沈中祥，袁平平，劉 義

(1.江蘇科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2.河海大學(xué) 港口海岸與近海工程學(xué)院，南京 210098；3.江蘇揚(yáng)子江船業(yè)集團(tuán)公司，江蘇 靖江 214532)

在RC結(jié)構(gòu)中，由于鋼筋、混凝土的材料非線性特性，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)一般為非平穩(wěn)信號(hào)，因此其頻率具有時(shí)變特性[1-9]。準(zhǔn)確地識(shí)別出非線性RC結(jié)構(gòu)在振動(dòng)荷載作用下的瞬時(shí)頻率等特征，對(duì)結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測(cè)、狀態(tài)評(píng)估和維修加固等起著至關(guān)重要的作用[10]。近年來(lái)，時(shí)頻分析技術(shù)在信號(hào)處理領(lǐng)域顯示出了巨大的潛力，已成為一個(gè)新的研究熱點(diǎn)。然而，以往的時(shí)頻分析方法都存在一定的不足，例如短時(shí)傅里葉變換[11](short-time Fourier transform，STFT)的窗函數(shù)寬度固定不變，使其時(shí)頻分析能力較弱。在處理多分量復(fù)雜信號(hào)時(shí)，Wigner-Ville分布[12](Wigner-Ville distribution，WVD)會(huì)受到交叉項(xiàng)的影響而產(chǎn)生虛假模態(tài)。連續(xù)小波變換[13](continuous wavelet transform，CWT)在處理非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)也可能會(huì)產(chǎn)生模糊的時(shí)頻脊線，這將不利于瞬時(shí)頻率的提取。

為了使時(shí)頻脊線的能量更集中，瞬時(shí)頻率的識(shí)別效果更精準(zhǔn)，Stockwell等[14]將STFT和CWT相結(jié)合，提出了S變換(S-transform，ST)。ST克服了STFT窗口時(shí)寬不變的缺陷，能根據(jù)頻率的變化調(diào)整分析時(shí)寬和提供直觀的時(shí)間頻率特征。隨后，一系列針對(duì)窗函數(shù)的改進(jìn)算法，即廣義S變換(generalized S-transform,GST)被提出。其中，Zidelmal等[15-16]對(duì)GST的窗函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，并通過(guò)能量集中度(concentration measure, CM)[17]給出了GST中窗函數(shù)的參數(shù)優(yōu)化算法。為了提高聚集性，Daubechies等[18]提出了同步擠壓變換(synchrosqueezed transform，SST)，該方法以小波變換為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)時(shí)頻周?chē)哪芰窟M(jìn)行擠壓，有效提高了時(shí)頻能量的集中度。趙朋[19]提出了基于改進(jìn)S變換時(shí)頻譜重排的時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)識(shí)別方法。Yu等[20]以SST為基礎(chǔ)，進(jìn)一步提出了多重壓縮變換(multi-synchrosqueezing transform, MSST)，該方法通過(guò)多次壓縮變換，有效地提高了時(shí)頻能量的聚集性。同時(shí)，Yu等[21]還借鑒SST算法，提出了同步提取變換(synchroextracting transform，SET)。隨后相關(guān)學(xué)者對(duì)其不斷進(jìn)行改進(jìn)，使SET的時(shí)頻分辨率顯著提高[22-23]。Chen等[24]提出了基于GST的高精度時(shí)頻分析同步擠壓算法，即同步擠壓廣義S變換(synchrosqueezing generalized S-transform，SSGST)。康佳星[25]將SET和GST聯(lián)合起來(lái)，提出了同步提取廣義S變換(synchroextracting generalized S-transform，SEGST)，并將其成功應(yīng)用到地震信號(hào)分析中。

本文采用了一種改進(jìn)的廣義S變換(improved generalized S-transformation, IGST)，并結(jié)合能量CM原理推導(dǎo)了窗函數(shù)參數(shù)的優(yōu)化算法，最后聯(lián)合SET引入了ISEGST。為了探究ISEGST對(duì)非線性RC結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率的識(shí)別能力，在數(shù)值模擬方面，本文基于OpenSees結(jié)構(gòu)分析軟件，建立了一個(gè)三層RC框架結(jié)構(gòu)，并計(jì)算其在地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)，通過(guò)ISEGST對(duì)其加速度響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析獲取瞬時(shí)頻率，從而驗(yàn)證所提方法的可行性。試驗(yàn)方面，應(yīng)用ISEGST對(duì)某七層剪力墻振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)頻分析和瞬時(shí)頻率提取，進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的實(shí)用性。

1 理論知識(shí)

1.1 改進(jìn)廣義S變換

ST是地球物理學(xué)家Stockwell于1996年在STFT和CWT基礎(chǔ)上提出的一種時(shí)頻分析方法，其特點(diǎn)是引入了寬度和頻率成反比的高斯窗，其表達(dá)式為

(1)

ST具有完全可逆性，其逆變換為

(2)

對(duì)ST的窗函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，得到GST為

(3)

(4)

將改進(jìn)后的窗函數(shù)代入到ST中，得到IGST為

特別地，當(dāng)p=0時(shí)，IGST退化為GST；當(dāng)m=1，p=0，r=1時(shí)，IGST則退化為傳統(tǒng)的ST。

通過(guò)轉(zhuǎn)換，得到IGST在頻域的表達(dá)式為

(6)

1.2 參數(shù)優(yōu)化算法

GST中的關(guān)鍵問(wèn)題是如何選擇窗函數(shù)的參數(shù)，IGST同樣面臨著這個(gè)問(wèn)題。本文采用能量CM的方法進(jìn)行計(jì)算

(7)

將IGST數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理

(8)

優(yōu)化問(wèn)題可以表示為

(9)

優(yōu)化問(wèn)題的約束條件與所分析窗口的寬度范圍有關(guān)，窗口不應(yīng)太窄而改變時(shí)間分辨率，但也不能太寬而影響頻率分辨率，即

(10)

式中：Ts為采樣周期；f∈[fmin,fmax]；fmin=1 Hz；為滿足奈奎斯特采樣定理，這里fmax的值取采樣頻率的一半。式(10)可簡(jiǎn)化為

(11)

本文中，參考Zidelmal等和Moukadem等的研究，令m∈(0，3]，p∈[0,3]，r∈[0,1]，K=10,L=1 000。所以，最終設(shè)置的優(yōu)化問(wèn)題為

(12)

式(12)可以看作是多元函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，即在一系列約束條件下，尋找一組參數(shù)值，使某個(gè)或某一組函數(shù)的目標(biāo)值達(dá)到最優(yōu)。通過(guò)優(yōu)化算法對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行求解即可得到IGST窗函數(shù)的參數(shù)值。

1.3 同步提取算法

借鑒SET原理，可以得到ISEGST為

SEIGST(τ,f)=IGST(τ,f)·δ(f-ωi(t,f))

(13)

式中：δ為同步提取算子，即

(14)

通過(guò)IGST(τ,f)來(lái)計(jì)算每一個(gè)時(shí)頻系數(shù)對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)頻率ωi(t,f)

由式(15)可得

(16)

其中，

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，考慮到計(jì)算誤差，可以采用式(18)近似計(jì)算同步提取算子δ，即

因此，ISEGST具體為

ISEGST(τ,f)=

(19)

式中，Δf為頻率間隔，一般可取為1。

2 數(shù)值模擬

2.1 模型計(jì)算

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)三層非線性鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，其尺寸如圖1所示?；炷涟搴穸葹?20 mm，柱構(gòu)件截面尺寸為500 mm×500 mm，梁構(gòu)件截面尺寸為500 mm×250 mm，如圖2所示?；炷令?lèi)型為C30，鋼筋型號(hào)為HRB400，其材料本構(gòu)具體如圖3所示。樓面恒載為3.5 kN/m2，活載為2 kN/m2，采用1940年EL-Centro地震波對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行X軸方向的激勵(lì)，地震波最大峰值加速度為2.2 m/s2。采用OpenSees軟件對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，從而得到結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。在OpenSees模擬中，混凝土本構(gòu)關(guān)系采用Concrete02，鋼筋本構(gòu)采用Steel01，鋼筋和混凝土的本構(gòu)關(guān)系見(jiàn)圖3。箍筋能夠約束混凝土，提高混凝土的抗壓強(qiáng)度?？紤]到箍筋對(duì)混凝土強(qiáng)度的影響，本文將梁和柱的核心混凝土的強(qiáng)度提高了40%。

圖1 框架結(jié)構(gòu)的平面及立面布置圖(mm)

圖2 梁、柱截面配筋(mm)

圖3 材料本構(gòu)圖

2.2 瞬時(shí)頻率提取

通過(guò)OpenSees軟件計(jì)算分析，得到框架結(jié)構(gòu)頂層中間節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)曲線，如圖4所示，選取該加速度響應(yīng)信號(hào)為研究對(duì)象，通過(guò)STFT、SST、SET、IGST、ISEGST等五種方法對(duì)其進(jìn)行時(shí)頻分析研究。在IGST中，窗函數(shù)的參數(shù)m=1.346 9，p=3，r=0.917。

圖4 框架結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)

時(shí)頻分析的結(jié)果如圖5所示。對(duì)比圖5(a)和圖5(d)可以看出IGST的能量聚集性更高，這更利于ISEGST的頻率提取。從圖5(b)、圖5(c)和圖5(e)中可以看出SST的時(shí)頻分析結(jié)果較差，SET和ISEGST的時(shí)頻分析結(jié)果較好，而且ISEGST的結(jié)果更加平滑，時(shí)頻能量的聚集性更高。

圖5 框架結(jié)構(gòu)的時(shí)頻分析結(jié)果

框架結(jié)構(gòu)的頻率識(shí)別結(jié)果如圖6所示。可以看出，三種方法都能有效識(shí)別出結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率。SET的識(shí)別結(jié)果波動(dòng)較大，SST的識(shí)別結(jié)果與ISEGST的識(shí)別結(jié)果幾乎相等，但是，ISEGST的頻率識(shí)別曲線更加平滑，波動(dòng)較小，結(jié)果更加準(zhǔn)確。

圖6 框架結(jié)構(gòu)頻率識(shí)別結(jié)果

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步研究ISEGST對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率識(shí)別效果，本文引用加州大學(xué)圣地亞哥分校(USCD-NEES)Panagiotou等[26]設(shè)計(jì)完成的七層RC剪力墻振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了時(shí)頻分析，其中地震波加速度響應(yīng)如圖7所示，實(shí)測(cè)的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)如圖8所示。

圖7 施加于剪力墻的地震波

圖8 剪力墻結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)

對(duì)所得加速度響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析，結(jié)果如圖9所示。其中，IGST的窗函數(shù)參數(shù)m=3，p=2.137 9，r=0.575 9。通過(guò)圖9(b)、圖9(c)、圖9(e)可以看出IGST的時(shí)頻分析結(jié)果更加平滑，效果更為理想。

圖9 剪力墻的時(shí)頻分析結(jié)果

通過(guò)極值法對(duì)SST、SET、ISEGST時(shí)頻分析結(jié)果的頻率進(jìn)行進(jìn)一步提取，提取結(jié)果如圖10所示?？梢钥闯鯯ST的時(shí)頻分析結(jié)果較差，SEI和ISEGST的時(shí)頻分析結(jié)果更為理想。但是，相對(duì)于SET, ISEGST的結(jié)果波動(dòng)較小，平滑性更高。

圖10 剪力墻結(jié)構(gòu)的頻率識(shí)別結(jié)果

4 結(jié) 論

本文將ISEGST應(yīng)用到非線性RC結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率識(shí)別中。對(duì)三層RC框架結(jié)構(gòu)和七層剪力墻結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)進(jìn)行時(shí)頻分析，從而提取結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率。數(shù)值模擬和試驗(yàn)結(jié)果表明ISEGST具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1)結(jié)合CM原理和優(yōu)化算法，可以計(jì)算得到IGST中窗函數(shù)的調(diào)節(jié)因子參數(shù)，有效地提高了IGST的計(jì)算效率和精度。

(2)延續(xù)了IGSE和SET的優(yōu)點(diǎn)，ISEGST識(shí)別出的瞬時(shí)頻率曲線更加平滑、準(zhǔn)確，是一種準(zhǔn)確性較高的非線性RC結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率識(shí)別方法。