諸葛航，呂 勇，易燦燦，袁 銳

(武漢科技大學(xué)機(jī)械自動化學(xué)院，武漢 430081)

0 引言

在旋轉(zhuǎn)機(jī)械運(yùn)行過程中，軸承、齒輪是發(fā)生故障的主要部位[1]，且設(shè)備中多種故障同時出現(xiàn)的情況普遍存在。而在實驗室或工廠中由于成本和檢測條件的限制，設(shè)備上不能安裝較多的傳感器，所以傳感器的數(shù)量小于信號源數(shù)量的情況非常普遍(欠定情況)。相比于單個故障的情況，復(fù)合故障的情況更復(fù)雜且更難以處理。而我們通過傳感器測得的復(fù)合故障信號是各故障源的混疊信號，其傳遞過程不明確，且包含強(qiáng)烈的噪聲，這給復(fù)合故障的診斷帶來了很大困難[2]?；旌侠们范ぴ捶蛛x(UBSS)方法,我們可以在傳遞過程不明確的情況下從信號中提取有用的故障信號，從而很好地處理復(fù)合故障的診斷問題。

傳統(tǒng)的盲源分離方法，如獨立成分分析(ICA)等，只適用于平穩(wěn)、非高斯且相互獨立源的分離，易受噪聲影響。這些方法不能適應(yīng)復(fù)雜非平穩(wěn)的工況，而時頻分布(TFD)方法能夠得到在故障信號在時頻域的信息，可以有效地反映信號的非平穩(wěn)特征?？臻g-時頻分布(Spatial Time-Frequency Distribution，STFD)方法由二次時頻分布(Quadratic time-frequency distribution，QTFD)發(fā)展而來，主要是基于Wigner-Ville分布(WVD)定義的，所以STFD具有不需要嚴(yán)格的獨立性假設(shè)、先驗知識，對噪聲不敏感，適用于非平穩(wěn)信號等優(yōu)點[3]。許多學(xué)者將STFD方法應(yīng)用于到達(dá)波方向(DOA)估計，并取得了較好的效果[4-6]，但是目前很少有學(xué)者將STFD方法用于盲源分離來對機(jī)械復(fù)合故障進(jìn)行診斷。

本文針對旋轉(zhuǎn)機(jī)械中存在的滾動軸承多故障的問題提出了基于空間-時頻分布的欠定盲源分離方法，實現(xiàn)了軸承多故障源信號的分離，并在時頻域?qū)Ψ蛛x后的信號進(jìn)行分析與比較，從而進(jìn)行故障診斷與狀態(tài)檢測；最后通過仿真實驗與實測信號驗證了方法的可行性與有效性。

1 信號模型

位于三維空間中的源(發(fā)射器)發(fā)出的信號被傳感器(接收器)陣列接收時，源信號的特征信息有兩個：到達(dá)波方向(DOA)和源信號的組合方式。前者的特性一般表現(xiàn)為轉(zhuǎn)向矢量，其具體體現(xiàn)在同一個源信號在遍歷傳感器陣列時的相位變化[7]。后者通常稱取決于信號源的傳播方式，一般有瞬時混合模型和卷積混合模型兩種[8]。

設(shè)空間中存在源信號s1,…,sn，它們被傳感器陣列觀測到，觀測信號為x1,…,xm(當(dāng)m

X=AS+N

(1)

式中，S=[s1,…,sn]T是源信號向量矩陣；X=[x1,…,xm]T是觀測信號向量矩陣；N是信號源的噪聲；A=[a(θ1),…,a(θn)]是信號傳遞過程中的混合矩陣或轉(zhuǎn)向矩陣，其中a(θi)=[a1i,…,ami]T是θj方向的轉(zhuǎn)向矢量，i=1,2,…,n。那么：

xj=aj1s1+aj2s2+…+ajmsm+ηj

(2)

式中，j=1,2,…,m；ηj為信號源噪聲。

2 空間-時頻分布(STFD)原理

2.1 STFD矩陣的計算

傳感器采集到的觀測信號x1,…,xm，經(jīng)過Hilbert變換得到解析的向量為z1,…,zm；那么觀測信號的二次時頻分布(QTFD)可以通過Wigner-Ville分布(WVD)得到：

(3)

其中,i,j=1,2,…,m；(·)*表示共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算。

通過計算各個觀測信號之間以及它們與自身的WVD。將二次時頻分布擴(kuò)展到三維空間中可以得到空間-時頻分布(STFD)矩陣，如圖1所示(m=3時)：

圖1 STFD的原理

圖1中，每個時頻點(t,f)，都對應(yīng)一個STFD塊矩陣，塊矩陣由時頻點(t,f)在每個WVD矩陣中對應(yīng)的位置的值Wzizj(t,f)組成；如STFD(t0,f0)，由Wzizj(t0,f0),i,j=1,2…3組成。所有的時頻點對應(yīng)的STFD塊矩陣，組成了完整的空間-時頻分布(STFD)矩陣。

2.2 時頻點的分類

所有的時頻(TF)點分為兩類：自動項點與交叉項點。時頻點的判斷規(guī)則如下：

(1)如果WVD矩陣Wzizi在時頻點(tp,fp)處存在能量集中，那么(tp,fp)是自動項點，矩陣STFD(tp,fp)是自動項矩陣;

(2)如果WVD矩陣Wzizj(i≠j)在時頻點(tq,fq)處存在能量集中，那么(tq,fq)是交叉項點，矩陣STFD(tq,fq)是交叉項矩陣。

自動項是同一源信號的分量之間相互作用形成的，是有用成分，而交叉項是不同的源信號分量之間相互作用形成，屬于干擾成分。

2.3 STFD矩陣的白化

基于第一個章節(jié)中的信號模型，STFD矩陣有如下結(jié)構(gòu)：

STFDzz(t,f)=ASTFDss(t,f)AH

(4)

其中，STFDss(t,f) 為源信號的STFD矩陣，STFDzz(t,f)代表觀測信號的STFD矩陣，假設(shè)存在一個白化矩陣W使得：

(WA)(WA)H=UUH=I

(5)

其中，I是單位矩陣，那么U=WA是酉矩陣。利用式(3) ～式(5),可以得到白化后觀測信號的STFD矩陣：

(6)

由式(6)可知，白化步驟使原來的線性混合模型轉(zhuǎn)化為酉混合線性模型。而白化矩陣W可以通過計算觀測信號數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的反平方根[9]或者通過STFD矩陣計算得到[10]。

3 基于STFD的軸承多故障信號盲源分離

3.1 計算觀測信號的STFD矩陣

盲源分離方法效果的好壞取決于能否正確地篩選出自動項點。為了減少和削弱原始的WVD方法產(chǎn)生的交叉項，增大自動項選擇的正確性，我們使用改進(jìn)的平滑偽Wigner-Ville方法(SPWVD)來計算信號的二次時頻分布(QTFD)：

(7)

SPWVD的本質(zhì)是在WVD的基礎(chǔ)上增加了窗函數(shù)與平滑函數(shù)，它能有效消除交叉干擾項。并且，由于WVD的特性，SPWVD可以將信號的噪聲在整個時頻域中平均，有較好的抗噪效果。

通過式(7)得到解析信號向量zi(t)與zj(t)的時頻矩陣后，根據(jù)圖1所示方法，可以得到空間-時頻分布(STFD)矩陣：

(8)

3.2 噪聲閾值處理

為了降低計算的復(fù)雜性和時間成本，減少噪聲的干擾。在對自動項點和交叉項點進(jìn)行篩選前，我們對STFD矩陣進(jìn)行噪聲閾值處理，選擇性地保留時頻域中能量較大的時頻點[11]：

(9)

3.3 自動項點的選取

在假設(shè)給定源信號時頻點在時頻域內(nèi)不重合的條件下，每個自動項TF點對應(yīng)的STFD矩陣的秩等于1(只存在一個特征值)；若秩不等于1，則它們對應(yīng)的STFD矩陣的特征值中，存在一個明顯較大的特征值[12]。所以秩的多少可以用來區(qū)分TF點，即選擇STFD 矩陣的秩等于1的TF點作為自動項點。為了簡化這一步驟采用如下公式：

(10)

其中，參數(shù)ε2是一個可以正標(biāo)量(一般情況下，ε2=0.3)，λmax{·}是矩陣的最大特征值，norm{·}表示矩陣的范數(shù)。

3.4 基于向量集群和源TFD估計

屬于同一源信號TF點的STFD矩陣具有相同的主特征向量[12]。我們可以根據(jù)這個特點對TF點進(jìn)行聚類：

(1)對上一節(jié)選取的自動項點(ta,fa)的STFD矩陣STFDzz(ta,fa)進(jìn)行特征值分解，得到主特征向量v(ta,fa)及特征值λ(ta,fa)。

(2)使用k-means算法將步驟(1)中得到的v(ta,fa)集群到不同的類；此時同類時頻點對應(yīng)同一個源。

(3)對每個類的自動項點在時頻域內(nèi)進(jìn)行排序，得到估計源信號的時頻分布(TFD)。

3.5 源信號重建與故障源的定位

根據(jù)WVD的反演特性[13]我們可以從源信號的TFD中恢復(fù)時域的源信號：

(11)

(12)

式中，cov(·)表示方差；i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。距離故障源越近，觀測信號與故障源信號的相關(guān)系數(shù)ρi,j越大，這樣我們就可以對故障源的位置進(jìn)行定位。

本方法在時頻域內(nèi)對信號進(jìn)行了降噪與盲源分離。與傳統(tǒng)的基于時頻分析(如Cohen類時頻分布、分?jǐn)?shù)Fourier變換等)的盲源分離方法相比較，本方法既適用于處理欠定型盲源分離問題，也適用于處理超定型盲源分離問題。而傳統(tǒng)的基于時頻域的盲源分離往往具有一定的局限性，只能處理單一的情況。并且與協(xié)方差矩陣法相比本方法能夠有效的提高信噪比，從而提高對噪聲的魯棒性。

4 仿真實例

4.1 仿真振動故障信號分離及其效果評價

現(xiàn)有3個模擬滾動軸承故障源信號s1、s2、s3，它們的特征頻率和故障類型在表1中給出，信號的信噪比為10 dB。故障源信號經(jīng)過線性混合模型混合后得到2個觀測信號x1、x2(欠定情況)，利用本文提出方法對觀測信號進(jìn)行盲源分離，驗證方法的可行性。

表1 模擬的軸承故障特征參數(shù)

3個故障源信號的時域和頻域特性，如圖2所示。圖2b中源信號s1的故障特征頻率fa與s3的故障特征頻率fc以及它們的倍頻非常明顯;而s2中的滾動體故障特征頻率fb及其倍頻則由于故障相對微弱和噪聲的存在，并不明顯。因此，當(dāng)3個故障信號同時被傳感器采集到時，s2會因為另外兩個信號以及噪聲的干擾而很難被觀測到，這極大的增加了故障診斷的難度。

(a) 3個故障的時域信號

2個觀測信號的Wigner-Ville分布(WVD)與頻譜如圖3所示。圖3a與圖3b中觀測信號1的WVD中沒有與故障特征頻率對應(yīng)的頻帶，通過頻譜圖也不能判斷故障是否存在及故障的類型。圖3c與圖3d中觀測信號2的WVD只能看到到較為明顯的特征頻率fc及其倍頻對應(yīng)的頻帶，頻譜圖中也可以觀察到fc及其倍頻對應(yīng)的波峰；而另外兩個故障的特征頻率不能從時頻圖以及頻譜圖中觀察到。因此，WVD與頻譜分析方法僅能確定軸承外圈裂紋故障的存在，而不能判斷另外兩種故障是否存在。

(a) 觀測信號1的WVD (b) 觀測信號1的頻譜

利用本文提出的基于STFD的滾動軸承多故障欠定盲源分離方法對觀測信號進(jìn)行盲源分離，得到了3個估計源信號，結(jié)果如圖4所示。

(a) 估計源1的時頻圖 (b) 估計源1的頻譜

圖4a中存在明顯的故障特征頻率fa及其倍頻的頻帶，且沒有其他頻率的干擾存在；圖4b頻譜圖中存在與故障特征頻率對應(yīng)的波峰，可以判斷估計源1是軸承內(nèi)圈裂紋故障的源信號。同樣地，我們可以判斷估計源2是軸承滾動體故障的源信號，估計源3是軸承外圈裂紋故障的源信號。由圖3與圖4可知，本方法可以很好地處理欠定條件下軸承的多故障信號進(jìn)行盲源分離問題，并對軸承的故障類型進(jìn)行判斷。

4.2 實測的軸承多故障信號分離及其效果評價

4.1節(jié)中已經(jīng)驗證了方法的可行性，但是模擬信號通常是基于齒輪箱嚙合特性的振動模型，是簡化的模型。實際采集信號比模擬信號復(fù)雜，它不僅包含齒輪、軸承等關(guān)鍵部件的耦合振動信息，還包含背景噪聲及其他干擾信息。因此，有必要通過實驗來驗證所提出方法的有效性。

本小節(jié)將提出的方法應(yīng)用于軸承多故障信號分離，并進(jìn)行故障診斷。實驗裝置如圖5所示，圖5a為實驗臺，由變速電機(jī)、行星齒輪箱、斜齒輪箱、磁粉制動器和外置軸承座組成；振動加速度傳感器分別安裝在斜齒輪箱的兩側(cè)以及外置軸承座上，如圖5b所示。其結(jié)構(gòu)簡圖和測試故障位置如圖6所示。故障軸承在外圈處產(chǎn)生了裂紋故障，如圖7所示。故障同時位于斜齒輪箱的輸出軸軸承和外置軸承座處。

(a) 實驗臺

1.磁粉制動器 2.圓柱斜齒輪箱 3.聯(lián)軸器 4.加速度傳感器 5.行星齒輪箱 6.軸承座 7.變速電機(jī) 8.外置軸承座

(a) 齒輪箱輸出軸軸承外圈裂紋 (b) 軸承座軸承外圈裂紋

實驗中電動機(jī)轉(zhuǎn)速為2000 r/min，傳感器的采樣頻率為10 240 Hz，采樣點數(shù)為8192，磁粉制動器施加的扭矩為0。圖5b中振動加速度傳感器從右到左，采集到的數(shù)據(jù)依次為源信號1、源信號2、源信號3；行星齒輪箱的減速比為5:1，斜齒輪箱的減速比為1:1.4。表2給出了故障軸承的參數(shù)與故障特征頻率。

表2 故障軸承參數(shù)

3個源信號的時域和頻域分析，如圖8所示。圖8b是3個源信號的傅里葉頻譜，源信號1的采集點緊貼軸承座，源信號2的采集點在齒輪箱右側(cè)，距離軸承座較近，所以軸承座軸承外圈裂紋故障的信號更為明顯；且由于背景噪聲和其他干擾的存在，齒輪箱軸承外圈裂紋故障的信號被淹沒了。因此，在傅里葉譜上只能觀察較明顯的2×f1故障特征頻率，其他頻率并不明顯。源信號3的采集點位于齒輪箱左側(cè)，距離軸承座較遠(yuǎn)，此時兩個軸承的故障特征頻率的幅值都很低，并不明顯。

(a) 時域信號

接下來對傳感器采集到源信號進(jìn)行時頻分析，得到信號的Wigner-Ville分布(WVD)，結(jié)果如圖9所示。圖9a和圖9b中只能看到較為明顯的2×f1的頻帶，而特征頻率f2幾乎看不到，這是因為軸承座軸承外圈裂紋故障信號能量很強(qiáng)，所以能量較低的齒輪箱軸承外圈裂紋故障信號被淹沒；圖9c中則只能看到在f1和2×f1的兩倍頻處存在能量集中，但分析效果依舊較差。此外，其他的特征頻率的頻帶不明顯，還存在其他無用頻帶的干擾。因此利用WVD進(jìn)行時頻分析并不能有效地進(jìn)行故障診斷。

(a) 源信號1的WVD (b) 源信號2的WVD

利用本文提出的方法，對源信號進(jìn)行盲源分離，得到兩個估計的故障信號，結(jié)果如圖10所示。圖10a和圖10b中我們可以看到非常明顯的故障特征頻率f1與2×f1，且在較低頻率范圍內(nèi)，不存在故障特征頻率f2和它的倍頻以及其他頻帶的干擾，因此我們可以判斷估計源信號1是齒輪箱軸承外圈裂紋故障的信號；圖10c和圖10d中我們可以看到非常明顯的故障特征頻率f2，且在較低頻率范圍內(nèi)，不存在故障特征頻率f1和它的倍頻以及其他頻帶的干擾，因此我們可以判斷估計源信號2是軸承座軸承外圈裂紋故障的信號。

(a) 估計源1的時頻圖 (b) 估計源1的頻譜

同等情況下，利用Fast-ICA算法對傳感器采集到的信號進(jìn)行盲源分離，得到的結(jié)果如圖11所示。兩個分離出的估計源信號的時頻分析與頻譜分析中只存在比較明顯的2×f1頻帶與波峰，沒有故障特征頻率f2的成分。所以Fast-ICA算法并不能對本實驗測得的故障信號進(jìn)行分離與故障診斷。

(a) 估計源1的時頻圖 (b) 估計源1的頻譜

結(jié)合圖9～圖11可知，本文提出的方法可以有效地從實驗測得的多故障信號中分離出單個的故障信號，并對故障的類型進(jìn)行判斷。且在同等情況下本方法比Fast-ICA算法的效果要好。

5 結(jié)論

本文研究了基于空間-時頻分布(STFD)的欠定盲源分離方法，并成功將其應(yīng)用于滾動軸承多故障振動信號的分離和故障診斷。在本文的研究基礎(chǔ)上，得出了以下結(jié)論：

(1)本論文提出的方法可以準(zhǔn)確的對自動項進(jìn)行選擇與聚類，并重建源信號，能夠很好地對混合信號進(jìn)行分離。

(2)對模擬的多故障信號的盲源分離實驗結(jié)果驗證了本文方法的可行性，能夠?qū)Χ喙收闲盘栠M(jìn)行分離與故障診斷。

(3)與Fast-ICA算法相比，在對實測多故障信號進(jìn)行盲源分離與診斷時，本方法的效果更好。