□鮑善軍 朱曙光

數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏曾說(shuō)過(guò)：“學(xué)生們所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用……然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想，卻長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用。”教學(xué)中，這些相關(guān)的數(shù)學(xué)精神和思想方法是否真正得到落實(shí)，本質(zhì)上是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度理解及數(shù)學(xué)思維水平進(jìn)階的具體反映。

依據(jù)SOLO分類理論，根據(jù)可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果，可以將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維層次劃分如下（如圖1）。

圖1

實(shí)踐表明，“一題一課”的教學(xué)有助于促進(jìn)學(xué)生的思維由低向高逐步進(jìn)階。所謂“一題一課”，是指通過(guò)對(duì)一個(gè)主題或一組習(xí)題的深入研究，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生展開(kāi)相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。借助這“一題”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)之間關(guān)聯(lián)性的理解，實(shí)現(xiàn)學(xué)一題、透一點(diǎn)、通一類、達(dá)一片的教學(xué)目標(biāo)?！耙活}一課”系統(tǒng)性地通過(guò)多維構(gòu)建、思維轉(zhuǎn)換，促使學(xué)生的思維由“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)”走向“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”水平；通過(guò)一題多解、化隱為顯，促使學(xué)生的思維從“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”邁向“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”水平；通過(guò)橫向拓寬、縱向深入，促使學(xué)生的思維由“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”躍至“抽象擴(kuò)展”水平。教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生一次次感悟提升，逐步發(fā)展高階思維水平，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的自然生長(zhǎng)。

一、路徑整合：思維水平由“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)”走向“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”

在問(wèn)題解決過(guò)程中，停留在前結(jié)構(gòu)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)思維水平的學(xué)生想要“跳一跳”達(dá)到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)思維水平，需要找到多個(gè)解決問(wèn)題的思路。引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問(wèn)題，借助直觀認(rèn)識(shí)事物之間的共同屬性和聯(lián)系，可以讓學(xué)生的理解由單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平提升至多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平。

（一）多維構(gòu)建，探尋路徑

教學(xué)中，教師應(yīng)調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，放手讓學(xué)生自主進(jìn)行互動(dòng)式的探究，探尋多種解決問(wèn)題的途徑，并適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將這些解題思路進(jìn)行整合，促其達(dá)成自主構(gòu)建的方式，有助于學(xué)生的思維由“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)”水平提升為“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”水平。

【案例1】奇妙的三角形：如圖2，兩條虛線互相平行。你能找出面積相等的三角形嗎？你還能畫出和它們面積相等的三角形嗎？

圖2

（1）任務(wù)一：以BC為底，畫出與△ABC面積相等的三角形，建構(gòu)多樣三角形。

建構(gòu)：畫出與△ABC面積相等的三角形。

討論：畫出的三角形是否面積都相等？怎么畫面積相等的三角形比較方便？

小結(jié)：同底等高的三角形面積相等，且有無(wú)數(shù)個(gè)。

（2）任務(wù)二：畫出與這兩個(gè)三角形面積之和相等的一個(gè)大三角形，深化方法應(yīng)用。

交流：你是怎么想的？

展示：全班交流想法（如圖3）。

圖3

比較：這三種方法有什么異同？

小結(jié)：底邊固定，左右移動(dòng)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)重合。

（3）任務(wù)三：求陰影部分的面積，強(qiáng)化等積變形。

遷移：將三角形的頂點(diǎn)重合在一起，轉(zhuǎn)化成與它們面積之和相等的一個(gè)大三角形（如圖4）。

圖4

拓展：如圖5，將三角形②的右上頂點(diǎn)往下拉，三角形①和②轉(zhuǎn)化成高為3cm，底為12cm的三角形。

圖5

關(guān)聯(lián)：我們是怎么解決問(wèn)題的？這兩題的解決方法有什么共同之處？

本案例通過(guò)一組習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生深入理解等積變形，由此找到解決問(wèn)題的多種思路，繼而完成對(duì)思路的整合，在多維建構(gòu)和關(guān)聯(lián)溝通中，學(xué)生的思維從“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)”水平提升為“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”水平。

（二）思維轉(zhuǎn)換，優(yōu)化路徑

當(dāng)學(xué)生的思維遇到障礙停滯不前時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從另一個(gè)角度剖析問(wèn)題，突破思維定式，探索問(wèn)題本質(zhì)，優(yōu)化解決問(wèn)題的路徑，同樣也可以促進(jìn)學(xué)生的思維從“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)”水平提升為“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”水平。

【案例2】怎么算積最大：用2、3、4、5這四個(gè)數(shù)字組成□□×□□，要使乘積最大，你認(rèn)為是哪兩個(gè)數(shù)字組合？

（1）轉(zhuǎn)變思維，從“精算”到“簡(jiǎn)算”。

交流：共有多少種算式的組合方式？哪些算式容易判斷積的大小，哪些不容易判斷？

比較：53×42和52×43的大小。

反饋：將它們都算出來(lái)。

追問(wèn)：還有更簡(jiǎn)單的比較方法嗎？

明理：如圖6，53×42＝52×42+42，52×43＝52×42+52，42＜52，所以53×42＜52×43。

圖6

（2）路徑優(yōu)化，由“形”通“數(shù)”。

提示：①想一想：聯(lián)想所學(xué)知識(shí)；②畫一畫：與圖形相結(jié)合；③算一算：看圖形列算式。

優(yōu)化：利用圖形明晰計(jì)算結(jié)構(gòu)，再根據(jù)圖形列出算式。

此題融入了排列組合、分類、算理理解等多項(xiàng)內(nèi)容。比較53×42和52×43積的大小時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合和拆分計(jì)算兩條不同路徑理解兩個(gè)算式的差異，再進(jìn)行比較。這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能夠主動(dòng)轉(zhuǎn)換角度來(lái)思考和解決問(wèn)題，他們通過(guò)調(diào)動(dòng)多種知識(shí)聯(lián)動(dòng)解決問(wèn)題，達(dá)到對(duì)算式意義的深度理解，思維在轉(zhuǎn)換中實(shí)現(xiàn)了進(jìn)階。

二、關(guān)聯(lián)溝通：思維水平由“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”邁向“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”

處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)思維水平的學(xué)生，能找到解決問(wèn)題的多種途徑，卻找不到方法之間的關(guān)聯(lián)。要使思維從多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平逐步邁向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，可以進(jìn)行如下嘗試：一是從多種方法中抽象出解題模型；二是對(duì)解題方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)性的一一對(duì)應(yīng)和深度關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)方法的融通和歸一，提高解決問(wèn)題的能力。

（一）一題多解，模型構(gòu)建

對(duì)于綜合性的問(wèn)題，可放手讓學(xué)生自主探究，探尋多種解決問(wèn)題的策略。教師只需引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些方法進(jìn)行關(guān)聯(lián)和概括即可，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這些方法的共同特征，構(gòu)建解題的模型。

【案例3】長(zhǎng)方體和正方體體積計(jì)算練習(xí)：計(jì)算立體圖形的體積（如圖7）。

圖7

（1）計(jì)算圖形體積。

呈現(xiàn)：一個(gè)“L”形平面圖形（圖7的底面）。

想象：將這個(gè)“L”形多邊形向上平移6厘米掃過(guò)的區(qū)域是一個(gè)什么圖形？

計(jì)算：這個(gè)立體圖形的體積是多少？你能用不同的方法解決嗎？

交流：相互交流，理解并判斷同伴的方法。

（2）關(guān)聯(lián)計(jì)算方法。

展示：方法匯總，厘清思路（如圖8）。

圖8

溝通：這些方法有什么相同之處？（6表示圖形的高，前面的算式都表示圖形的底面積）

完善：立體圖形體積的計(jì)算其實(shí)就是“底面積×高”。

（3）建立柱體模型。

設(shè)疑：可以把這個(gè)立體圖形的前面（長(zhǎng)方形）當(dāng)成底面,用“底面積×高”求它的體積嗎？為什么？

釋疑：底面應(yīng)該相對(duì)且大小形狀相等，把這個(gè)長(zhǎng)方形當(dāng)?shù)酌?，向后平移后底面不一樣了?/p>

以上案例，教師在一道題目的不斷變化中，引導(dǎo)學(xué)生逐步將解題規(guī)律模型化，主動(dòng)架構(gòu)柱體體積算理和算法之間的橋梁，加深學(xué)生對(duì)柱體概念本質(zhì)的理解，強(qiáng)化對(duì)于柱體體積計(jì)算方法的記憶。學(xué)生在多種算法的整合中，思維水平也從“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”進(jìn)階為“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”。

（二）化隱為顯，多元?dú)w一

有些問(wèn)題雖然有多種解決的方法，但方法呈現(xiàn)的形式卻大相徑庭，如果細(xì)究就會(huì)發(fā)現(xiàn)其表示的含義毫無(wú)二致。此時(shí)，教師需引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)性的關(guān)聯(lián)和比對(duì)，促進(jìn)其對(duì)解題方法和問(wèn)題意義的通透理解，達(dá)到融會(huì)貫通的效果。

【案例4】雞兔同籠：籠子里有若干只雞和兔，一共8個(gè)頭，22條腿。雞和兔各有幾只？

（1）問(wèn)題梳理，發(fā)現(xiàn)隱含信息。

提問(wèn)：我們已經(jīng)知道了哪些數(shù)學(xué)信息？求怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？

梳理：雞兔一共有8只，腿一共有22條。雞有2條腿，兔有4條腿（隱含）。求的是雞和兔各有幾只。

（2）方法呈現(xiàn)，顯化隱含算式。

要求：①想一想：獨(dú)立思考，用合適的方法解決問(wèn)題；②說(shuō)一說(shuō)：小組間交流想法；③記一記：記錄問(wèn)題研究的過(guò)程。

呈現(xiàn)：列表法（從頭開(kāi)始枚舉、從尾開(kāi)始枚舉、從中間開(kāi)始枚舉）、畫圖法（先全部畫成雞、先全部畫成兔）。

抽象：用算式表示畫圖的過(guò)程。

（3）本質(zhì)關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)方法融通。

思考：這些方法之間有什么聯(lián)系嗎？

溝通：圖中每多兩條腿，就是列表中雞少1只，兔多1只。而算式則是畫圖的抽象表示，這三種方法表達(dá)的意思相同，只是表現(xiàn)的形式不同（如圖9）。

圖9

小結(jié)：所有的方法都需要先假設(shè)后調(diào)整。

借助一道雞兔同籠問(wèn)題，教師逐步引導(dǎo)學(xué)生理解畫圖是對(duì)列表的直觀呈現(xiàn)，假設(shè)是對(duì)畫圖的抽象概括，畫圖是從列表走向假設(shè)的橋梁。借助三種方法的探究與溝通，促進(jìn)學(xué)生對(duì)解題方法的深度思考和理解，將這些方法融會(huì)貫通，在實(shí)現(xiàn)思維可視化的同時(shí)，思維水平也得到了進(jìn)階。

三、拓展延伸：思維水平由“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”躍升至“抽象擴(kuò)展”

鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本含義就在于：我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并能使他們逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理?！比粢龑?dǎo)學(xué)生思維從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平躍升至抽象拓展水平，教師需要對(duì)習(xí)題內(nèi)容不斷地進(jìn)行挖掘和拓展，以發(fā)展學(xué)生的思維，開(kāi)拓學(xué)生的視野。

（一）橫向拓寬，本質(zhì)遷移

對(duì)原型問(wèn)題探究完全時(shí)，教師還需引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，促其思維橫向蔓延，將研究的方法和經(jīng)驗(yàn)遷移到對(duì)其他同類型事物的應(yīng)用中，培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通和舉一反三的意識(shí)和能力。

【案例5】怎么圍面積大：用24米長(zhǎng)的線段，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，怎么圍才能使長(zhǎng)方形的面積最大呢？（長(zhǎng)、寬取整米數(shù)）

大部分學(xué)生能猜測(cè)出圍成正方形的面積最大，也能夠通過(guò)有序的枚舉計(jì)算驗(yàn)證，但是學(xué)習(xí)不能到此為止，教師應(yīng)拓展學(xué)生的思維，幫助學(xué)生遷移類推，讓思維水平再提升一層。

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)寬越接近，面積越大”“正方形的面積最大”的規(guī)律之后，教師繼續(xù)追問(wèn)：“還能圍成比正方形面積更大的圖形嗎？”激發(fā)學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行猜測(cè)：正五邊形、正六邊形、正八邊形……圓等圖形的面積可能會(huì)更大。教師繼續(xù)引導(dǎo)：“用什么辦法證明呢？”提供工具讓學(xué)生探索驗(yàn)證，并用微課深化認(rèn)知。最終得到結(jié)論：周長(zhǎng)一定，邊數(shù)越多，正多邊形的面積越大，圓的面積最大。

數(shù)學(xué)是一門研究關(guān)系的學(xué)科。教學(xué)中順著長(zhǎng)方形的面積變化引導(dǎo)思維延伸到其他平面圖形中去，將研究的層次提升到另一種高度，拓寬學(xué)生的思維，建構(gòu)平面圖形面積的整體結(jié)構(gòu)。

（二）縱向深入，通透拓展

原型問(wèn)題解決之后，教師還要有意識(shí)地順著問(wèn)題背后的知識(shí)線索，引導(dǎo)學(xué)生不斷地向縱深挖掘，從這個(gè)問(wèn)題延伸到其他的問(wèn)題，并對(duì)這個(gè)問(wèn)題再次進(jìn)行深入探索，將涉及的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)成線。

【案例6】圓柱體積的再認(rèn)識(shí)：用4個(gè)面積都是36dm2的長(zhǎng)方形（如圖10）分別卷成圓柱，哪個(gè)圓柱的體積最小？哪個(gè)最大？你有什么發(fā)現(xiàn)？為什么？

圖10

教師以此問(wèn)題作為知識(shí)基點(diǎn)，進(jìn)行圓柱側(cè)面積和體積的復(fù)習(xí)。學(xué)生經(jīng)歷猜想、計(jì)算、觀察、探索等過(guò)程，發(fā)現(xiàn)在側(cè)面積相等的情況下，圓柱體積的變化規(guī)律并理解其原理（如圖11）。

圖11

這是一個(gè)基于實(shí)踐的規(guī)律探索和經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程，其目標(biāo)指向于知識(shí)脈絡(luò)的通融而非問(wèn)題解決。在此基礎(chǔ)之上，教師可再一次追根深問(wèn)：面積不變，如果卷成的圓柱體積逐漸變大，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬會(huì)怎樣變化？

在想象和思辨的過(guò)程中，慢慢溝通圓柱側(cè)面積和體積之間的聯(lián)系，學(xué)生認(rèn)知從特殊走向一般，知識(shí)結(jié)構(gòu)從零散走向整體，問(wèn)題理解從關(guān)聯(lián)走向通透。毫無(wú)疑問(wèn)，由此必將促使學(xué)生的學(xué)習(xí)不斷走向深處，思維水平逐步走向高階。

基于SOLO分類理論的“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，可以促使學(xué)生在“一課”中深入探究“一題”，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)，架構(gòu)知識(shí)整體結(jié)構(gòu)。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中往往“屢屢碰壁”，而又始終“樂(lè)此不?！?。實(shí)踐表明，推進(jìn)“一題一課·高階導(dǎo)向”主題教研，通過(guò)“一題一課”發(fā)展學(xué)生高階思維水平，是促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)真正提升的有效方式。