唐世斌，孫 康，張永亮，吳 斐

(1.大連理工大學 巖石破裂與失穩(wěn)研究所，遼寧 大連 116024；2. 青島理工大學 機械與汽車工程學院，山東 青島 266520；3.重慶大學 資源與安全學院，重慶 400044)

天然巖體中包含不同類型的不連續(xù)性結(jié)構(gòu)面，如裂隙、節(jié)理、層理、斷層和剪切帶等。這些不連續(xù)結(jié)構(gòu)面在外荷載的作用下極易引起裂紋的起裂、擴展、貫通以及斷層的滑移等，顯著影響巖體的穩(wěn)定性。荷載作用下裂紋擴展過程不僅與裂隙的性質(zhì)(例如長度、位置和方向)有關(guān)，也與載荷的類型、大小和方向有關(guān)。在巖體工程中，巖體的失穩(wěn)破壞與裂紋的發(fā)育、擴展及貫通密切相關(guān)。因此，裂紋擴展的機理及特性的研究具有重要的工程意義。為了便于敘述和理解，筆者將巖石中含有的初始裂隙、節(jié)理、層理、斷層等統(tǒng)稱為“裂隙”，而將裂隙在力的作用下擴展所形成破裂稱為“裂紋”。

巴西圓盤作為巖石力學試驗中重要的試樣，除了可以測試包含中心裂紋的巖石試樣的靜態(tài)和動態(tài)斷裂韌性以外，還可以用來研究巖石中裂紋的起裂、擴展和貫通過程及特征。目前，有關(guān)含初始裂隙巴西圓盤的裂紋擴展研究，主要包括針對天然巖石或相似材料試樣的研究。在含初始裂隙的巴西圓盤試樣中，由于巖石和類似巖石的材料抗拉強度較低[1]，裂紋起裂和擴展過程比較迅速，通常起裂方向遵循(近似)平行于最大壓縮載荷的方向[2]。AL-SHAYEA等[3]試驗研究了在拉剪混合模式下，荷載和溫度對含不同傾角裂隙的脆性石灰?guī)r巴西圓盤試樣的裂紋起裂及擴展特性的影響。GHAZVINIAN等[4]開展了石膏材料預(yù)制巴西圓盤的試驗研究，探討了裂隙傾角和長度對脆性材料斷裂過程的影響。ALIHA等[5]通過具有相同裂隙長徑比的巴西圓盤試驗發(fā)現(xiàn)，裂紋擴展不受圓盤尺寸的影響。HAERI等[6]使用混凝土預(yù)制初始裂隙的巴西圓盤，研究了不同裂隙傾角對裂紋擴展的影響。SHARAFISAF等[7]通過數(shù)字圖像識別方法(DIC)對含張開裂隙和填充裂隙的巴西圓盤最大主應(yīng)變和最大剪切應(yīng)變進行測量，研究裂隙傾角及填充材料對巴西圓盤裂紋擴展影響。

除了試驗方法，越來越多的數(shù)值模擬方法也應(yīng)用到巖石等脆性材料的裂紋擴展研究中，如有限元方法(FEM)、不連續(xù)位移方法(DDM)、離散元方法(DEM)、相場法(PFM)等。EFTEKHARI等[8]和DONG等[9]對含閉合裂隙的巖石試樣進行了裂紋擴展的模擬研究，通過在斷裂準則中引入非奇異應(yīng)力(也稱為T-應(yīng)力)對裂紋擴展的影響，得到了滿意的結(jié)果，但T-應(yīng)力計算較復雜，尤其是閉合裂隙間的T-應(yīng)力計算。HAERI等[6]使用不連續(xù)位移法模擬了含閉合裂隙的巴西圓盤的裂紋擴展，但基于傳統(tǒng)斷裂方法模擬得到的裂紋擴展軌跡呈現(xiàn)出鋸齒狀，與試驗結(jié)果不符。SARFARAZI等[7]利用PFD2D對多組含不同傾角平行非閉合裂隙的巴西圓盤進行模擬，裂紋的擴展和貫通很好地說明了裂紋的產(chǎn)生以及擴展路徑。ZHOU等[10]通過相場法對平行裂隙數(shù)量及裂隙間隔對裂紋擴展影響進行研究，但使用相場法計算得到的裂紋擴展，其裂紋面之間并沒有產(chǎn)生物理分離，只是數(shù)學分離。

由于含閉合裂隙試樣制備比較困難，大部分試驗方法針對張開裂隙進行研究。目前有關(guān)壓剪應(yīng)力狀態(tài)下閉合型裂隙的數(shù)值研究較少，部分結(jié)果[6,11]表明，計算得到的閉合裂紋擴展路徑呈鋸齒狀，而相對均勻的準脆性材料試驗[4,6]卻表明，即使是閉合裂隙，裂紋擴展軌跡也呈現(xiàn)出路徑光滑的特征。因此，為了研究不同類型裂隙對巴西圓盤裂紋擴展行為特征的影響規(guī)律，需要研究能同時計算張開和閉合裂隙的斷裂準則。筆者在自主研發(fā)的巖石斷裂模擬FACT(Failure Analysis and Computing Toolkit)系統(tǒng)中集成了MTS準則和改進的斷裂模擬方法，并開展了含不同類型裂隙的巴西圓盤裂紋擴展過程研究，從而分析裂紋的起裂、擴展及貫通規(guī)律，其中FACT系統(tǒng)實現(xiàn)了幾何模型構(gòu)建、網(wǎng)格劃分、裂紋擴展模擬以及后處理顯示等全過程的處理。

1 模型建立

天然巖體中包含了大量的初始裂隙，如圖1所示。這些裂隙在荷載作用下產(chǎn)生的擴展、貫通等，導致巖體工程災(zāi)變。正如前文所述，巴西圓是巖石力學參數(shù)測量中非常重要的一種方法，不僅用于抗拉強度的測試，還可以研究巖石的裂紋擴展特性，如圖2的試驗結(jié)果所示。

圖1 含裂隙的天然巖體Fig.1 Natural rock masses with flaws

天然裂隙有的處于張開狀態(tài)，有的處于閉合狀態(tài)。因此，筆者重點研究含張開裂隙(圖3(a))和閉合裂隙(圖3(b))巴西圓盤裂紋擴展規(guī)律及機理。此外，各種天然材料由于風蝕、搬運和沉積作用下填充原有的張開裂隙，產(chǎn)生了含填充材料的裂隙(圖1(b))(以下稱為“填充裂隙”)。因此，筆者也對含填充裂隙的巴西圓盤(圖3(c))進行有關(guān)研究。

圖3 3種數(shù)值模型Fig.3 Three types of numerical models

計算所需材料參數(shù)及裂紋寬度和長度均取自文獻[12]，巴西圓盤材料參數(shù)見表1，填充裂隙材料參數(shù)見表2。計算模型的加載方式采用豎向位移加載，加載平臺與巴西圓盤之間摩擦因數(shù)為1.0，初始裂隙面之間無摩擦，裂隙傾角β=45°，其他具體尺寸如圖3所示。值得注意的是，模型中加載平臺與巴西圓盤之間為接觸條件，且裂紋面之間也可能處于接觸狀態(tài)，此時采用罰函數(shù)方法進行接觸迭代計算，當接觸的侵入量小于某個預(yù)設(shè)值后便停止迭代，認為其接觸計算滿足要求。

表1 數(shù)值模型所用的力學參數(shù)[12]

表2 填充材料的力學性質(zhì)參數(shù)[12]

2 裂紋擴展機理

2.1 基于經(jīng)典斷裂準則的裂紋擴展模擬

目前有關(guān)巖石裂紋擴展的判據(jù)主要有：① 最大周向應(yīng)力準則[13](MTS準則)；② 最大能量釋放率準則[14](G準則)；③ 應(yīng)變能密度因子準則[15](S準則)。還有諸如壓剪斷裂理論[16]、雙參數(shù)符合應(yīng)力理論[17]、最小J2準則[18]等。其中，MTS準則形式簡單，其運用至今仍較為普遍，尤其針對巖石這類抗拉強度較低的材料，MTS準則更接近于裂紋擴展的實際情況。

在線彈性斷裂力學中，二維復合型裂紋在局部坐標系(圖4(a))下的應(yīng)力為

(1)

式中，KⅠ和KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強度因子；θ為裂紋的傾角；σrr為徑向應(yīng)力；σθθ為周向應(yīng)力；τrθ為剪應(yīng)力;r為距離裂紋尖端的半徑。

MTS準則判斷裂紋擴展方向的斷裂準則公式為

(2)

將式(2)代入式(1)可得到裂紋擴展角度θc為

(3)

基于MTS準則，筆者針對含不同類型初始裂隙的巴西圓盤進行了裂紋擴展研究。由式(3)可以看出，θc的計算與裂紋尖端的應(yīng)力強度因子KⅠ和KⅡ密切相關(guān)。目前有限元數(shù)值計算中強度因子計算方法主要包括J-積分法和位移法等，而通過J-積分法衍生出M-積分和區(qū)域等效積分法。和區(qū)域等效積分類似，相互積分法可以通過面積分(體積分)計算平面(三維)問題的強度因子；此外，相比于位移法，相互積分法計算強度因子所需單元數(shù)少，計算精度更高。因此，筆者采用相互積分法對裂紋尖端的應(yīng)力強度因子進行計算。由于裂紋尖端附近為應(yīng)力集中區(qū)域，因此單元劃分采用1/4節(jié)點奇異單元(圖4(b))。

圖4 裂紋尖端局部坐標系及裂紋尖端單元類型Fig.4 Local coordinate system at crack tip and the type of the crack tip elements

在進行裂紋擴展計算時，隨著位移荷載的增加，裂紋尖端發(fā)生擴展，θc由式(3)計算得到。如圖5所示(θ1,θ2,θ3為當前裂紋擴展方向與上一次裂紋方向之間的夾角)，在θc方向增加裂紋擴展長度Δa，得到

圖5 裂紋擴展路徑模擬示意Fig.5 Diagram of crack propagation path simulation

新的裂紋尖端。然后基于新的裂紋尖端重新構(gòu)建有限元模型，再進行加載計算。重復以上過程，直至獲得整個裂紋擴展軌跡。筆者根據(jù)上述方法，編制相關(guān)的有限元計算程序，并且開展了如下的研究工作。

斷裂力學方法最初被應(yīng)用于材料力學領(lǐng)域，其荷載形式主要以拉伸為主。但對于含初始閉合裂隙的巴西圓盤采用壓縮加載方式時，不同Δa得到的裂隙擴展路徑呈現(xiàn)出鋸齒狀。

為了進一步分析不同荷載形式對裂紋擴展路徑的影響作用，首先使用提出的斷裂模擬方法對含閉合裂隙的方板(圖6(a))進行單軸拉伸斷裂模擬，方板尺寸為80 mm×80 mm，初始裂隙長度為3 mm，材料參數(shù)見表1，取Δa分別為1.0，2.0和3.0 mm。由圖6(b)可以看出，不同Δa下，計算得到的裂紋擴展路徑基本相同。裂紋擴展路徑逐步轉(zhuǎn)向垂直于最大拉應(yīng)力的方向，且整個擴展軌跡并未出現(xiàn)鋸齒狀現(xiàn)象。也即表明，傳統(tǒng)的斷裂準則能夠很好地模擬拉伸荷載引起的裂紋擴展，即使是Δa較大時也不會引起較大的偏差。盡管圖7所示的巴西圓盤產(chǎn)生的裂紋擴展亦是拉伸開裂，但其承受的壓縮荷載，裂紋擴展路徑表現(xiàn)出與拉伸荷載不同的特點。

圖6 含閉合裂隙的模型示意及裂紋擴展路徑模擬Fig.6 Plate model with closed fault and numerical modeling results of fracture growth path

圖7 MTS準則計算得到的裂紋擴展路徑Fig.7 Fracture growth path modeled by MTS criterion

為了更仔細地分析裂紋擴展軌跡變化特征及規(guī)律，對其擴展角度以及應(yīng)力強度因子變化進行了分析。從圖8(a),(b)中張開裂隙的強度因子和擴展角度的變化規(guī)律中可以看出，當Δa較大時(Δa=1.0 mm)，KⅠ始終保持正值，而KⅡ則隨著裂紋擴展出現(xiàn)正負震蕩。由式(3)可知，θc受KⅡ的正負震蕩影響，也出現(xiàn)正負變化，進而產(chǎn)生鋸齒狀裂紋擴展路徑。當Δa較小時(Δa=0.5 mm)，計算得到張開裂隙的KⅡ逐漸趨近于0，裂紋擴展只受控于KⅠ的變化，而KⅠ在整個裂紋擴展過程中始終保持為正數(shù)，因而得到裂紋擴展的方向始終偏向最大主應(yīng)力方向。從圖8(c),(d)中閉合裂紋的強度因子和擴展角度的變化規(guī)律中可以看出，當Δa較大時，KⅡ的正負震蕩導致裂紋擴展路徑呈現(xiàn)鋸齒狀。即使是Δa減小到0.5 mm，在裂紋擴展初期亦出現(xiàn)KⅡ的正負震蕩。當然，如果繼續(xù)減小Δa，KⅡ的正負震蕩特性也會減弱，但問題在于，數(shù)值計算無法實現(xiàn)太小Δa的裂紋擴展模擬。進一步減小Δa將導致網(wǎng)格劃分、強度因子計算、計算耗時等一系列的計算難題。

綜上所述，傳統(tǒng)斷裂準則模擬拉伸荷載引起的裂紋擴展表現(xiàn)良好，但在模擬壓縮荷載誘發(fā)的裂紋擴展方面卻往往出現(xiàn)偏差或錯誤。完全依靠減小裂紋擴展路徑的方法無法做到快速、有效的裂紋擴展路徑的模擬，針對多裂紋的擴展模擬更難以實現(xiàn)。由于工程巖體主要是處于自重、構(gòu)造應(yīng)力等壓縮荷載作用，因此需要尋求更為有效的斷裂模擬方法。

圖8 MTS準則計算獲得的強度因子和擴展角度變化Fig.8 SIFs and fracture growth angle modeled by MTS Criterion

2.2 改進的斷裂模擬方法

傳統(tǒng)斷裂模擬方法需要計算強度因子KⅠ和KⅡ，因此，裂紋擴展路徑的計算精度與KⅠ和KⅡ的計算結(jié)果密切相關(guān)。壓縮荷載作用下計算得到的KⅡ正負震蕩是導致裂紋擴展路徑鋸齒狀的根本原因。事實上，由式(1)～(3)建立的MTS準則只考慮了裂紋尖端應(yīng)力場泰勒級數(shù)展開式的奇異項，忽略了展開式中的常數(shù)項(非奇異應(yīng)力，亦稱為T-應(yīng)力)以及高階的O(r1/2)項。盡管高階項可以忽略，但常數(shù)項對巖石的裂紋擴展有著明顯的影響。筆者[19-22]曾探討了T-應(yīng)力對裂紋擴展的影響作用，結(jié)果表明，當考慮T-應(yīng)力時，修正的斷裂準則對裂紋擴展路徑的捕捉比傳統(tǒng)的MTS準則有較大的改善，模擬得到的裂紋擴展路徑呈現(xiàn)光滑特征[9]。進一步地，筆者也提出了計算巖石類材料在壓縮應(yīng)力狀態(tài)下T-應(yīng)力的數(shù)值求解方法[22]。盡管考慮了T-應(yīng)力的斷裂準則能夠很好地模擬壓縮作用下張開、閉合裂紋擴展，但其計算較繁瑣，不僅要計算強度因子KⅠ和KⅡ，還要計算T-應(yīng)力，當裂紋面閉合后，還存在沿著和垂直裂紋面2個方向的T-應(yīng)力計算。事實上，裂紋的擴展主要取決于裂紋尖端附近的局部應(yīng)力場，該應(yīng)力場可以通過數(shù)值計算獲得，裂紋尖端可以采用高精度的單元類型(如圖4所示的奇異單元)以及加密局部網(wǎng)格，可以獲得更高的計算精度。裂紋擴展是其尖端的應(yīng)力狀態(tài)達到了破壞條件的宏觀表現(xiàn)。通過對裂紋尖端應(yīng)力的計算，可以獲得其局部坐標系下σθθ，σrr，τrθ等應(yīng)力的分布?；诖耍P者嘗試建立基于局部應(yīng)力狀態(tài)分析的改進斷裂準則及相關(guān)的裂紋擴展模擬方法。根據(jù)式(2)可知，?σθθ/?θ=0實際上等價于τrθ= 0。因此，獲得裂紋的起裂角度就是需要找出裂紋尖端附近τrθ= 0的方向。傳統(tǒng)的斷裂模擬方法是通過求得裂紋尖端的KⅠ和KⅡ，然后代入式(1)中的τrθ= 0進行計算，這就必然會遇到壓縮荷載作用下計算的KⅡ正負震蕩的問題，導致裂紋擴展路徑鋸齒狀(圖8(b)，(d))。筆者利用τrθ= 0進行起裂角度計算的原理，首先通過高精度的數(shù)值計算獲得局部坐標系下的應(yīng)力分布，再依據(jù)τrθ數(shù)據(jù)獲得τrθ=0的方向，這也即拉破裂的擴展方向，且當σθ≥σt時，產(chǎn)生拉破裂。此外，依據(jù)|τrθ|取得最大值的方向為剪切破裂方向，且|τrθmax|≥τcr時產(chǎn)生剪切破裂(τcr為材料的抗剪強度)。

(1)對于張拉斷裂，其擴展方向判斷條件為：① 當周向應(yīng)力σθθ達到材料的抗拉強度σt時才能擴展；② 對應(yīng)擴展角θc所在平面的剪切應(yīng)力τrθ為0，即

(4)

式中，σt為材料的抗拉強度；σθ為θ方向的周向應(yīng)力。

(2)對于剪切斷裂，其擴展方向判斷條件為：① 剪切應(yīng)力τrθ的正負號只代表方向的不同，因此取|τrθ|作為判斷剪切裂紋是否產(chǎn)生的閾值；② 剪切破裂的方向為|τrθ|取最大值的方向；③|τrθ|達到抗剪強度τcr時剪切裂紋擴展，即

|τrθ，max|=τcr

(5)

與MTS準則不同，改進的斷裂準則不需計算裂紋尖端的應(yīng)力強度因子甚至是T-應(yīng)力，只需以裂紋尖端為極坐標原點建立局部坐標系，通過判斷距離裂紋尖端半徑為r點的應(yīng)力(圖4)是否達到擴展條件，從而進行擴展角度的計算。通過提高裂紋尖端的單元密集程度以及采用高精度單元，可以獲得更為精確的應(yīng)力分布。該方法易于實現(xiàn)自動化的裂紋擴展計算。具體的計算步驟為：① 建立數(shù)值模型并進行單元劃分，然后施加初始荷載進行加載求解，獲得模型中的應(yīng)力場分布；② 利用式(4)和式(5)判斷裂紋是否滿足裂紋擴展條件。如果不滿足擴展條件，則需要增加荷載，直到滿足裂紋擴展條件；③ 使用差值方法計算張開裂紋擴展角度θT或者剪切裂紋擴展角度θS；④ 沿著不同擴展方向θT或者θS，裂紋的長度增加Δa，得到新的裂紋尖端位置，并進行該區(qū)域的網(wǎng)格局部自動重劃分；⑤ 判斷裂紋是否擴展至失穩(wěn)位置或者是否滿足計算終止條件。若不滿足則根據(jù)新的裂紋尖端位置，重新計算包含新生裂紋的模型中應(yīng)力分布，重復第②～④步，直到滿足終止條件為止，停止計算。

從上述的裂紋擴展模擬方法中可以看出，該法不需要計算KⅠ，KⅡ以及T-應(yīng)力等數(shù)據(jù)，避免了這些數(shù)據(jù)計算不準的難題(尤其是閉合接觸裂縫的計算更容易計算不準)，顯著簡化了計算的易操作性和提高了計算精度。此外，通過裂紋尖端區(qū)域的局部網(wǎng)格自動重劃分方法，裂紋單步的擴展長度并不受網(wǎng)格大小的限制，解決了裂紋擴展的網(wǎng)格依賴性問題(當然，網(wǎng)格的疏密會對應(yīng)力場的計算精度有重要的影響，需要保證應(yīng)力場的計算精度)。

2.3 改進的斷裂模擬方法計算結(jié)果

采用改進的斷裂模擬方法開展了圖3所示的張開和閉合裂紋擴展的研究，其結(jié)果如圖9所示。從裂紋的擴展路徑中可以看出，2種類型的初始裂隙均沿著光滑的路徑擴展，且當Δa=0.5，1.0，2.0 mm時，3種Δa情況下的裂紋擴展路徑基本重合。計算結(jié)果與圖2所示的試驗結(jié)果吻合。但從圖7可以看出，傳統(tǒng)的斷裂模擬方法顯然在大步長時不適宜，即使是小步長，對于閉合裂紋擴展計算仍有偏差。圖10進一步對比了小步長情況下，MTS準則和改進的斷裂模擬方法獲得的張開裂紋擴展路徑?？梢钥闯?，筆者提出的方法與小步長的MTS準則計算路徑一致，從而印證了改進斷裂模擬方法計算張開裂紋擴展路徑的準確性。

圖9 改進的斷裂模擬方法計算的張開和閉合裂紋擴展Fig.9 Fracture growth path of both open and closed fault modelled by the improved fracture criterion

圖10 MTS準則和改進的斷裂模擬方法模擬 張開裂紋擴展路徑對比Fig.10 Comparison of fracture growth path between MTS criterion and improved fracture criterion

基于上述結(jié)果可以看出：

(1)當裂紋擴展步長較小時，MTS斷裂準則能夠較為精確地模擬張開裂紋擴展路徑，但閉合裂紋擴展模擬則存在問題；當步長放大后，MTS準則的模擬結(jié)果與實際情況有較大偏差。然而，筆者提出的斷裂模擬方法卻能夠很好地模擬此類裂紋擴展，且不受小步長的限制。

(2)當裂紋面處于接觸狀態(tài)時，MTS斷裂準則不能很好地模擬裂紋的擴展路徑，而筆者改進的斷裂模擬方法卻能獲得較好的計算結(jié)果，且步長放大后裂紋擴展路徑模擬仍具有較高的計算精度。也即筆者提出的斷裂模擬方法，可以在一定程度上增大擴展步長卻并不影響計算精度。以圖9和圖10為例，改進的斷裂模擬方法計算整個斷裂過程時，Δa=0.5，1.0，2.0 mm的計算步數(shù)分別為需32，16，8步，而MTS準則只有在Δa=0.5 mm才能得到較好計算結(jié)果，但其計算步數(shù)為32步?？梢姼倪M的斷裂模擬方法大幅提高了裂紋擴展的計算效率。

圖11和圖12為改進的斷裂模擬方法得到的圖3中張開和閉合裂紋擴展過程。從圖11，12可以看出，張開裂隙在整個擴展過程中，裂紋面一直處于分離狀態(tài)。而閉合裂隙在裂紋擴展初期，初始裂隙面一直處于閉合狀態(tài)，但當裂紋擴展到一定程度后，初始裂紋面分離，也即由接觸狀態(tài)變?yōu)榉蛛x狀態(tài)。圖13分析了初始閉合裂隙在整個裂紋擴展過程中的接觸與分離狀態(tài)。結(jié)果表明，在裂紋擴展的初期，初始裂隙面始終處于閉合狀態(tài)(圖13中以橙色表示)；但當裂紋擴展一定長度后，接觸面出現(xiàn)了部分分離(如圖中黃色所示)、部分接觸的狀態(tài)(如第3～6步所示)。最終裂隙面出現(xiàn)了全分離狀態(tài)。因此，運用筆者提出的數(shù)值模擬方法不僅能夠方便、快速、精確地模擬裂紋擴展過程，還能獲得該過程中的接觸狀態(tài)變化，從而獲得裂紋擴展的內(nèi)在機理。

圖11 改進的斷裂模擬方法計算的張開裂紋擴展應(yīng)力變化Fig.11 Stress evolution during fracture growth in the open fault calculated by the improved fracture simulation method

圖14為初始閉合裂隙的裂紋擴展角度變化(與裂紋方向的夾角，如圖5所示)。由圖14可以看出，擴展角度θc逐漸趨向45°(也即沿著豎直的加載方向)，并未出現(xiàn)如圖8所示的角度正負震蕩變化現(xiàn)象。從擴展角度的斜率變化可以看出(也即圖14中tanθ)，從起裂階段擴展方向的斜率變化不大，裂紋擴展路徑的彎曲程度較??；但從第1～4步，裂紋擴展路徑的斜率變化較大；而在第4步之后斜率變化均勻，逐漸趨近于1，也即裂紋的擴展軌跡逐漸平行于豎直中心軸線。

圖15為運用改進的斷裂模擬方法計算得到的含填充裂隙的巴西圓盤裂紋擴展路徑及應(yīng)力分布云圖。在整個裂紋擴展的過程中，填充物與初始裂隙之間接觸狀態(tài)由完全接觸逐漸變?yōu)椴糠纸佑|，該計算結(jié)果與SHARAFISAF[7]的試驗結(jié)果吻合。上述結(jié)果也表明，筆者提出的巖石斷裂模擬方法在張開、閉合、填充裂紋擴展方面都有較好的模擬效果。

圖13 初始裂隙裂紋面接觸狀態(tài)變化Fig.13 Variety of contact state of initial crack surface

圖14 改進的斷裂準則計算閉合型裂紋擴展角度和斜率Fig.14 Fracture growth angle and its gradient in the closed crack specimen modeled by the improved fracture criterion

2.4 討 論

2.4.1裂紋起裂角度

根據(jù)經(jīng)典的線彈性斷裂力學理論，MTS準則采用式(3)計算裂紋的起裂角，計算得到-θ0隨KⅡ/KⅠ的變化如圖16所示，由斷裂力學可知，當KⅠ=0時為純Ⅱ型裂紋，此時KⅡ/KⅠ→∞時， 相應(yīng)的起裂角度-θ0則趨近于常數(shù)70.53°，且這個起裂角度和初始裂隙的角度變化無關(guān)。然而，BOBET等[23]在試驗中發(fā)現(xiàn)隨著初始裂隙傾角的增大，裂紋的起裂角度逐漸增大，即使是純Ⅱ型裂紋擴展，其起裂角度仍隨著裂隙傾角而變化。因此，采用經(jīng)典的斷裂準則并不能體現(xiàn)出裂隙初始傾角對起裂角度的影響作用。對含不同傾角閉合裂隙的巴西圓盤，采用改進的斷裂模擬方法進行起裂角度的計算，結(jié)果如圖17所示，可以看出，該方法獲得的起裂角隨初始裂隙傾角的增大而增大，符合相應(yīng)的試驗結(jié)果[6]，這也驗證了筆者方法較傳統(tǒng)斷裂準則更能精確模擬裂紋的擴展路徑。

圖15 改進的斷裂準則計算填充型裂紋擴展 軌跡及最大主應(yīng)力變化Fig.15 Propagation path and contour of max principal stress of filled crack with improved fracture criterion

圖16 起裂角度-θ0與KⅡ/KⅠ的關(guān)系Fig.16 Relationship between initial propagation angle -θ0and KⅡ/KⅠ

圖17 不同傾角裂隙下起裂角度變化Fig.17 Variation of crack initiation angle of in specimens with different initial inclination angles

2.4.2裂紋擴展軌跡

由圖7可知，對于初始張開和閉合裂隙，當擴展步長Δa取0.5 mm和1.0 mm時，MTS準則計算得到裂紋擴展軌跡差別較大，其中Δa=1.0 mm時均得到鋸齒狀裂紋擴展路徑；而當Δa=0.5 mm時，張開裂隙計算得到光滑的裂紋曲線，但閉合裂隙仍存在局部鋸齒狀擴展軌跡。與MTS準則計算得到裂紋擴展軌跡不同，運用改進的斷裂模擬方法計算得到不同類型初始裂隙的裂紋擴展軌跡均為光滑曲線，且同一類型初始裂隙、不同擴展步長Δa的裂紋擴展軌跡幾乎重合，裂紋最終擴展至加載點。

2.4.3巴西圓盤裂紋擴展特征

以初始張開型裂隙為例，SHARAFISAF等[7]在含張開裂隙的巴西圓盤試驗中發(fā)現(xiàn)，一旦達到峰值荷載，裂紋快速擴展，試樣的最終破壞為張拉裂紋的破裂模式。運用改進的斷裂模擬方法，從位移加載量——裂紋尖端單元最大張拉應(yīng)力曲線(圖18)可以看出，裂紋尖端的張拉應(yīng)力達到抗拉強度之前(裂紋未擴展)，隨著位移加載量逐漸增加，裂紋尖端的最大拉應(yīng)力逐漸變大，2者是線性相關(guān)的；一旦最大拉應(yīng)力到達抗拉強度，即使豎向位移加載量不變化，隨著裂紋不斷擴展，裂紋尖端的最大拉應(yīng)力會一直增加，直到最終破裂，這說明在對含初始張開型裂隙的巴西圓盤中，裂紋一旦起裂，其擴展是一種失穩(wěn)擴展，與SHARAFISAF等[7]試驗結(jié)果相符。

圖18 改進的斷裂準則計算裂尖單元最大張拉應(yīng)力變化Fig.18 Variation of the maximum tensile stress of crack tip element with Improved Fracture Criterion

3 結(jié) 論

(1)對含張開型和閉合型裂隙的巴西圓盤，采用傳統(tǒng)斷裂準則計算時，擴展步長Δa對擴展路徑的影響較大，無論Δa大還是小，均會產(chǎn)生鋸齒狀裂紋擴展路徑。而采用改進的斷裂模擬方法，Δa對計算結(jié)果影響較小，且不同Δa計算得到的裂紋擴展路徑均為光滑曲線。

(2)采用傳統(tǒng)斷裂準則計算得到Ⅱ型應(yīng)力強度因子KⅡ的正負變化是導致裂紋擴展角度產(chǎn)生正負震蕩變化的根本原因，進而產(chǎn)生鋸齒狀裂紋擴展路徑。通過對比閉合和張開裂隙的接觸狀態(tài)變化可以發(fā)現(xiàn)，KⅡ的正負變化是初始裂隙面的接觸所致。

(3)傳統(tǒng)斷裂準則解決拉伸問題具有很好的效果，但是處理壓縮荷載下裂紋的擴展問題，尤其是閉合裂隙，會出現(xiàn)鋸齒狀裂紋。而改進的斷裂準則，不僅解決了上述問題，且能夠同時考慮張拉和剪切裂紋的擴展，受擴展步長Δa影響較小，提高了計算效率和準確性。