陶海紅, 郭晶晶

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西西安 710071)

0 引言

天線陣列綜合問(wèn)題包括陣型優(yōu)化和綜合權(quán)值優(yōu)化。在天線重量、體積和成本有限時(shí)如衛(wèi)星平臺(tái)、導(dǎo)航、飛機(jī)等，要獲得大孔徑天線，最小陣元設(shè)計(jì)是首要考慮的方法[1-7]。

文獻(xiàn)[8]的貝葉斯壓縮感知 (BCS)[9-10]算法通過(guò)將對(duì)稱陣列優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為稀疏約束優(yōu)化框架,并通過(guò)貝葉斯壓縮感知 (BCS)算法求解,可以有效地減少陣列中的天線元件數(shù)量。但文中假設(shè)陣元加權(quán)只有實(shí)部，且陣元分布對(duì)稱。針對(duì)這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[11]提出了基于多任務(wù)貝葉斯壓縮感知算法(multi-task BCS)[12]的最小陣元稀疏陣綜合方法，適用于權(quán)值為復(fù)數(shù)，陣列不對(duì)稱的線陣最小陣元稀疏陣綜合問(wèn)題；文獻(xiàn)[13-15]將單任務(wù)貝葉斯壓縮感知(ST-BCS)以及多任務(wù)貝葉斯壓縮感知(MT-BCS)應(yīng)用于最小陣元稀疏面陣、最小陣元稀疏共形陣以及最小陣元稀疏同心圓環(huán)陣中，仿真結(jié)果都較為理想，但超參數(shù)的選擇對(duì)不同陣元規(guī)模的方向圖綜合問(wèn)題影響不同，針對(duì)不同問(wèn)題需要做多次實(shí)驗(yàn)得到一組適用的超參數(shù)，不具有普遍適用性。且在處理面陣問(wèn)題時(shí)，陣元稀疏率只能達(dá)到0.64。而本文采用的算法，同一組參數(shù)可用于任意規(guī)模的線陣與面陣。

本文采用框架理論，將備選陣元位置稀疏化，利用權(quán)值的模值大小表示該位置陣元的選擇與否，通過(guò)次優(yōu)反饋的零空間追蹤硬閾值算法[16]得到滿足近似條件的最小l0范數(shù)權(quán)值解，即得到最小陣元的稀疏陣以及該位置陣元的加權(quán)值。線陣與平面陣的仿真結(jié)果說(shuō)明了算法的有效性。

1 陣型的稀疏框架建模

1.1 線陣的稀疏框架問(wèn)題建模

不失一般性，假設(shè)目標(biāo)為遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào),模型示意圖如圖1所示。

圖1 線陣示意圖

若來(lái)波方向θ如圖1所示，對(duì)于N個(gè)陣元的任意線陣，陣列導(dǎo)向矢量可表示為

a(θ)=[a1,a2,a3,…,aN]T

ai=exp(j2πdisinθ/λ),i=1,2，…,N

(1)

式中，λ為波長(zhǎng)，di為第i個(gè)陣元與參考點(diǎn)之間的距離。

當(dāng)期望來(lái)波方向?yàn)棣萷時(shí)，陣列方向圖P(θ)可表示為

P(θ)=a(θp)H*a(θ)

(2)

為實(shí)現(xiàn)低副瓣要求，一般會(huì)在陣元后加權(quán)值W，則加權(quán)后陣列方向圖P(θ)可表示為

(3)

式中,⊙表示矩陣點(diǎn)乘。

(4)

最小化陣元稀疏陣綜合問(wèn)題即可簡(jiǎn)化為

(5)

1.2 平面陣的稀疏框架問(wèn)題建模

陣列放置于y0z平面，參考位置為原點(diǎn)，方位角φ和俯仰角θ的定義如圖2所示。

圖2 面陣示意圖

與線陣類似，N陣元平面陣的普通波束形成方向圖可表示為

P(θ，φ)=(a(θp,φp)⊙W)H*a(θ,φ)

(6)

式中,

(7)

其中θp,φp分別為目標(biāo)俯仰角與方位角，W為陣列加權(quán)值，pos為N個(gè)陣元在笛卡爾坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)矩陣。

假設(shè)方位角與俯仰角都取M個(gè)值，即P是M*M的復(fù)矩陣。

(8)

(9)

最小化陣元稀疏面陣綜合問(wèn)題即可簡(jiǎn)化為

(10)

1.3 問(wèn)題模型簡(jiǎn)化

由于本文算法適用于實(shí)數(shù)問(wèn)題，而陣列方向圖優(yōu)化一般為復(fù)數(shù)問(wèn)題。只有當(dāng)參考陣元位置對(duì)稱時(shí)，陣列方向圖只有實(shí)部，可直接使用第三部分的算法優(yōu)化得到陣元位置與陣元加權(quán)值。其他情況下需將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化。

(11)

其中,real(·)表示取實(shí)部，imag(·)表示取虛部。

實(shí)數(shù)化后，問(wèn)題可重新表示為

(12)

(13)

2 次優(yōu)反饋的零空間追蹤硬閾值算法

針對(duì)問(wèn)題

(14)

由于矩陣A是列滿秩，行稀疏的，可用針對(duì)非凸問(wèn)題的帶反饋的零空間追蹤硬閾值算法來(lái)實(shí)現(xiàn)稀疏約束。

一個(gè)零空間追蹤基本算法的框架為[16]

(15)

證明：

(16)

(17)

常規(guī)硬閾值算法的解為

(18)

(19)

其最優(yōu)解為

(20)

算法為

(21)

由于矩陣逆運(yùn)算的復(fù)雜度較高，可將以上算法改進(jìn)為

(NST+HT+subFB)

(22)

NST+HT+subFB算法流程：

循環(huán)B外循環(huán):當(dāng)H1?ε1成立，

令H2=1,s=s+1;

內(nèi)循環(huán): 當(dāng)H2?ε2成立，

利用公式(20),計(jì)算[wk+1,uk]

內(nèi)循環(huán)結(jié)束

外循環(huán)結(jié)束

將|wk+1|降序排列，取前s個(gè)值及其所在位置，得到對(duì)應(yīng)的陣元位置；

由于算法NST+HT+subFB需要在外循環(huán)中將稀疏陣元數(shù)s從1開始遞增，適用于稀疏率較低的問(wèn)題，即稀疏陣元數(shù)目較少。在處理稀疏陣元數(shù)目較多或參考陣元數(shù)目較多的問(wèn)題時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度高、耗時(shí)長(zhǎng)且最終效果不太理想。

NST+HT+subFB+cumS算法流程：

循環(huán)A: 當(dāng)H2?ε2成立，

利用公式(20),計(jì)算[wk+1,uk]

若K-s>=s_step

s=s+s_step

循環(huán)結(jié)束

循環(huán)B 外循環(huán):當(dāng)H1?ε1成立，

令H2=1,s=s+1;

內(nèi)循環(huán)： 當(dāng)H2?ε2成立，

利用公式(20),計(jì)算[wk+1,uk]

內(nèi)循環(huán)結(jié)束

外循環(huán)結(jié)束

將|wk+1|降序排列，取前s個(gè)值及其所在位置，得到對(duì)應(yīng)的陣元位置；

將NST+HT+subFB算法與NST+HT+subFB+cumS算法統(tǒng)一用流程圖即圖3表示。

圖3 算法框圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

仿真1 不同陣元規(guī)模的切比雪夫權(quán)值均勻線陣方向圖稀疏陣綜合

a) 40陣元的切比雪夫權(quán)值均勻線陣方向圖稀疏陣綜合

參考方向圖為40陣元切比雪夫權(quán)值均勻線陣方向圖；備選陣元位置間隔均勻排列為[-25*λ/2:λ/10:25*λ/2]，方向圖角度θ∈[-45,45](單位：rad)，仿真結(jié)果如圖4、圖5所示，與參考算法的性能比較如表1所示。

圖4 仿真1 a)的方向圖

圖5 仿真1 a)的陣元位置

表1 仿真1 a)的4種算法對(duì)比

針對(duì)參考方向圖陣元數(shù)目較少情況，所提算法與基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的最小陣元位置優(yōu)化算法相同，可優(yōu)化得到符合要求的陣元位置。NST-HT-cum與NST-HT相比，由于首先計(jì)算了初始選取元素的數(shù)目，加快了算法的速度，誤差更小。

b) 300陣元的切比雪夫權(quán)值均勻線陣方向圖稀疏陣綜合

參考方向圖為300陣元切比雪夫加權(quán)均勻線陣的方向圖；備選陣元位置間隔均勻排列為[-150*λ/2:λ/10:150*λ/2]，方向圖角度θ∈[-45,45](單位：rad)，仿真結(jié)果如圖6、圖7所示，與參考算法的性能比較如表2所示。

圖6 仿真1b)的方向圖

圖7 仿真1b)的陣元位置

表2 仿真1b)的4種算法對(duì)比

對(duì)于參考方向圖的陣元數(shù)目較大情況，仿真證明了所提算法也可以優(yōu)化得到滿足要求的方向圖。與基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的最小陣元位置優(yōu)化算法相比，在陣元數(shù)目增多時(shí)，所提算法優(yōu)勢(shì)顯現(xiàn)。

仿真2 任意方向圖的線陣稀疏陣綜合

a) 平頂主瓣方向圖的稀疏陣綜合

參考方向圖為給定的平頂主瓣方向圖；備選陣元位置間隔均勻排列為[-25*λ/2:λ/10:25*λ/2]，方向圖角度θ∈[-90,90](單位：rad)，仿真結(jié)果如圖8、圖9所示，與參考算法的性能比較如表3所示。

圖8 仿真2a)的方向圖

圖9 仿真2a)的陣元位置

表3 仿真2 a)的4種算法對(duì)比

對(duì)于給定的非對(duì)稱方向圖，仿真證明了算法NST-HT與NST-HT-cum的有效性。與基于BCS的優(yōu)化算法相比，所提算法優(yōu)化后的陣元數(shù)目更少；與基于MT-BCS的優(yōu)化算法相比，所提算法更加吻合給定的方向圖。

b) 雙平頂主瓣方向圖的稀疏陣綜合

參考方向圖為給定的雙平頂主瓣方向圖，主瓣位置為[-45,-35]∪[35,45]；備選陣元位置間隔均勻排列為[-30*λ/2:λ/10:30*λ/2]，方向圖角度θ∈[-90,90]，仿真結(jié)果如圖10、圖11所示，與參考算法的性能比較如表4所示。

圖10 仿真2 b)的方向圖

圖11 仿真2 b) 的陣元位置

表4 仿真2 b)的4種算法對(duì)比

對(duì)于給定的雙平頂主瓣方向圖，算法NST-HT與NST-HT-cum同樣有效。與基于BCS的優(yōu)化算法相比，所提算法的方向圖增益更高；與基于MT-BCS的優(yōu)化算法相比，所提算法更加吻合給定的方向圖；算法NST-HT與算法NST-HT-cum的結(jié)果相類似。

仿真3 8*8面陣的切比雪夫方向圖稀疏陣綜合

參考方向圖為 8*8的面陣，加權(quán)方式為切比雪夫權(quán)值；y0z平面?zhèn)溥x陣元位置呈柵格分布y∈[-10*λ/2:λ/10:10*λ/2],z∈[-10*λ/2:λ/10:10*λ/2]，方位與俯仰角：θ∈[-45,45],φ∈[-45,45](單位：rad)，仿真結(jié)果如圖12～圖15所示，與參考算法的性能比較如表5所示。

圖12 仿真3的方向圖

圖13 仿真3俯仰維方向圖

圖14 仿真3方位維方向圖

圖15 仿真3陣元位置圖

表5 仿真3的4種算法對(duì)比

針對(duì)給定的8*8平面陣的方向圖，所提算法優(yōu)化結(jié)果可在降低陣元數(shù)目的情況下，實(shí)現(xiàn)低旁瓣方向圖綜合?；贐CS的算法在處理面陣問(wèn)題時(shí)效果較差?；贛T-BCS的算法可以實(shí)現(xiàn)陣元數(shù)目的降低，但與所提算法相比誤差較大、陣元數(shù)目較多且增益低。在備選陣元位置多的情況下，算法NST-HT-cum比算法NST-HT所用時(shí)間有明顯減少，且優(yōu)化后陣元數(shù)目更少。觀察優(yōu)化得到的4張陣元位置圖，不難發(fā)現(xiàn)陣元位置似乎是呈現(xiàn)圓形或六邊形分布。正如我們所知，圓形或六邊形分布陣元的方向圖主副比更低。

4 結(jié)束語(yǔ)

基于NST-HT的最小陣元方向圖綜合算法適用于線陣或面陣陣元位置和陣元加權(quán)優(yōu)化問(wèn)題，可實(shí)現(xiàn)符合誤差要求的任意給定方向圖綜合。相比基于BCS和MT-BCS方向圖綜合算法，所提算法在備選陣元位置較多時(shí)，所綜合得到的陣元位置更少，誤差更小。仿真實(shí)驗(yàn)證明了算法的有效性。