閔富紅 鄭宏亮 芮 智 曹 弋

(南京師范大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院 南京 210046)

1 引言

基于電路的完備性和基本變量的對(duì)稱性，1971年文獻(xiàn)[1]首次從理論上提出憶阻器的概念。作為一類具有記憶性的非線性二端口元件，憶阻器的伏安特性曲線常表現(xiàn)為斜“8”字型的過(guò)零點(diǎn)緊磁滯回線特征[2]。因此，將其與非線性混沌電路結(jié)合極易產(chǎn)生豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。大量研究表明，憶阻混沌電路在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]、人工智能[4]、保密通信[5]、信號(hào)處理[6]等方面具有廣闊的應(yīng)用前景。因此，多種憶阻電路[7]被相繼提出和分析，其中有憶阻超混沌Jerk系統(tǒng)[8]、非自治憶阻FitzHugh-Nagumo電路[9]、憶阻文氏橋振蕩器[10]和Sallen-Key低通濾波憶阻振蕩器[11]等。

不同于普通非線性電路，憶阻電路往往擁有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，比如，對(duì)稱分岔行為、多穩(wěn)態(tài)特性、反單調(diào)性和不完全對(duì)稱行為等。對(duì)稱性[12]在關(guān)于初值對(duì)稱的憶阻系統(tǒng)中普遍存在，從系統(tǒng)方程中即可看出。而文獻(xiàn)[13]在改進(jìn)型憶阻蔡氏電路中，首次發(fā)現(xiàn)了特定參數(shù)下系統(tǒng)的對(duì)稱分岔行為，并通過(guò)共存分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)進(jìn)行揭示。多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象[14]主要表現(xiàn)為依賴于系統(tǒng)初始條件的多種吸引子共存現(xiàn)象。文獻(xiàn)[15]構(gòu)造了基于最簡(jiǎn)憶阻器的準(zhǔn)哈密頓系統(tǒng)，系統(tǒng)無(wú)平衡點(diǎn)，但存在無(wú)窮多隱藏吸引子，在多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象下揭示系統(tǒng)通過(guò)間歇和瞬態(tài)混沌走向混沌的途徑。反單調(diào)現(xiàn)象[16]是當(dāng)某些特定參數(shù)或初值變化時(shí)，在參數(shù)域或初值域成對(duì)產(chǎn)生正向和反向倍周期分岔級(jí)聯(lián)的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[17]討論了基于RLCM四元件的混沌電路中，隨參數(shù)變化出現(xiàn)的正負(fù)初值互補(bǔ)共存的周期-混沌氣泡。擁有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)吸引子的不完全對(duì)稱行為[18]通常存在于低維系統(tǒng)中，文獻(xiàn)[19]在3階憶阻HR神經(jīng)元模型中運(yùn)用相位圖、分岔圖和動(dòng)力學(xué)地圖等分析方法，揭示了系統(tǒng)存在的不對(duì)稱共存吸引子的隱藏動(dòng)力學(xué)行為。但是，關(guān)于特定參數(shù)的對(duì)稱動(dòng)力學(xué)行為在高維系統(tǒng)中的研究較少。

基于此，本文通過(guò)在經(jīng)典Shinriki振蕩器[20]中引入無(wú)源和有源磁控憶阻，并在電感支路串聯(lián)電阻，搭建出一個(gè)新型的5維憶阻振蕩系統(tǒng)。通過(guò)動(dòng)力學(xué)行為分析發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)特有的在特定參數(shù)下的對(duì)稱共存分岔現(xiàn)象，并通過(guò)Lyapunov指數(shù)譜對(duì)比驗(yàn)證。同時(shí)將這一現(xiàn)象延伸至雙參數(shù)平面以及參數(shù)-初值平面內(nèi)分析，觀察到在對(duì)稱吸引域內(nèi)多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)吸引子的共存行為。對(duì)系統(tǒng)在對(duì)稱域內(nèi)伴隨出現(xiàn)的反單調(diào)現(xiàn)象、不完全對(duì)稱行為等進(jìn)行了重點(diǎn)分析。最后，在FPGA數(shù)字平臺(tái)，對(duì)雙磁控憶阻Shinriki振蕩器開(kāi)展電路實(shí)驗(yàn)，通過(guò)仿真波形驗(yàn)證數(shù)值分析的正確性以及對(duì)稱動(dòng)力學(xué)行為的真實(shí)存在性。

2 雙磁控憶阻Shinriki振蕩器模型

圖1給出了雙磁控憶阻Shinriki振蕩器模型，電路結(jié)構(gòu)主要由3個(gè)部分構(gòu)成：負(fù)阻抗轉(zhuǎn)換器、非線性正電阻區(qū)域以及RLC諧振回路。原電路[20]中負(fù)阻抗轉(zhuǎn)換器由兩個(gè)等值電阻R1和R2、 運(yùn)算放大器U以及接地電阻R3組成，該部分對(duì)外電路表現(xiàn)為?R3，且作為電源向電路其他部分供能。非線性正電阻區(qū)域利用一個(gè)3次無(wú)源磁控憶阻器W1替換原來(lái)的二極管串并聯(lián)支路。負(fù)阻抗轉(zhuǎn)換器與非線性正電阻區(qū)域間通過(guò)R4和電容C0的并聯(lián)連接在一起。RLC諧振回路的存在，對(duì)電路能隨機(jī)產(chǎn)生振蕩波形和周期性波形起到了關(guān)鍵作用，本文中，在電感L支路串聯(lián)電阻R5，同時(shí)將電阻支路用一個(gè)3次有源憶阻器W2替代，提高電路的復(fù)雜度，便于產(chǎn)生更豐富的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。新構(gòu)建的雙磁控憶阻Shinriki振蕩器包含5個(gè)動(dòng)態(tài)元件，分別是電容C0,C，電感L，兩個(gè)磁控憶阻器W1和W2，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量如圖1所示為VC0,VC,iL,φ1和φ2。

圖1 雙憶阻Shinriki振蕩器模型

3 動(dòng)力學(xué)行為分析

3.1 對(duì)稱共存分岔行為

為了研究振蕩器式(2)在不同單參數(shù)變化時(shí)產(chǎn)生的分岔行為，給出系統(tǒng)隨參數(shù)c,d變化的共存分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜如圖3所示。其中，參數(shù)c表示的是系統(tǒng)中電感L值的倒數(shù)，負(fù)電阻R3的倒數(shù)和正電阻R4倒 數(shù)的差值為參數(shù)d。 初值設(shè)置為(±10?6,±10?6,±10?6,0,0)，固定其它參數(shù)如表1所示，在達(dá)到起振條件下弱化初值對(duì)系統(tǒng)的影響。

表1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置值

在圖3(a)中，參數(shù)c的變化區(qū)間為( 14.6,23.8)，可以觀察到隨著參數(shù)c取值的增加，系統(tǒng)先后遍歷了混沌態(tài)、周期窗、多周期，然后通過(guò)反倍周期分岔進(jìn)入周期一，最后達(dá)到穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)狀態(tài)，其中，周期窗和多周期狀態(tài)衍生穿插在混沌態(tài)之間。當(dāng)參數(shù)c<14.484時(shí)，系統(tǒng)處于大周期狀態(tài)，對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量xmax躍變?yōu)闃O大的值，且最小Lyapunov指數(shù)L5驟降為極小的值，考慮到分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜的協(xié)調(diào)性和可觀察性，該部分區(qū)間未在圖3(a)和圖3(b)中給出，后續(xù)的分析中會(huì)加以說(shuō)明。在c ∈(14.484,16.31)∪(16.684,18.928)時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌吸引子，對(duì)應(yīng)于圖3(c)中的最大Lyapunov指數(shù)L1>0 。觀察圖3(a)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)c位于區(qū)間(16.31,16.684)∪(18.928,23.68)時(shí)系統(tǒng)處于周期態(tài)，而在c>23.68 時(shí) 最大Lyapunov指數(shù)L1小于零，進(jìn)入穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)狀態(tài)。再來(lái)將目光聚焦到圖3(b)中，容易發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)隨參數(shù)d變化的共存分岔軌跡與圖3(a)中隨參數(shù)c的變化規(guī)律呈現(xiàn)出對(duì)稱性。參數(shù)d由1.59開(kāi)始增加，系統(tǒng)先后經(jīng)歷了穩(wěn)定點(diǎn)、倍周期分岔至混沌態(tài)、多周期、周期窗和大周期等運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。結(jié)合圖3(d)的Lyapunov指數(shù)譜，將系統(tǒng)隨參數(shù)c,d變化的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與具體的區(qū)間分布列于表2中，直觀地展現(xiàn)兩個(gè)參數(shù)的對(duì)稱共存分岔行為。

表2 振蕩器隨參數(shù)c, d變化時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和對(duì)應(yīng)Lyapunov指數(shù)

圖2 系統(tǒng)混沌相圖

圖3 共存分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

3.2 雙參數(shù)平面內(nèi)的對(duì)稱運(yùn)動(dòng)分布

進(jìn)一步探討系統(tǒng)參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)稱性分布的影響，繪制對(duì)稱參數(shù)和電容C的參數(shù)b以及有源磁控憶阻參數(shù)n2的雙參數(shù)圖如圖4所示。圖中不同顏色代表著不同狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)行為，“SP”指的是穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)(Stable point)，“P1～P8”表示的是周期1至周期8極限環(huán)(Period 1～Period 8)，“CM”則代表著混沌、多周期等復(fù)雜運(yùn)動(dòng)(Complex motion)。

將圖4(a)，圖4(b)與圖4(c)，圖4(d)分為兩組，分別命名為組Ⅰ和組Ⅱ，容易看出同組中的動(dòng)力學(xué)地圖呈現(xiàn)對(duì)稱分布。在組Ⅰ中，展現(xiàn)了在完整對(duì)稱參數(shù)域下與參數(shù)b的運(yùn)動(dòng)軌跡分布。參數(shù)d從1.52遞增至2.08的過(guò)程中，無(wú)論參數(shù)b取值如何，系統(tǒng)總是遍歷穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)、周期、混沌和大周期4種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。相反地，當(dāng)參數(shù)c∈(14.00,25.00)時(shí)，動(dòng)力學(xué)行為分布先是從大周期到混沌，再過(guò)渡到周期，最終抵達(dá)穩(wěn)定點(diǎn)。大周期狀態(tài)即為組Ⅰ中類似馬賽克的部分。為了更好地觀察周期與混沌態(tài)的共存情況，截取了部分對(duì)稱域與憶阻參數(shù)n2的組合得到組Ⅱ，消除了穩(wěn)定點(diǎn)和大周期狀態(tài)。和組Ⅰ相比，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的遍歷性仍保持一致，且均具有多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)共存的特點(diǎn)。但是，組Ⅱ中憶阻參數(shù)經(jīng)歷由負(fù)值到正值的轉(zhuǎn)變，表明憶阻元件由有源狀態(tài)切換為無(wú)源狀態(tài)，同時(shí)拓寬吸引域范圍，系統(tǒng)在多周期和混沌摻雜區(qū)域中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的切換更為頻繁，而且隨著憶阻參數(shù)的增大，多周期和混沌摻雜區(qū)的范圍逐漸減小。這些都表明了將憶阻元件引入混沌振蕩電路中，不僅可以保留原系統(tǒng)中固有的動(dòng)力學(xué)行為，更能豐富其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

圖4 雙參數(shù)動(dòng)力學(xué)地圖

3.3 依賴于對(duì)稱參數(shù)的初值域內(nèi)聚合費(fèi)根鮑姆樹(shù)現(xiàn)象

研究對(duì)稱參數(shù)對(duì)系統(tǒng)中存在的反單調(diào)行為的影響，該行為主要表現(xiàn)為成對(duì)出現(xiàn)的倍周期分岔和反倍周期分岔級(jí)聯(lián)現(xiàn)象，亦被稱為聚合費(fèi)根鮑姆樹(shù)現(xiàn)象。圖5(a)～圖5(f)中記錄不同參數(shù)d下，狀態(tài)變量ymax隨初始條件z(0)變化的費(fèi)根鮑姆樹(shù)分裂和聚合的過(guò)程。當(dāng)d=1.65時(shí)，系統(tǒng)關(guān)于初值的對(duì)稱性，使z(0)在 區(qū)間(?4,4)內(nèi)，左右分岔軌跡各出現(xiàn)周期2氣泡。在d增加至1.68后，左右周期2氣泡分支上小范圍內(nèi)分裂出新氣泡，形成周期4氣泡。按此規(guī)律，繼續(xù)分裂出周期8氣泡。d=1.698時(shí)，周期8氣泡內(nèi)出現(xiàn)混沌域，隨著d值增加，原來(lái)不接壤周期-混沌氣泡開(kāi)始走向聚合，形成更大范圍內(nèi)的周期-混沌氣泡串。

為驗(yàn)證對(duì)稱參數(shù)在初值域內(nèi)的反單調(diào)現(xiàn)象的對(duì)稱性，選擇6組和圖5相對(duì)應(yīng)的參數(shù)c值，得到圖6(a)～圖6(f)中具有相同周期、混沌氣泡狀態(tài)的分岔軌跡圖。與參數(shù)d的遞增趨勢(shì)不同，圖6中展現(xiàn)的是隨c值減小，在初值z(mì)(0)區(qū)間內(nèi)遍歷了周期2氣泡→周期4氣泡→周期8氣泡→8周期-混沌氣泡→4周期-混沌氣泡→2周期-混沌氣泡的氣泡吞吐過(guò)程。

圖5 對(duì)稱參數(shù)d 決定的初值z(mì) (0)區(qū)間內(nèi)聚合費(fèi)根鮑姆樹(shù)現(xiàn)象

圖6 對(duì)稱參數(shù)c 決定的初值z(mì) (0)區(qū)間內(nèi)聚合費(fèi)根鮑姆樹(shù)現(xiàn)象

3.4 憶阻初值影響下的不完全對(duì)稱共存現(xiàn)象

分析在無(wú)源磁控憶阻初值u(0)的影響下，參數(shù)c區(qū)間內(nèi)的不完全對(duì)稱共存現(xiàn)象。選擇u(0)=±0.2，參數(shù)c區(qū)間為( 15.1,21.9)時(shí) ，得到狀態(tài)變量xmax的共存分岔圖和對(duì)應(yīng)的前4根Lyapunov指數(shù)對(duì)比圖如圖7所示。圖7(a)中從初始條件(10?6,10?6,10?6,0.2,0) , ( 10?6,10?6,10?6,?0.2,0) ,(?10?6,?10?6,?10?6,0.2,0) 和(?10?6,?10?6,?10?6,?0.2,0)出 發(fā)的軌跡分別被標(biāo)記為紅色、綠色、粉色和藍(lán)色。

圖7(a)中，紅色和藍(lán)色軌跡互為平移關(guān)系，兩者在所選參數(shù)c區(qū)間內(nèi)經(jīng)歷的吸引子狀態(tài)具有一致性，從左至右依次經(jīng)歷混沌、反倍周期分岔、周期-混沌氣泡、鞍結(jié)分岔，最終再一次反倍周期分岔從混沌走向周期1。豐富的動(dòng)力學(xué)行為過(guò)程在圖7(b)中初值為正的Lyapunov指數(shù)譜上表現(xiàn)為譜線波動(dòng)頻率高，系統(tǒng)內(nèi)不斷發(fā)生運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的切換。當(dāng)初始條件中憶阻項(xiàng)和非憶阻項(xiàng)異號(hào)時(shí)，即綠色軌跡和粉色軌跡在參數(shù)區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，穩(wěn)定點(diǎn)處軌跡重合，周期態(tài)處互為平移關(guān)系。截取參數(shù)c ∈(15.1,17.1)時(shí)兩軌跡對(duì)應(yīng)的周期態(tài)放大圖見(jiàn)圖7(a)右下角，可以看出此時(shí)出現(xiàn)的是共存周期4氣泡。結(jié)合圖7(b)，分析得出在初值同號(hào)和異號(hào)時(shí)，振蕩器在15.1

圖7 參數(shù)c 區(qū)間內(nèi)共存分岔圖和Lyapnnov指數(shù)譜

3.5 對(duì)稱域內(nèi)的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象

研究在對(duì)稱參數(shù)c,d影響下參數(shù)-初值域內(nèi)的對(duì)稱多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，數(shù)值仿真得到圖8中的兩組對(duì)稱參數(shù)d,c分別和兩個(gè)非憶阻狀態(tài)變量組合的“金魚(yú)”狀吸引盆平面。參數(shù)選擇見(jiàn)表1，圖8(a)，圖8(b)中初值設(shè)置為 (0,y(0),0,0,0)，類似地，圖8(c)和圖8(d)中為( 0,0,z(0),0,0)。

觀察圖8可以發(fā)現(xiàn)不同參數(shù)區(qū)間內(nèi)的對(duì)稱性由參數(shù)域延續(xù)到初值域，無(wú)論是選擇參數(shù)或是初值，系統(tǒng)呈現(xiàn)出的獨(dú)特對(duì)稱性均取決于參數(shù)d, c。同時(shí)由于該系統(tǒng)自身在初值域固有的對(duì)稱性，即改變狀態(tài)變量的正負(fù)，系統(tǒng)的狀態(tài)方程始終保持不變，導(dǎo)致圖8中的多吸引子共存狀態(tài)均關(guān)于初值為0的界線上下對(duì)稱分布。圖8中的兩組圖分別在“金魚(yú)”頭部分完全對(duì)稱，而右半部分的圖中“金魚(yú)”翅和尾巴卻活躍在更為廣泛的初值區(qū)間內(nèi)，分別和左半部分的兩張圖呈現(xiàn)出運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的相似性。造成這種現(xiàn)象的原因是憶阻電路具有依賴于初值的極端敏感性，而c是動(dòng)態(tài)元件電容的參數(shù)，d對(duì)應(yīng)的是靜態(tài)元件電阻的參數(shù)。當(dāng)兩參數(shù)分別漸變時(shí)，動(dòng)態(tài)參數(shù)更易刺激系統(tǒng)在更為寬廣的初值域內(nèi)產(chǎn)生復(fù)雜的多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)吸引子共存現(xiàn)象。

為了驗(yàn)證參數(shù)c,d在初值影響下的對(duì)稱多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。在圖8(a)，圖8(b)中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同的區(qū)域，各選取3組相反初值、參數(shù)取值不同的組合，數(shù)值仿真得到了系統(tǒng)在y?z平面中的多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)吸引子共存的相軌跡圖如圖9和圖10所示。

圖8 對(duì)稱參數(shù)與初值的吸引盆

圖9 參數(shù)d 和初值y (0)決定的共存相軌跡圖

圖10 參數(shù)c 和 初值y (0)決定的共存相軌跡圖

4 基于FPGA數(shù)字技術(shù)的電路實(shí)驗(yàn)

考慮利用FPGA技術(shù)平臺(tái)進(jìn)行數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)，對(duì)振蕩器的數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。不同于一般焊接電路在調(diào)節(jié)參數(shù)和設(shè)定初值上難以控制誤差，F(xiàn)PGA平臺(tái)中功能的實(shí)現(xiàn)主要依賴于編程，使得系統(tǒng)參數(shù)的更改和初值的設(shè)置更為方便精準(zhǔn)，適用于實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)及初值極端敏感的憶阻混沌電路。

雙憶阻Shinriki振蕩器的整體程序設(shè)計(jì)分為4個(gè)模塊，分別是module_DMSO, module_4RK,module_XB和module_DA模塊。其中，第1個(gè)模塊為頂層模塊，其它3個(gè)模塊為底層模塊。module_DMSO作為頂層模塊控制并依次調(diào)用其它3個(gè)底層模塊，按順序重復(fù)調(diào)用module_4RK和module_XB模塊，module_DA模塊的作用是將32位浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)數(shù)輸出，最終在示波器上顯示相應(yīng)的波形圖。

FPGA實(shí)驗(yàn)的實(shí)物連接圖和不同平面上的混沌吸引子相軌跡圖如圖11所示。圖11(b)中的混沌相圖分別對(duì)應(yīng)圖2(a)，圖2(b)中的數(shù)值仿真結(jié)果。此外，為了驗(yàn)證對(duì)稱參數(shù)在初值域內(nèi)的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，選擇圖9的相軌跡圖一一進(jìn)行驗(yàn)證得到圖12，參數(shù)選擇和初值設(shè)定參照?qǐng)D9。通過(guò)FPGA數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)，證明了所構(gòu)雙磁控憶阻Shinriki振蕩器的物理可實(shí)現(xiàn)性，而電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值仿真的一致性，既證明了系統(tǒng)存在多運(yùn)動(dòng)狀態(tài)吸引子共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，也從側(cè)面佐證了特殊參數(shù)下動(dòng)力學(xué)行為呈現(xiàn)對(duì)稱性分布的正確性。

圖11 FPGA數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖12 多穩(wěn)態(tài)相軌跡圖驗(yàn)證，CH1=200 mV, CH2=1 V

5 結(jié)論

本文利用無(wú)源磁控憶阻替換經(jīng)典Shinriki振蕩器中的串并聯(lián)二極管支路，再將RLC諧振回路中的電阻用有源磁控憶阻取代，并在電感支路串聯(lián)電阻，構(gòu)造出擁有復(fù)雜電路結(jié)構(gòu)的改進(jìn)型雙磁控憶阻Shinriki振蕩器。通過(guò)觀察特定參數(shù)對(duì)應(yīng)的共存分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜，發(fā)現(xiàn)該振蕩器中存在獨(dú)特的對(duì)稱分岔運(yùn)動(dòng)。之后通過(guò)雙參數(shù)運(yùn)動(dòng)分布圖再次驗(yàn)證了系統(tǒng)對(duì)稱運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的存在性。在對(duì)稱參數(shù)與非憶阻初值組合的吸引盆中分析了對(duì)稱域中的多穩(wěn)態(tài)特性，同時(shí)發(fā)現(xiàn)了對(duì)稱域內(nèi)系統(tǒng)的反單調(diào)性和依賴于初值的不完全對(duì)稱行為。最后，基于FPGA技術(shù)對(duì)雙磁控憶阻Shinriki振蕩器進(jìn)行了數(shù)字化實(shí)驗(yàn)，從示波器中觀察到系統(tǒng)不同狀態(tài)下的共存吸引子，既驗(yàn)證了數(shù)值仿真的正確性，也突出系統(tǒng)對(duì)稱運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分布的存在性。