程思渺，田 威，李 波，廖文和

（1.南京航空航天大學(xué)，南京 210016；2.南京理工大學(xué)，南京 210094）

隨著“中國制造2025”戰(zhàn)略的提出與推進(jìn)，智能制造已經(jīng)成為我國當(dāng)前航空制造業(yè)發(fā)展的必然趨勢[1-3]。隨著工業(yè)機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，航空航天等領(lǐng)域逐漸出現(xiàn)機(jī)器人取代人工作業(yè)的趨勢[4]，然而工業(yè)機(jī)器人絕對定位精度低已經(jīng)成為制約其在高精度領(lǐng)域應(yīng)用的首要因素。因此提升工業(yè)機(jī)器人的絕對定位精度對推動航空制造技術(shù)及發(fā)展有著重要意義和實(shí)用價值。

機(jī)器人精度補(bǔ)償分為閉環(huán)補(bǔ)償和離線補(bǔ)償兩種，閉環(huán)補(bǔ)償在眾多應(yīng)用中都能獲得出色的精度提升效果，但增加閉環(huán)補(bǔ)償技術(shù)可能會造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定[5-7]。此外，在實(shí)際應(yīng)用中，閉環(huán)反饋補(bǔ)償技術(shù)需要通過激光跟蹤儀等設(shè)備實(shí)時采集機(jī)器人誤差，這就要求機(jī)器人的工作環(huán)境不會阻礙誤差數(shù)據(jù)的采集。因此，該補(bǔ)償技術(shù)的應(yīng)用場景相對有限[5-7]。離線補(bǔ)償技術(shù)無法達(dá)到在線閉環(huán)反饋補(bǔ)償?shù)母呔人健Ｈ欢?，它相對來說更穩(wěn)定，更可靠，更容易實(shí)現(xiàn)。其所能達(dá)到的精度水平也能滿足機(jī)器人的大部分應(yīng)用要求[7-8]。

傳統(tǒng)的離線精度補(bǔ)償方法主要是運(yùn)動學(xué)標(biāo)定[9-11]，通過標(biāo)定相關(guān)參數(shù)，得到修正后的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型替代理論模型。然而運(yùn)動學(xué)標(biāo)定僅考慮幾何參數(shù)引起的誤差，因而精度補(bǔ)償效果有限。為解決上述問題，許多研究人員建立了包含非幾何誤差源的模型。

基于誤差相似度的建模方法是近年來機(jī)器人精度補(bǔ)償?shù)难芯繜狳c(diǎn)。周煒等[12]發(fā)現(xiàn)距離較近的兩點(diǎn)具有空間相似性，劃分空間網(wǎng)格后通過網(wǎng)格頂點(diǎn)誤差對內(nèi)部點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了內(nèi)部點(diǎn)位誤差插值。石章虎等[13]利用空間相似性補(bǔ)償移動制孔機(jī)器人的絕對定位誤差。Zeng等[14-15]沿用這一思想將笛卡爾空間的相似度轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間，同時構(gòu)建了誤差相似度模型。何曉煦等[16]通過試驗(yàn)驗(yàn)證了機(jī)器人殘差的誤差相關(guān)性，并對殘差構(gòu)建誤差相似度模型。Tian 等[17]通過在機(jī)器人關(guān)節(jié)安裝光柵尺消除關(guān)節(jié)誤差，同時對剩余誤差用誤差相似度模型進(jìn)行補(bǔ)償。Cai 等[18]在誤差相似度模型的基礎(chǔ)上設(shè)計了偏移變量對算法進(jìn)行改進(jìn)，使用普通克里格法取得了較好的補(bǔ)償效果。Chen 等[19]將誤差相似度與徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，進(jìn)一步提高了機(jī)器人精度。上述方法均取得了較好的補(bǔ)償效果，證明相似度模型能夠在機(jī)器人精度補(bǔ)償上有著較好的應(yīng)用。然而上述方法忽略了相關(guān)性模型的選取對機(jī)器人定位精度的影響，本文對此展開研究。

本研究提出了一種優(yōu)化相關(guān)性模型的機(jī)器人精度補(bǔ)償方法，并通過KUKA KR500-3 機(jī)器人對該方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 工業(yè)機(jī)器人誤差相似度模型

假設(shè)n自由度旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)機(jī)器人的m個樣本，其中，位置誤差集合ε=[e1，…，em]T，其中。對于一組確定的關(guān)節(jié)輸入，第l個方向的位置誤差el（θ）可以由回歸模型F和隨機(jī)過程z組成：

其中，F(xiàn)（β:,l，θ）是關(guān)于θ的函數(shù)：

其中，β:,l是待擬合的參數(shù)，隨機(jī)過程zl（θ）均值為零，方差為：

其中，E為數(shù)學(xué)期望；是第l個方向的過程方差；R（ξ，w，x）是關(guān)于參數(shù)ξ的相關(guān)性模型，該模型將在第2 節(jié)介紹。

通過已知樣本集合建立誤差預(yù)測模型：

其中，F(xiàn)為f擴(kuò)充得到的矩陣。

則預(yù)測誤差和實(shí)際誤差的差值可表示為：

其中，Z=[z1，…，zm]T，為了保證預(yù)測誤差無偏性，有：

在此條件下，均方差為：

為獲取目標(biāo)點(diǎn)位的最優(yōu)估計，應(yīng)保證預(yù)測方差最小，式（9）作為已知條件，使得式（10）數(shù)值最小，由此建立拉格朗日方程：

其中，λ是拉格朗日乘數(shù)，方程對c的偏導(dǎo)數(shù)為：

式（12）為0 時，式（11）取值最小，將方程的解代入式（4）可得：

其中，β*=（FTR-1F）-1FTR-1ε為Fβ≈ε的最大似然估計值，其對應(yīng)預(yù)測誤差的方差的最大似然估計為：

R、β*和σ2取決于參數(shù)ξ，設(shè)ξ*是ξ的最大似然估計值，ξ*的選取應(yīng)使下式最大化：

|R|是矩陣R的行列式，根據(jù)式（3）中ξ優(yōu)化獲得ξ*[20]，代入到式（13）中，并由式（13）對機(jī)器人誤差進(jìn)行預(yù)測。

2 相關(guān)性模型選取

2.1 機(jī)器人定位誤差的相關(guān)性分析

機(jī)器人定位誤差的相關(guān)性可以用半方差函數(shù)定量分析，位置誤差的半方差函數(shù)是工作空間內(nèi)兩個關(guān)節(jié)位置誤差增量方差的一半，半方差函數(shù)通常是由一組樣本的位置誤差的經(jīng)驗(yàn)半方差函數(shù)得到：

通過精度補(bǔ)償試驗(yàn)測得的機(jī)器人定位誤差數(shù)據(jù)得到圖1所示的半方差函數(shù)圖，可以看出，定位誤差在x、y和z3 個方向存在各向異性，且變化趨勢接近線性，為衡量定位誤差與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角間的相關(guān)性程度，引入Person相關(guān)系數(shù)計算公式如下：

圖1 機(jī)器人定位誤差的半方差函數(shù)Fig.1 Semi-variance function of robot positioning error

計算可以得到3 個方向的Person 相關(guān)系數(shù)分別為0.9838，0.9918 和0.9543?？梢? 個方向上定位誤差與機(jī)器人關(guān)節(jié)所處位置有極強(qiáng)的線性關(guān)系。

2.2 各類相關(guān)性模型

在第1 節(jié)中構(gòu)建了機(jī)器人的誤差相似度模型，然而，對于式（3）中的誤差相似度模型文獻(xiàn)[10-15]均選取gauss 模型：

相關(guān)性模型的選取對工業(yè)機(jī)器人的誤差相似度模型的擬合精度有著很重要的作用，為證明這一點(diǎn)，本節(jié)就不同的相關(guān)性模型對補(bǔ)償后的機(jī)器人定位精度的影響展開研究，除gauss 模型外，常見的相關(guān)性模型如下。

exp 模型：

expg 模型：

lin 模型：

spherical 模型：

cubic 模型：

spline 模型：

式中

2.3 仿真試驗(yàn)

為證明選取不同相關(guān)性模型，機(jī)器人補(bǔ)償效果不同，本節(jié)建立仿真環(huán)境。通過精度補(bǔ)償試驗(yàn)中采集到的500 個點(diǎn)的實(shí)際位置和關(guān)節(jié)角度進(jìn)行機(jī)器人校準(zhǔn)[21]，得到的D-H參數(shù)表如表1所示。

表1 修正后的D- H 參數(shù)表Table 1 Revised D- H parameters

以修正后的D-H參數(shù)為仿真環(huán)境下的真實(shí)參數(shù)，以理論的D-H參數(shù)為仿真環(huán)境下的理論參數(shù)。對于仿真環(huán)境中的點(diǎn)位，其誤差為實(shí)際到達(dá)位置與理論到達(dá)位置的差值。以精度補(bǔ)償試驗(yàn)采樣的500 個點(diǎn)作為仿真環(huán)境下的采樣點(diǎn)，并得到這些點(diǎn)的實(shí)際誤差，同時在測量空間內(nèi)隨機(jī)生成5000 個點(diǎn)作為驗(yàn)證點(diǎn)，通過選取不同的相關(guān)性模型構(gòu)建不同的誤差相似度模型，分別對這5000 個點(diǎn)為進(jìn)行精度補(bǔ)償，補(bǔ)償后機(jī)器人誤差分布如圖2所示。

圖2 為補(bǔ)償后5000 個點(diǎn)中>0.05mm 的點(diǎn)位誤差分布圖，可以看出在仿真環(huán)境下，各類相關(guān)性模型均能使工業(yè)機(jī)器人精度有較大的提升，且spline 模型補(bǔ)償效果最高，體現(xiàn)在該模型補(bǔ)償后的5000 個點(diǎn)誤差均在0.05mm 內(nèi)；同時cubic 模型補(bǔ)償效果最差，體現(xiàn)在誤差>0.05mm 的分布點(diǎn)位最多，各類相關(guān)性模型補(bǔ)償后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表2所示。

圖2 不同模型補(bǔ)償后>0.05mm 的綜合誤差Fig.2 comprehensive error >0.05mm after compensation of different models

從表2 中可以看出，在仿真環(huán)境中，spline 模型表現(xiàn)最優(yōu)，體現(xiàn)在補(bǔ)償后最大值為0.0411mm，遠(yuǎn)小于其他各類相關(guān)性模型。而cubic 模型效果最差，體現(xiàn)在補(bǔ)償后標(biāo)準(zhǔn)差為0.0203mm，遠(yuǎn)大于其他模型的標(biāo)準(zhǔn)差，因而誤差分布較為分散，同時其補(bǔ)償后最大值0.2865mm 為幾組模型中誤差最大值。

表2 仿真環(huán)境下補(bǔ)償后誤差樣本統(tǒng)計Table 2 Error sample statistics after compensation in simulation environment mm

從仿真試驗(yàn)中可以得出，不同相關(guān)性模型在補(bǔ)償僅由運(yùn)動學(xué)幾何參數(shù)引起的誤差時差異性較大。多項研究表明，由幾何誤差引起的位置誤差約占整個機(jī)器人位置誤差的80% ～ 90%[22-24]。僅靠仿真環(huán)境中建立的幾何誤差模型并不能完全證明在實(shí)際情況中能選取spline 模型作為最優(yōu)模型，因此在下文對7 種模型進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證與分析

3.1 試驗(yàn)平臺建立

搭建圖3所示的試驗(yàn)平臺對機(jī)器人定位誤差補(bǔ)償方法進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。試驗(yàn)驗(yàn)證載體為KUKA KR500- 3 型號機(jī)器人，其法蘭盤上裝有制孔裝置，測量設(shè)備為API Radian 激光跟蹤儀，激光跟蹤儀靶球安置在刀柄的靶標(biāo)座上。機(jī)器人的重復(fù)定位精度為± 0.06mm，激光跟蹤儀的絕對測距精度為15μm+0.7μm/m。

試驗(yàn)前需構(gòu)建各類坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，由于基坐標(biāo)系不可以直接測量，因此通過旋轉(zhuǎn)軸線法得到，通過單獨(dú)轉(zhuǎn)動A1軸和A2軸分別得到圓O1和O2，由此建立基坐標(biāo)系。建立基坐標(biāo)系需要得知基坐標(biāo)系的原點(diǎn)，x軸上一點(diǎn)和z軸方向。

z軸方向：轉(zhuǎn)動A1軸，擬合得到圓O1，該圓周法向即為z軸方向。

原點(diǎn)：圓O1所在平面平移至圓O2圓心，再向下平移1045mm 得到基坐標(biāo)系xoy平面，將圓O1圓心向基坐標(biāo)系xoy平面投影，得到原點(diǎn)。

x軸上一點(diǎn)：圓O2所在平面平移至圓O1圓心位置，得到基坐標(biāo)系yoz平面，圓O2圓心向該平面投影后再向基坐標(biāo)系xoy平面投影，得到x軸上一點(diǎn)。

根據(jù)機(jī)器人示教器面板確定法蘭坐標(biāo)系位姿，構(gòu)建法蘭盤坐標(biāo)系。設(shè)工具坐標(biāo)系的原點(diǎn)為靶球中心點(diǎn)，姿態(tài)為基坐標(biāo)系姿態(tài)，得到TCP 相對于法蘭的轉(zhuǎn)換關(guān)系，各坐標(biāo)系統(tǒng)一關(guān)系由此確立。

3.2 精度補(bǔ)償試驗(yàn)

在機(jī)器人的工作空間中規(guī)劃了一個尺寸為550 mm×1000mm×1100mm 的長方體區(qū)域作為本次試驗(yàn)驗(yàn)證的測量區(qū)域，通過拉丁超立方[25]采樣方法隨機(jī)生成500 個點(diǎn)作為采樣點(diǎn)位，采樣點(diǎn)位置（x，y，z）在該長方體區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選取，3 個姿態(tài)角（a，b，c）在[-5°，5°]、[-3°，3°]、[-3°，3°]內(nèi)隨機(jī)選取。以理論位姿為NC 指令控制機(jī)器人運(yùn)動至上述隨機(jī)采樣點(diǎn)的位置，并用激光跟蹤儀測量各采樣點(diǎn)的實(shí)際位置。選取第2 節(jié)中不同的相關(guān)性模型進(jìn)行精度補(bǔ)償，補(bǔ)償結(jié)果如圖4所示。

圖4 KUKA KR500-3 補(bǔ)償后綜合誤差Fig.4 Comprehensive error after KUKA KR500-3 compensation

從圖4 可以看出，7 種相關(guān)性模型均能有效地補(bǔ)償工業(yè)機(jī)器人的絕對定位誤差。gauss 模型和cubic 模型誤差分布較為分散，峰值較低，補(bǔ)償效果相對較差。expg 模型誤差較大的個數(shù)最少，效果相對較好。相應(yīng)的統(tǒng)計學(xué)參數(shù)記錄在表3 中，可以得出以下結(jié)論。

表3 機(jī)器人精度補(bǔ)償后樣本統(tǒng)計Table 3 Sample statistics after robot accuracy compensation mm

（1）7 種相關(guān)性模型均能有效地提高機(jī)器人的絕對定位精度。體現(xiàn)在未校準(zhǔn)的機(jī)器人誤差最大值為1.8057mm，而7 種模型均能使其最大值降低至0.35mm以內(nèi)，定位精度能夠滿足航空航天中制孔裝配等需求；且補(bǔ)償后的均值均由1.1759mm 降低到0.13mm 內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)差均由0.2743mm 降低到0.07mm 內(nèi)，表明誤差補(bǔ)償后定位誤差集中的位置更小，集中度更高。

（2）expg 模型在本次試驗(yàn)中較其他的相關(guān)性模型補(bǔ)償效果更好。體現(xiàn)在補(bǔ)償后的最大值為0.2902 mm，為7 種模型中補(bǔ)償后最大值的最低值。且補(bǔ)償后各點(diǎn)位的誤差均值在0.1066mm，標(biāo)準(zhǔn)差在0.0502mm，均為幾組數(shù)據(jù)中最小的，體現(xiàn)出expg 模型能使補(bǔ)償后的定位誤差集中的位置最小，集中度最高。

（3）cubic 模型和文獻(xiàn)[14-19]采用的gauss 模型較其他的相關(guān)性模型補(bǔ)償效果較差。體現(xiàn)在gauss 模型和cubic 模型補(bǔ)償后誤差最大值分別為0.3448mm 和0.3476mm，超過0.34mm，平均值均超過0.12mm，標(biāo)準(zhǔn)差超過0.06mm，而其他相關(guān)性模型均在該數(shù)值數(shù)據(jù)之內(nèi)，可以證明這兩種方法數(shù)據(jù)樣本的集中位置和集中度均不如其他集中模型。

通過將仿真試驗(yàn)和試驗(yàn)對比可以發(fā)現(xiàn)，最差的模型在兩組環(huán)境中表現(xiàn)出一致性，cubic 模型無論是在仿真環(huán)境還是試驗(yàn)環(huán)境中較其他模型均有較差的表現(xiàn)，對于cubic 模型是否在其他種類機(jī)器人中有著較優(yōu)的表現(xiàn)有待驗(yàn)證。另外，兩種環(huán)境下的最優(yōu)模型不同。這是因?yàn)樵诜抡姝h(huán)境中，僅補(bǔ)償運(yùn)動學(xué)幾何參數(shù)引起的誤差，所以spline 模型有著較好的擬合效果，而在實(shí)際環(huán)境中，除幾何參數(shù)引起的誤差外還有非幾何參數(shù)引起的誤差，而對于該部分誤差，expg 模型有著較好的補(bǔ)償效果。

以上研究結(jié)果證明了KUKA KR500-3 選取優(yōu)化后的相關(guān)性模型可以取得更好的補(bǔ)償效果，但由于不同的工業(yè)機(jī)器人自由度不同，幾何構(gòu)型不同等原因可能會導(dǎo)致相關(guān)性模型選取上存在差異，因此實(shí)際工作中還需要針對具體的機(jī)器人進(jìn)行具體的分析和檢驗(yàn)，其具體流程如圖5所示。

圖5 相關(guān)性模型選取流程Fig.5 Correlation model selection process

4 結(jié)論

（1）通過在仿真及試驗(yàn)中構(gòu)建不同的誤差相似度模型對機(jī)器人精度進(jìn)行補(bǔ)償，證明了相關(guān)性模型的選取對會對機(jī)器人精度補(bǔ)償效果有顯著影響。

（2）在仿真環(huán)境中通過選取不同相關(guān)性模型對機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差補(bǔ)償，證明了spline 模型對機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差的補(bǔ)償效果最優(yōu)，補(bǔ)償后剩余誤差僅有0.04mm。

（3）在機(jī)器人精度補(bǔ)償試驗(yàn)中通過選取不同相關(guān)性模型對機(jī)器人進(jìn)行實(shí)際誤差補(bǔ)償，證明了expg 模型對機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差的補(bǔ)償效果最優(yōu)，可以使機(jī)器人精度從1.8057mm 達(dá)到0.2902mm。

（4）與傳統(tǒng)gauss 模型相比，本研究選取的expg 模型精度在試驗(yàn)環(huán)境中的精度補(bǔ)償效果可從0.3448mm提升到0.2905mm，精度提升15.75%。