隋艷秋

（河北省承德市圍場縣第二中學(xué)，河北 承德 068450）

數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵是豐富而有層次的，具體而言可以分為以下幾個方面。第一，數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)最本質(zhì)的和最核心的認(rèn)識，包括對數(shù)學(xué)的基本概念、基本邏輯思想、基本的方法和數(shù)學(xué)在整個學(xué)科中的位置和重要性的認(rèn)識；第二，數(shù)學(xué)思想指的是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的邏輯和思維去思考生活中的問題，用數(shù)學(xué)的方法去轉(zhuǎn)化和解決生活中的實際問題，這些需要掌握數(shù)學(xué)發(fā)展的一般規(guī)律和數(shù)學(xué)知識的規(guī)律性。比較上述說法，對數(shù)學(xué)思想的含義作如下概括：數(shù)學(xué)思想是指在數(shù)學(xué)活動中解決問題的基本觀點和根本想法，是對數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法和技巧的本質(zhì)認(rèn)識，是數(shù)學(xué)中的智慧和靈魂。

一、數(shù)學(xué)思想的幾次重大突破

（一）從算術(shù)發(fā)展到代數(shù)是數(shù)學(xué)思想的一次重大發(fā)展。算術(shù)是一切科學(xué)產(chǎn)生的重要條件。代數(shù)的發(fā)展就建立在算術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)之上，是算術(shù)不斷發(fā)展的重要產(chǎn)物。最初的算術(shù)主要有自然數(shù)，小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識以及運算，但這就為人們認(rèn)識客觀世界，用客觀數(shù)據(jù)來解答問題起到了關(guān)鍵性的作用，成為人類發(fā)展的重要的運算工具。但在使用算術(shù)解決問題的過程中，人們逐漸認(rèn)識到算術(shù)在解題方面有一些不可避免的局限性。而更多在生活中遇到的比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，比如有關(guān)路程的問題，有關(guān)工程完成量的問題，有關(guān)公司盈余的問題和產(chǎn)品的分配問題，都是利用算術(shù)得到解決的。這里的關(guān)鍵是列出算式，而對于那些具有復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，要列出相應(yīng)算式并非易事，而往往需要很高的機敏和技巧。但是在轉(zhuǎn)換實際問題為數(shù)學(xué)問題時，需要列出含有未知數(shù)的算術(shù)進行求解時，算術(shù)就解決不了。正是為了解決這一矛盾，便產(chǎn)生了代數(shù)解題法。其特點是允許未知數(shù)參與運算，把已知數(shù)與未知數(shù)放在同等地位對待。這種數(shù)學(xué)思想的精髓是，首先需要根據(jù)問題中已有的條件列出包含未知數(shù)的等式，也就是現(xiàn)在大家所說的方程，然后通過變換等式兩邊的式子，求得未知數(shù)的結(jié)果。這就克服了算術(shù)解題法的局限性，使代數(shù)方法有了更大的普遍性和靈活性，代數(shù)解題法的產(chǎn)生過程，也就是代數(shù)學(xué)的形成過程。

（二）數(shù)學(xué)由必然現(xiàn)象向偶然現(xiàn)象的轉(zhuǎn)變是數(shù)學(xué)思想的又一次飛躍。在現(xiàn)實生活和時間中存在兩種近似相反方向的現(xiàn)象，其中一種稱為必然的現(xiàn)象，另一種稱為偶發(fā)的現(xiàn)象。必然現(xiàn)象是指在一定條件必然產(chǎn)生某種結(jié)果或者必然不發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象，即條件和結(jié)果之間存在著必然聯(lián)系。用以描述和研究必然現(xiàn)象的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)，稱為必然數(shù)學(xué)?；蛉滑F(xiàn)象指的是，某種現(xiàn)象在適當(dāng)?shù)沫h(huán)境和條件下，可能引起某種結(jié)果或現(xiàn)象的發(fā)生，也可能不導(dǎo)致這種結(jié)果和現(xiàn)象的發(fā)生。即或然現(xiàn)象中不存在條件與結(jié)果的必然聯(lián)系?；蛉滑F(xiàn)象是不能用必然數(shù)學(xué)進行精確的定量描述的。但是，這不意味著或然現(xiàn)象不存在規(guī)律，也不意味著我們不能從數(shù)量上描述和研究或然現(xiàn)象的規(guī)律。當(dāng)同一情況的現(xiàn)象多次不斷出現(xiàn)時，就呈現(xiàn)出一定的特征和規(guī)律，這就是數(shù)學(xué)中統(tǒng)計的研究內(nèi)容。這種統(tǒng)計規(guī)律性的存在便是或然數(shù)學(xué)的現(xiàn)實基礎(chǔ)。

二、在初中數(shù)學(xué)中學(xué)生應(yīng)該掌握的基本數(shù)學(xué)思想

（一）培養(yǎng)學(xué)生用符號與變元表示思想。符號是指將具體的的數(shù)字轉(zhuǎn)化為抽象的表述，變元指的是將數(shù)學(xué)中的變量用不同的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)字母加以表示。符合與變元指的是將生活中遇到的實際問題用數(shù)學(xué)符號和具有一定使用通性的量揭示實際問題中的數(shù)量關(guān)系，以此轉(zhuǎn)化學(xué)數(shù)學(xué)問題，加以解決，通過對“量”的研究或應(yīng)用規(guī)律、規(guī)則來解決問題的一種思想。使用符號化語言和在其中引進“變元”，是數(shù)學(xué)科學(xué)高度抽象性的要求。用字母和變元表示有關(guān)對象關(guān)系，具有明確簡潔的優(yōu)點，增大了信息密度和信息容量，這樣抽象的形式會帶來思維的直觀。

（二）培養(yǎng)學(xué)生的集合思想。在初中學(xué)習(xí)階段中，集合是存在于數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的不同層次和不同部分，也存在于學(xué)生知識和技能發(fā)展的不同年級中。初中集合思想主要貫穿在以下方面：第一，數(shù)系、點集和解集是集合的雛形和基礎(chǔ)。數(shù)系是初中數(shù)學(xué)中主要的研究對象，是立足于集合概念之上的。伴隨著數(shù)學(xué)數(shù)系地不斷地發(fā)展，實數(shù)與其在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置的關(guān)系，促進數(shù)字和圖形的相互結(jié)合，然后開始數(shù)學(xué)實際問題的解決；第二，體現(xiàn)集合表述，揭示數(shù)學(xué)概念。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，從集合觀點看，數(shù)學(xué)概念都可看做集合。因此，都可以用集合來表述。

（三）培養(yǎng)學(xué)生的對應(yīng)思想。對應(yīng)是人的思維對兩個集合間聯(lián)系的把握。對應(yīng)指的是，將不同類型、不同層次的研究對象相聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)這些對象相同的或者同類似的本質(zhì)的屬性，促進這些不同特征、不同屬性的事物之間的規(guī)律轉(zhuǎn)換，并使用相應(yīng)的方法加以解答。對應(yīng)思想的發(fā)展是人類認(rèn)識發(fā)展史上的一大進步。對應(yīng)思想對學(xué)生的發(fā)展也具有重要的作用，掌握對應(yīng)思想，有助于學(xué)生科學(xué)的把握生活中的現(xiàn)象，認(rèn)識復(fù)雜的世界。因此，在初中的學(xué)習(xí)階段，要引導(dǎo)學(xué)生掌握對應(yīng)思想，促進對應(yīng)思想的內(nèi)化，并加以運用。