一、類比鋪墊

師：看到今天學(xué)習(xí)的課題，你有什么想法？

生1：什么是一元二次方程？

生2：一元二次方程與前面學(xué)過的一元一次方程有什么聯(lián)系與區(qū)別？

生3：一元二次方程怎么解？

生4：一元二次方程在生活中有哪些應(yīng)用？

……

師：那么今天這節(jié)課，我們主要研究一元二次方程的什么呢？

生：一元二次方程的定義！

啟示：通過一元一次方程的知識結(jié)構(gòu)，學(xué)生類比產(chǎn)生一元二次方程的知識結(jié)構(gòu)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維和有序性思考能力。學(xué)生有了探究和接受新知的思維新基點，激發(fā)了進(jìn)一步探究的熱情。

師：什么是一元一次方程？

生5：在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)都是1，這樣的整式方程叫作一元一次方程。

師：請?zhí)釤捯辉淮畏匠潭x中的核心要素。

生6：①一元；②一次；③整式。

師：一元一次方程的一般形式是什么？

生7：ax+b=0（a、b為常數(shù)，且a≠0）。

師：這里a、b為常數(shù)不難理解，那為什么要有a≠0呢？

生7：當(dāng)a=0時，這個方程就不是一元一次方程了！

啟示：這里看似平淡無奇的教學(xué)，卻有著很深的用意，特別是“提煉一元一次方程定義中的核心要素”：①一元、②一次、③整式，為學(xué)生給一元二次方程下定義打下鋪墊。

二、自覺體悟

例1 根據(jù)題意列方程：如圖（本文圖略），長方形花圃一面靠墻，另外三面所圍成柵欄的總長度是19m，如果花圃的面積為24m2，花圃的寬為xm，則可得方程：_______________。

生：可以用“柵欄的總長度是19m”這個等量關(guān)系推得與墻平行的一邊的長為（19-2x）m。可用另一個等量關(guān)系列出方程為：x（19-2x）=24。

師：請同學(xué)們獨立完成以下問題，根據(jù)題意列方程。

（1）兩個連續(xù)整數(shù)的平方和等于145，求其中較小的數(shù)。（設(shè)較小的數(shù)為n）

（2）小亮、小明、小剛?cè)齻€人中，小亮的年齡比小明的年齡小7歲，小剛的年齡比小明的年齡大5歲，并且小亮與小剛的年齡的乘積是160，你知道這三個人的年齡各是多少歲嗎？（設(shè)小明的年齡為y歲）

（3）如圖（本文圖略），在長40m、寬22m的長方形地面內(nèi)，四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積達(dá)到760m2，道路的寬應(yīng)為多少呢？（設(shè)道路的寬為xm）

啟示：設(shè)計此環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生在潛意識中明白一元二次方程在生活中有很多應(yīng)用，是解決相關(guān)問題的重要模型與工具，學(xué)好一元二次方程有很大的必要性。此處沒有完全采用教材的體例，主要是為了引導(dǎo)學(xué)生歸納。這里運用的是從一般到特殊的教學(xué)方法。同時，每道問題給出了統(tǒng)一的“設(shè)元”，是為了讓學(xué)生得到關(guān)于同一個未知數(shù)的方程，便于互動交流的“統(tǒng)一性”。

師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們得到四個方程，分別是：x（19-2x）=24、n2+（n+1）2=145、（y-7）·（y+5）=160、（40-2x）·（22-2x）=760。現(xiàn)在老師將方程x·（19-2x）=24進(jìn)行變形。同學(xué)們，請猜想我們將這個方程進(jìn)行變形的思路是什么呢？

生8：等號左邊利用單項式乘多項式的法則展開，變?yōu)?9x-2x2=24。

師：不僅如此，我們還要將等號右邊的數(shù)和式全部移到等號的左邊，即等號右邊化為0。這樣，我們得到了什么樣的方程呢？

生9：19x-2x2-24=0。

師：你們看到等號左邊的代數(shù)式還有什么想法嗎？

生10：可以按未知數(shù)的次數(shù)進(jìn)行降冪或升冪排列。

師：對！我們通常按降冪排列，其結(jié)果將方程變形成什么樣的方程呢？

生11：-2x2+19x-24=0。

師：通常我們還會將最高項的系數(shù)都化為正數(shù)。在這個方程中，我們該如何將最高項系數(shù)化為正數(shù)呢？

生12：兩邊同時乘-1，得2x2-19x+24=0。

師：請同學(xué)們歸納剛才將方程變形的步驟，它們分別有哪些？

生13：（1）將能展開的各項全部展開；（2）將等號右邊的各項全部移到等號左邊；（3）合并同類項；（4）按未知數(shù)的次數(shù)降冪排列；（5）最高項系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)。

師：現(xiàn)在請同學(xué)們依照剛才的變形過程，將另外三個方程進(jìn)行變形和整理。

生13：n2+n-72=0、y2-2y-195=0、x2-31x+30=0。

啟示：指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷化歸成一元二次方程的過程，是為了揭示一元二次方程的本質(zhì)，歸納一元二次方程的一般形式，為今后求一元二次方程的根（如用求根公式求根）服務(wù)，豐富學(xué)習(xí)與活動經(jīng)驗。

三、自主建構(gòu)

師：通過變形，我們得到四個方程——2x2-19x+24=0、n2+n-72=0、y2-2y-195=0和x2-31x+30=0，這些方程有哪些共同特征？你們能用核心詞語進(jìn)行歸納嗎？

生14：①一元；②二次；③整式。

師：你們能給它們?nèi)∫粋€名字嗎？

生14：一元二次方程。

師：你能給一元二次方程下個定義嗎？給它下定義時，你有什么想法？

生15：類比一元一次方程的定義。

生16：只含有1個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫作一元二次方程。

啟示：學(xué)生通過結(jié)構(gòu)化提煉發(fā)現(xiàn)這類方程的核心要素（①一元、②二次、③整式），從而更深刻地發(fā)現(xiàn)一元一次方程與此類方程的異同，給一元二次方程命名和下定義都能做到水到渠成，讓新知能在學(xué)生原有的知能結(jié)構(gòu)中“自然分娩”。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)教育不只是教解題技巧，更是教學(xué)會思考，重在提升學(xué)生的思維品質(zhì)。教學(xué)中需要我們能夠創(chuàng)造性地使用教材，解決好“突出重點”“突破難點”和“處理生成點”這些常規(guī)問題，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得有趣味、有活力、有情境、有挑戰(zhàn)，把核心學(xué)習(xí)過程還給學(xué)生，讓學(xué)生在類比性生成中學(xué)會自覺建構(gòu)。