李景貴，靳伍銀

(蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院，甘肅蘭州 730050)

0 引言

傳統(tǒng)的微弱信號檢測方法主要有相關(guān)檢測方法、電子學(xué)檢測方法、高階統(tǒng)計量法、自適應(yīng)噪聲抵消法等[1]，這些方法主要從噪聲的角度分析信號的特點和噪聲的規(guī)律，通過噪聲和信號的不同提取出微弱信號，但所檢測的最低信噪比有限。而以混沌理論為核心的非線性科學(xué)的發(fā)展為微弱信號檢測提供了新的思路[2-4]。自1992年Birx等提出運用混沌振子對微弱信號檢測以來，混沌振子檢測微弱信號得到了不斷的改進和發(fā)展。王夢蛟等基于受控Chen’s系統(tǒng)，實現(xiàn)了淹沒在強噪聲背景中的微弱諧波信號檢測[5]。賴志慧等分析了級聯(lián)雙穩(wěn)Duffing系統(tǒng)的隨機共振特性，證明了級聯(lián)雙穩(wěn)Duffing系統(tǒng)有更好的隨機共振輸出，可以實現(xiàn)含噪方波信號的恢復(fù)[6]。王曉東等利用Duffing振子和Van der Pol振子耦合，提出一種Duffing振子阻尼力耦合方法[7]。李國正等結(jié)合遺傳算法求解系統(tǒng)輸出方差的極值得到待測信號頻率[8]。黃繼堯等的研究實現(xiàn)了提取未知多頻率微弱信號各信號分量的頻率參數(shù)[9]。行鴻彥等結(jié)合互補集總經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法和變尺度Duffing振子，提出了一種新的微弱信號檢測方法[10]。但是混沌理論的大部分研究處于實驗仿真階段，提高檢測系統(tǒng)對噪聲的免疫力還有待進一步研究[11-12]。

本文通過改變常規(guī)Duffing振子的非線性項和耦合系數(shù)，提出了一種新的混沌振子檢測模型，研究了基于改進型雙耦合Duffing振子系統(tǒng)的微弱信號檢測方法。利用雙耦合Duffing混沌振子對微弱信號的敏感性和對強噪聲信號的免疫力，以及2個振子之間相互控制的過程，提高系統(tǒng)臨界閾值的準(zhǔn)確性，為微弱信號檢測提供一種新的途徑。通過對雙耦合Duffing振子系統(tǒng)的建模、動力學(xué)分析以及微弱信號檢測研究，同時結(jié)合EEMD分解方法對待測信號分解，仿真結(jié)果表明在檢測淹沒在強噪聲背景下的微弱信號時可以避免相位變化不穩(wěn)定問題，解決了檢測多周期分量的含噪聲微弱信號時出現(xiàn)的混頻問題。 最后對建立的模型和提出的方法進行了仿真實驗和比較。

1 集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EEMD)方法

研究表明雖然Duffing系統(tǒng)對噪聲具有良好的免疫性，但是只有在噪聲功率比較低的情況下檢測微弱信號才有較好的效果，并且檢測范圍受到信噪比門限的限制，因此利用Duffing系統(tǒng)檢測強噪聲背景下的微弱信號時性能比較差。同時Duffing系統(tǒng)僅能檢測單一同頻的周期信號，而實際工程信號通常含有多個周期成分[13-14]，將含噪聲信號輸入Duffing系統(tǒng)前，對信號進行EEMD分解處理，將含噪聲信號分成多個周期的IMF分量，再經(jīng)過Duffing系統(tǒng)將其檢測出來。研究發(fā)現(xiàn)EEMD分解可以規(guī)避模態(tài)混疊問題。

1.1 EEMD分解的原理

EEMD方法是對EMD方法的改進，解決了EMD方法模態(tài)混疊和誤差大問題。在EEMD分解中，由于輔助白噪聲和集合平均次數(shù)是影響EEMD分解的2個重要參數(shù)，則對添加白噪聲方法改進得到新的EEMD方法，其主要思路是：在s(t)中加入絕對值相等的正負2組白噪聲+k·σx·n(t)和-k·σx·n(t)構(gòu)成如下信噪混合體S1(t)和S2(t)，其表達式分別為：

S1(t)=s(t)+k·σx·n(t)

(1)

S2(t)=s(t)-k·σx·n(t)

(2)

式中：n(t)為歸一化白噪聲；σx為信號標(biāo)準(zhǔn)差；k為比例系數(shù)；s(t)為待測信號。

將S1(t)和S2(t)進行EMD分解成IMF組合，并每次加入不同的白噪聲得到：

(3)

(4)

式中：S1,i(t)和S2,i(t)為加不同白噪聲后經(jīng)EMD分解后的信號組合；c1,i,j和c2,i,j為加入不同白噪聲后經(jīng)EMD分解的IMF分量；r1,i,m和r2,i,m為分解后的殘余分量。

對式(3)和式(4)進行N次迭代后，各IMF和殘余分量的平均值為

(5)

式中：cj為IMF分量平均值

(6)

式中：rm為殘余分量平均值。

最后分解結(jié)果為

(7)

由于白噪聲的零均值特性，將這些多次分解的結(jié)果取平均值后，噪聲最終被最大限度的抵消而達到消除的效果，總體平均值可以作為真實信號。

1.2 EEMD與EMD方法檢測性能的對比分析

EMD分解是建立在傅里葉變換之上，由于其高效自適應(yīng)分解非線性、非平穩(wěn)信號的能力，EMD降噪方法得到廣泛的應(yīng)用。但是，由于EMD分解存在模態(tài)混疊和誤差較大等問題，嚴重影響檢測結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此本文利用其改進型EEMD方法進行弱信號檢測，通過仿真實驗將EEMD與EMD方法檢測性能進行對比分析。取待測信號如下

s(t)=sin(0.2πt)+0.5sin(0.4πt)+0.15sin(0.8πt)+sin(πt)+n(t)

(8)

對待測信號s(t)進行EMD分解如圖1(a)所示，其中第一個信號Signal為待測信號s(t)時域圖；對待測信號s(t)進行EEMD分解，如圖1(b)所示。由圖1(a)可以發(fā)現(xiàn)，第二個低頻正弦分量IMF2受到IMF1影響，在IMF2分量中出現(xiàn)IMF1分量，2個IMF分量出現(xiàn)模態(tài)混頻現(xiàn)象，IMF1和IMF2不能代表相應(yīng)的檢測信號分量，凸顯EMD分解方法的不足。

圖1(b)中，EEMD分解方法克服了EMD分解方法的不足，將含噪聲的s(t)的4個分量成功分解出來，保持了原信號的真實性，為之后的Duffing振子微弱信號檢測做好降噪和信號分解準(zhǔn)備。

2 Duffing振子檢測原理

由于Duffing系統(tǒng)具有復(fù)雜的動力學(xué)特征，如振蕩、同宿軌道、分岔、混沌等，本文利用Duffing振子中非線性恢復(fù)力對振子動力學(xué)特性的影響，改變常規(guī)Duffing振子的非線性恢復(fù)力項的次數(shù)構(gòu)造出改進的方程，其數(shù)學(xué)模型如下

(9)

式中：k為阻尼系數(shù)；ax3+bx7為非線性恢復(fù)力,a和b為非線性恢復(fù)力系數(shù)；fcos(wt+θ)為周期策動力，f為周期策動力幅值，w為周期策動力頻率，θ為初始相位。

(a)EMD分解結(jié)果

(b)EEMD分解結(jié)果圖1 EEMD與EMD分解結(jié)果對比

(10)

對改進的Duffing振子進行動力學(xué)分析，取k=0.5，a=1，b=1，w=1，θ=0，f是可變參數(shù)，隨著它的取值從小到大的變化，系統(tǒng)經(jīng)歷不同的狀態(tài)。當(dāng)f=0，系統(tǒng)的相平面鞍點為(0，0)，焦點為(1，0)和(-1，0)，相軌跡最后停在兩焦點之一。當(dāng)f≠0，由于策動力的擾動，系統(tǒng)具有了復(fù)雜的運動狀態(tài)，通過數(shù)值計算和仿真結(jié)果表明，當(dāng)f取不同的數(shù)值，Duffing系統(tǒng)出現(xiàn)周期振蕩、同宿軌道、倍周期分岔、混沌狀態(tài)、臨界狀態(tài)和大尺度周期狀態(tài)。由Melnikov函數(shù)可計算出系統(tǒng)由混沌狀態(tài)變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)的臨界閾值為fd，當(dāng)f逐漸增大接近閾值fd時，系統(tǒng)臨近大尺度周期狀態(tài)，ffd時，系統(tǒng)立刻由混沌狀態(tài)進入大尺度周期狀態(tài)，相軌跡如圖3所示。

圖2 混沌狀態(tài)相軌跡

圖3 大尺度周期狀態(tài)相軌跡

當(dāng)向Duffing系統(tǒng)中加入外界擾動項時，混沌檢測系統(tǒng)為

(11)

式中：s(t)為待測信號s(t)=rcos(w1t)+n(t)；n(t)為高斯白噪聲。

設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)f≤fd，此時系統(tǒng)剛好處于臨界閾值狀態(tài)，當(dāng)加入與系統(tǒng)周期策動力同頻率同相位的微弱周期信號時，系統(tǒng)總周期策動力幅值fd+r將大于閾值fd，系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為大尺度周期狀態(tài)，從而檢測出微弱信號。當(dāng)待測信號不存在與系統(tǒng)同頻同相的信號時，系統(tǒng)依然為混沌狀態(tài)。從而，通過判斷系統(tǒng)是否轉(zhuǎn)化為大尺度周期狀態(tài)就可以判斷待測信號中是否存在微弱周期信號。

3 雙耦合Duffing振子

3.1 模型構(gòu)建

單Duffing振子在檢測淹沒在強噪聲背景下的微弱信號時，常會發(fā)生相軌跡變化不穩(wěn)定、噪聲影響檢測結(jié)果等問題，導(dǎo)致過小的信號不能準(zhǔn)確的檢測出來。為了避免單Duffing振子的不足，本文提出了一種改進型雙耦合Duffing振子檢測模型來提高檢測含噪聲微弱信號的準(zhǔn)確性。

對Duffing混沌振子檢測系統(tǒng)(11)采用阻尼項進行耦合，建立如下的數(shù)學(xué)模型

(12)

式中：ax3-bx7與au3+bu7為非線性恢復(fù)力，a和b為非線性恢復(fù)力系數(shù),通常取值為1；c(x-u)與c(u-x)為耦合振子的線性耦合項，c為耦合系數(shù)；fcos(wt)為周期策動力；s(t)=rcos(w1t)+n(t)為待測信號,n(t)為噪聲信號。

實際工程信號檢測中，要將某一頻率成分的信號檢測出來，就要將策動力頻率w設(shè)置為待測信號的頻率w1，但待測信號頻率w1值往往很難確定。為了滿足工程需要和減少計算量，對時間t進行尺度變換，假設(shè)t=wτ，則有

(13)

(14)

同理有

(15)

代入方程(12)整理得

(16)

此時，方程(16)的檢測特性和方程(12)是一致的，但是系統(tǒng)的策動力頻率由1 rad/s擴展到wrad/s，適應(yīng)了外界不同頻率的周期信號，實現(xiàn)雙耦合Duffing系統(tǒng)自適應(yīng)對工程中不同頻率微弱信號的檢測。

3.2 模型分析

雙耦合Duffing振子系統(tǒng)中的耦合系數(shù)c值越大，說明系統(tǒng)的耦合度越高，不同振子間的同步性越強。當(dāng)c=0時，雙振子間的耦合作用消失，雙Duffing振子系統(tǒng)的動力學(xué)行為與單Duffing振子系統(tǒng)的完全相同。當(dāng)c≠0時，系統(tǒng)的變量將在耦合作用的影響下隨時間逐步達到同步。為進一步說明耦合系數(shù)對雙耦合Duffing振子系統(tǒng)抗噪性及穩(wěn)定性的影響，研究中引入標(biāo)準(zhǔn)差概念(如式(17))來計算不同噪聲背景下的不同條件下的標(biāo)準(zhǔn)差，如表1所示。

(17)

表1 雙耦合Duffing振子系統(tǒng)在不同噪聲 下不同c對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差δ

由表1可知，隨著噪聲強度σ2的增大，不同耦合系數(shù)c下的系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)差δ也逐漸變大，則表明對于雙耦合Duffing振子系統(tǒng)，標(biāo)準(zhǔn)差越小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越強。從表1研究中可知，在耦合系數(shù)(c=2)時雙耦合檢測系統(tǒng)的性能最優(yōu)。

3.3 仿真實驗研究

為驗證結(jié)合EEMD方法的雙耦合Duffing振子系統(tǒng)的檢測性能，選擇待測信號s(t)為

s(t)=0.000 1cos(5t+0.1π)+0.000 3 cos(40t+0.2π)+

0.000 6 cos(100t+1.5π)+n(t)

(18)

由于實際工程中信號的復(fù)雜性，因此在輸入信號s(t)中加入功率為0.1的高斯白噪聲。對混合多頻信號s(t)進行EEMD分解后得到8個固有模態(tài)函數(shù)，除去噪聲分量和殘余分量得到3個具有實際意義的IMF分量，如圖4所示。從圖4中看出，IMF1～IMF3分別是從高頻到低頻排列的3個正弦信號。經(jīng)EEMD分解后，混合信號s(t)分解為尺度不同的信號，雖然EEMD分解規(guī)避了模態(tài)混疊和去除了一定的噪聲，但是從圖中發(fā)現(xiàn)IMF分量中仍含有混雜噪聲，分解信號IMF1～IMF3的信號參數(shù)很難確定，則將IMF1～IMF3分別輸入到Duffing振子檢測系統(tǒng)中，通過混沌檢測方法檢測出各IMF分量參數(shù)。

圖4 EEMD分解的信號

設(shè)置式(12)中的雙耦合Duffing系統(tǒng)參數(shù)，阻尼比k=0.5，初始條件為x(0)=u(0)=0,f=0.677,高斯白噪聲功率為0.1，使用四階Runge-Kutta法進行求解，將IMF1～IMF3分別作為外部激勵信號輸入到雙耦合Duffing振子系統(tǒng)中，得到如圖5所示的相軌跡圖。

(a)IMF1輸入系統(tǒng)后相軌跡圖

(b)IMF2輸入系統(tǒng)后相軌跡圖

(c)IMF3輸入系統(tǒng)后相軌跡圖圖5 各IMF分量分別輸入系統(tǒng)后的相軌跡圖

由圖5可知，分別輸入IMF1～IMF3后雙耦合系統(tǒng)發(fā)生了轉(zhuǎn)變，證明了微弱周期信號的存在。由Melnikov函數(shù)可計算出輸入IMF1～IMF3后分別對應(yīng)的臨界閾值fd為0.676 4、0.676 7、0.676 9，而不加入待測信號時的臨界閾值fd=0.677，從而根據(jù)Duffing系統(tǒng)的檢測原理可知待測信號的幅值為閾值之差，計算得到IMF1幅值為0.006，IMF2幅值為0.000 3，IMF3幅值為0.000 1。仿真實驗表明，檢測結(jié)果和實際的輸入信號一致，驗證了結(jié)合EEMD分解和改進雙耦合Duffing振子微弱信號檢測方法的可行性及系統(tǒng)的抗噪性。

4 結(jié)論

本文提出了一種將EEMD和變尺度雙耦合Duffing振子結(jié)合的微弱信號檢測方法。利用EEMD將淹沒在噪聲背景下的多周期待測信號分解為多個不同的固有模態(tài)函數(shù),通過時間尺度變換和耦合同步構(gòu)建了雙耦合Duffing振子，實現(xiàn)了對復(fù)雜未知頻率信號的檢測。結(jié)果表明，該方法檢測微弱信號時抗噪性強、檢測靈敏，克服了常規(guī)Duffing振子僅能檢測低噪聲背景信號的缺點，對實現(xiàn)實際工程中的微弱信號檢測提供新的方法。