上的傅立葉變換，可通過一維的Hankel 變換計算。

4.2 徑向非對稱函數(shù)

根據(jù)文獻[6]，笛卡爾坐標(biāo)系的傅立葉變換核存在如下級數(shù)展開式：

即傅立葉變換對中，空間函數(shù)的級數(shù)展開系數(shù)fn（r）與對應(yīng)頻域函數(shù)的級數(shù)展開系數(shù)Fn（ρ）存在倍數(shù)關(guān)系。

5 理想函數(shù)的傅立葉變換

5.1 多邊形區(qū)域

若采樣窗口大小為ω 和h，且對應(yīng)頻域采樣點fn和gm分別為

則對于簡單多邊形區(qū)域，順時針定義多邊形區(qū)域Ω 的頂點(xi，yi),根據(jù)(1)，對應(yīng)的傅立葉變換：

5.2 圓形區(qū)域

針對理想函數(shù)，上節(jié)對于簡單多邊形區(qū)域，給出了笛卡爾坐標(biāo)系下的傅立葉變換的計算過程。對于更一般的圓形區(qū)域，其傅立葉變換更容易在極坐標(biāo)下的傅立葉變換實現(xiàn)積分計算。

6 結(jié)論

本文分別針對兩種坐標(biāo)系，分別考慮相應(yīng)的連續(xù)傅立葉變換定義。在笛卡爾坐標(biāo)系條件下，介紹了基于采樣的離散傅立葉變換及非均勻傅立葉變換，通過數(shù)學(xué)描述與連續(xù)變換之間的關(guān)系。在極坐標(biāo)系條件下，二維傅立葉變換容易通過一維上的Hankel 變換快速計算。并分別針對多邊形區(qū)域、圓形區(qū)域的理想函數(shù)，根據(jù)傅立葉變換定義，計算相應(yīng)的(原)象函數(shù)。最后，根據(jù)Bessel 函數(shù)性質(zhì)，二維高斯函數(shù)容易在極坐標(biāo)系上描述，根據(jù)相應(yīng)傅立葉變換定義，容易獲得空間及頻域上的傅立葉變換對。

致謝:感謝審稿人提出的寶貴修改意見。