涂 濤，李傳鋒，郭光燦

（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院， 中國(guó)科學(xué)院 量子信息重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽合肥 230026）

量子力學(xué)是現(xiàn)代物理學(xué)的重要基礎(chǔ)，同時(shí)量子力學(xué)也在不斷發(fā)展中.作為量子力學(xué)的前沿——量子信息學(xué)近年來(lái)已經(jīng)取得了許多重要的突破和進(jìn)展［1］.量子信息學(xué)包括3個(gè)主要分支:量子計(jì)算、量子通信和量子精密探測(cè).其基本信息單元稱為量子比特，是一個(gè)典型的二能級(jí)體系，已經(jīng)得到了廣泛和深入的研究，是當(dāng)前量子科技的熱門方向［2-4］.

在大學(xué)物理課程的教學(xué)中，應(yīng)該努力推動(dòng)科技前沿和教學(xué)的深度融合.科技發(fā)展日新月異，因此如何將技術(shù)與教學(xué)相結(jié)合，是一個(gè)需要教學(xué)工作者不斷探索和改進(jìn)的過(guò)程.

在當(dāng)前的量子力學(xué)教材中，對(duì)于波動(dòng)力學(xué)部分的講解比較多［5-8］.例如無(wú)限深方勢(shì)阱、中心勢(shì)場(chǎng)和氫原子等，都是在波動(dòng)力學(xué)框架下，將定態(tài)薛定諤方程作為一個(gè)常微分方程或偏微分方程來(lái)求解.因此學(xué)生們對(duì)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果都比較好.然而，在許多量子力學(xué)教材中，對(duì)于矩陣力學(xué)部分的講述比較少，而且大都是抽象的矩陣表示和計(jì)算，例如某個(gè)力學(xué)量的矩陣表示和表象變換等［9-12］.學(xué)生普遍反映這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果較差，對(duì)這些矩陣所代表的物理圖像相當(dāng)不清楚.這已成為當(dāng)前量子力學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)之一.

中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院的量子力學(xué)教研團(tuán)隊(duì)，從2010年起開展了“面向現(xiàn)代量子科技前沿的量子力學(xué)課程建設(shè)”，探索將一些量子信息學(xué)的研究成果引入本科生的量子力學(xué)課程教學(xué)中［13］.一方面，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際的例子來(lái)理解所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，以這種學(xué)以致用的方式加深他們對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握.另一方面，這些來(lái)自科研第一線的例子，也讓學(xué)生深刻感受到量子力學(xué)前沿研究的豐富內(nèi)涵，激發(fā)他們從事科學(xué)研究的強(qiáng)烈興趣.本文主要探討利用電荷量子比特促進(jìn)量子力學(xué)中矩陣力學(xué)內(nèi)容的教學(xué)效果.

1 矩陣力學(xué)講解的難點(diǎn)分析

矩陣力學(xué)是量子力學(xué)課程的核心內(nèi)容之一.在量子力學(xué)中，有兩個(gè)基本要素:波函數(shù)描述了體系的狀態(tài)；而力學(xué)量用線性厄米算符表示，代表對(duì)態(tài)的一種運(yùn)算.量子體系的態(tài)構(gòu)成 Hilbert空間，在該空間中，態(tài)可以表示為一個(gè)矢量，而作為對(duì)態(tài)操作的算符對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣.因此在矩陣力學(xué)框架下，可以對(duì)量子體系進(jìn)行研究.

然而，矩陣力學(xué)的公式比較抽象，和學(xué)生熟悉的經(jīng)典物理的公式截然不同，所以難以理解.其次，矩陣力學(xué)框架下涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，包括表象、本征方程的求解、本征矢的正交性和完備性、平均值的計(jì)算、含時(shí)演化等.對(duì)于學(xué)生而言，如何把諸多矩陣表示的公式和物理圖像聯(lián)系起來(lái)理解，也有較多的困難.

針對(duì)上述困難，我們選取電荷量子比特這個(gè)二能級(jí)體系作為教學(xué)示例，促進(jìn)學(xué)生對(duì)矩陣力學(xué)的理解和掌握.

2 以電荷量子比特為例講解矩陣力學(xué)

2.1 電荷量子比特的引入和建模

我們選取一個(gè)目前量子信息研究中的熱門課題:電荷量子比特［14-16］.該量子系統(tǒng)已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)，并利用該系統(tǒng)進(jìn)行了量子態(tài)的操控和量子信息的研究.如圖1所示，這是一個(gè)半導(dǎo)體雙量子點(diǎn)結(jié)構(gòu).其尺度大約在百納米的量級(jí)，有多個(gè)條狀的電極，包圍成一個(gè)束縛結(jié)構(gòu)，將電子束縛在其中.該結(jié)構(gòu)中有一個(gè)電子，用圓點(diǎn)示意.

圖1 半導(dǎo)體雙量子點(diǎn)的掃描電鏡圖

在實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)在電極上施加電場(chǎng)，可以將電子束縛在左邊的量子點(diǎn)中，也可以將電子束縛在右邊的量子點(diǎn)中.例如，在圖1的示意中，電子被束縛在左邊量子點(diǎn)中.很直觀的，我們可以把這兩種狀態(tài)定義為｜L〉和｜R〉，稱為電荷占據(jù)表象.

后面，我們會(huì)仔細(xì)討論該疊加態(tài)的性質(zhì).

量子系統(tǒng)的含時(shí)演化性質(zhì)由其哈密頓量決定.電荷量子比特的哈密頓量算符可以描述為

這樣，我們?cè)诰仃嚵W(xué)的框架下，引入了二能級(jí)體系的狀態(tài)和力學(xué)量算符的表示，具有直觀的物理圖像，學(xué)生們比較容易理解.

在電荷量子比特的實(shí)驗(yàn)中［14-16］，主要觀測(cè)的是狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律.因此我們將從理論上來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.在教學(xué)中，為了能夠涵蓋主要的知識(shí)點(diǎn)，我們采用多種方法來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題.

2.2 電荷量子比特的含時(shí)演化過(guò)程:方法一

第1種方法:求解能量本征態(tài).

首先，我們求解能量的本征方程:

此時(shí)它是一個(gè)矩陣的本征方程:

通過(guò)線性代數(shù)運(yùn)算，我們可以求得:兩個(gè)能量本征值和相應(yīng)的能量本征態(tài)為

其次，可以將初態(tài)按照能量本征態(tài)展開:

其中展開系數(shù) ck＝〈?k｜Ψ（0）〉.由于哈密頓量不顯含時(shí)間，這樣t時(shí)刻的狀態(tài)為

而利用矩陣乘法可以得到展開系數(shù)為

所以可以求得t時(shí)刻的電子狀態(tài)為

在方法一中，我們將力學(xué)量算符的本征值和本征態(tài)問(wèn)題歸結(jié)為計(jì)算矩陣的本征問(wèn)題，學(xué)生比較容易掌握.

2.3 電荷量子比特的含時(shí)演化過(guò)程:方法二

第2種方法:求解含時(shí)薛定諤方程.

首先，我們假設(shè)任意時(shí)刻的電子狀態(tài)為

它滿足含時(shí)薛定諤方程:

用矩陣力學(xué)的語(yǔ)言，此時(shí)它是一個(gè)矩陣形式的微分方程

上述矩陣方程的每一行都是相互對(duì)應(yīng)的，因此第一行和第二行也可以寫成聯(lián)立的微分方程組:

將式（18）和式（19）相加減，可以得到

上述方程容易得到解析解為

顯然，方法二得到的結(jié)果，與第一種方法得到的結(jié)果式（12）是完全一致的.

在方法二中，盡管用的是矩陣力學(xué)的語(yǔ)言，但是學(xué)生面對(duì)的是他們熟悉的量子力學(xué)的基本方程——薛定諤方程，因此學(xué)生比較容易理解.

2.4 電荷量子比特的含時(shí)演化過(guò)程:方法三

第3種方法:求解力學(xué)量平均值的運(yùn)動(dòng)方程.

一般來(lái)說(shuō)，力學(xué)量只有在它的本征態(tài)上才取確定的值，而在任意態(tài)上則有多種可能的取值.因此，研究力學(xué)量的平均值和取值幾率，可以反映量子體系的規(guī)律.另外，根據(jù)我們的研究經(jīng)驗(yàn)，在固態(tài)量子信息領(lǐng)域的研究工作中［14-16］，也經(jīng)常使用力學(xué)量平均值的運(yùn)動(dòng)方程來(lái)描述量子比特的規(guī)律.

這里Hij是相應(yīng)的矩陣元.顯然，這是一個(gè)一般的二能級(jí)體系哈密頓量，所以從矩陣力學(xué)的角度容易理解:任何一個(gè)兩能級(jí)體系都等價(jià)于在外磁場(chǎng)中的自旋系統(tǒng).

基于二能級(jí)體系與自旋系統(tǒng)的相似性，我們引入3個(gè) Pauli矩陣

其次，利用式（25），注意力學(xué)量算符此時(shí)不顯含時(shí)，我們可以得到力學(xué)量平均值的運(yùn)動(dòng)方程

我們將式（2）、（26）、（27）代入上述方程，并通過(guò)矩陣的代數(shù)運(yùn)算得到

這是聯(lián)立的微分方程組.

將式（34）對(duì)時(shí)間微分，并將式（33）代入，可以得到如下二階的微分方程:

上述方程容易得到解析解為

在方法三中，我們利用矩陣力學(xué)的框架來(lái)計(jì)算力學(xué)量平均值的運(yùn)動(dòng)方程，由于涉及的力學(xué)量矩陣都有直觀的物理圖像，學(xué)生也比較容易理解.

3 理論結(jié)果的分析并與實(shí)驗(yàn)對(duì)照

3.1 電荷量子比特的實(shí)驗(yàn)

在國(guó)外，美國(guó)普林斯頓大學(xué)率先開展了電荷量子比特的研究工作［14］.在國(guó)內(nèi)，本文作者所在的中國(guó)科學(xué)院量子信息重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室也開展了相關(guān)工作［15，16］.如圖 1 所示，我們利用現(xiàn)代微納加工技術(shù)制備了半導(dǎo)體雙量子點(diǎn)樣品，并在稀釋制冷機(jī)的10 mK的低溫環(huán)境中開展實(shí)驗(yàn).

在實(shí)驗(yàn)中，首先，我們向左側(cè)量子點(diǎn)中注入一個(gè)電子，電子的初態(tài)為｜L〉.

其次，根據(jù)上述矩陣力學(xué)的分析，單個(gè)電子既可以處在左邊量子點(diǎn)，也可以處在右邊量子點(diǎn)，還可以處在這兩個(gè)狀態(tài)的疊加態(tài)中.如圖1所示，單個(gè)電子狀態(tài)的測(cè)量是通過(guò)在左側(cè)電極處的量子點(diǎn)接觸［QuantumPointContact（QPC）］，這是一個(gè)很靈敏的單電荷測(cè)量裝置，在圖中用一個(gè)箭頭示意.當(dāng)電子處在左邊量子點(diǎn)時(shí)，該測(cè)量裝置將產(chǎn)生一個(gè)響應(yīng)信號(hào)，代表電子處在｜L〉態(tài).

最后，通過(guò)重復(fù)106次實(shí)驗(yàn)，可以得到電子處在｜L〉態(tài)的占據(jù)概率 PL.如圖 2（a）所示，這是一個(gè)設(shè)置電勢(shì)能 ε＝0，隧穿能 Δ＝4.32 μeV 時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖.

圖2 電荷量子比特的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果

3.2 電荷量子比特的測(cè)量結(jié)果與概率

在電荷量子比特這個(gè)二能級(jí)體系中，我們?cè)诰仃嚵W(xué)框架下，已經(jīng)用上述方法一和方法二求得電子在任意時(shí)刻的狀態(tài)

對(duì)于這樣一個(gè)狀態(tài)進(jìn)行電荷測(cè)量，有兩種結(jié)果:第一種結(jié)果是電子處在｜L〉態(tài)，即占據(jù)在左邊的量子點(diǎn)中，這一結(jié)果出現(xiàn)的概率是

第二種結(jié)果是電子處在｜R〉態(tài)，即占據(jù)在右邊的量子點(diǎn)中，這一結(jié)果出現(xiàn)的概率是 PR＝ ｜b｜2＝sin2ωt.

而在上述方法三中，我們計(jì)算了電子占據(jù)在左邊量子點(diǎn)中的平均值〈〉.利用力學(xué)量平均值的定義:

因此這一平均值的物理意義也是電子在左邊量子點(diǎn)中的概率:

顯然，方法三的結(jié)果與前面兩種方法得到的結(jié)果式（39）是完全一致的.

這些與實(shí)驗(yàn)相對(duì)應(yīng)的物理圖像很直觀，因此學(xué)生對(duì)這些理論結(jié)果也比較容易理解.圖3（a）中，實(shí)線是根據(jù)上述解析表達(dá)式（37）計(jì)算出來(lái)的結(jié)果.對(duì)比圖2（a）和圖 3（a），理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量符合得較好，即比較好的描述了電子狀態(tài)的周期性振蕩行為.至于實(shí)驗(yàn)中觀察到的衰減現(xiàn)象，我們將在后面作進(jìn)一步的解釋.

圖3 電荷量子比特的理論計(jì)算結(jié)果

3.3 電荷量子比特的知識(shí)拓展

電荷量子比特雖然是現(xiàn)代量子信息前沿研究的內(nèi)容，但是通過(guò)模型的簡(jiǎn)化，可以引入到矩陣力學(xué)的教學(xué)中.進(jìn)一步，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生考慮更復(fù)雜的量子信息過(guò)程.我們將集中在3個(gè)方面進(jìn)行知識(shí)的拓展.

2）由于現(xiàn)代量子調(diào)控技術(shù)的飛速發(fā)展，在實(shí)驗(yàn)中，可以通過(guò)精密的改變加在電極上的電壓，從而調(diào)節(jié)關(guān)鍵的控制參數(shù):量子點(diǎn)的電勢(shì)能ε.實(shí)驗(yàn)中通常會(huì)測(cè)量不同ε情況下的電子占據(jù)概率，測(cè)量結(jié)果如圖 2（b）所示.

為了能夠理解這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們可以根據(jù)方法二即薛定諤方程，直接數(shù)值求解微分方程組（16）和（17），或者根據(jù)方法三即運(yùn)動(dòng)方程，直接數(shù)值求解微分方程組（31）和（32），結(jié)果如圖 3（b）所示.從方程組不難發(fā)現(xiàn)，體系的演化周期不僅依賴于隧穿能Δ，也依賴于電勢(shì)能ε.當(dāng)電勢(shì)能ε變大時(shí)，電子占據(jù)概率的振蕩頻率也變得更快.這一理論計(jì)算圖3（b）較好的描述了實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的結(jié)果圖 2（b）.這一效應(yīng)也是目前熱門的超快量子門操控的基礎(chǔ)［15，16］.

3）在上述3.2節(jié)的理論分析中，可以看出，電子在左邊量子點(diǎn)中出現(xiàn)的概率PL和在右邊量子點(diǎn)中出現(xiàn)的概率PR，兩者之和總是為1.這是態(tài)疊加原理和波函數(shù)歸一化的要求，從物理圖像上也不難理解:因?yàn)闇y(cè)量電子只會(huì)投影到兩個(gè)電荷本征態(tài)｜L〉和｜R〉上，要么處在左邊量子點(diǎn)中，要么處在右邊量子點(diǎn)中，總概率之和為1.

上述理論分析假設(shè)電荷量子比特是一個(gè)孤立體系，與外界環(huán)境沒有任何耦合.然而，與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比時(shí)，有一些細(xì)心的學(xué)生會(huì)提出問(wèn)題:為什么實(shí)際的概率曲線有衰減的行為呢？

針對(duì)學(xué)生的問(wèn)題，我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考:實(shí)際電荷量子比特不是一個(gè)孤立體系，而是受到外界環(huán)境的影響，因此會(huì)造成量子體系的耗散.可以通過(guò)在運(yùn)動(dòng)方程（31）和（32）中，唯象的加上弛豫項(xiàng)和退相干項(xiàng)來(lái)理解:

與本來(lái)的運(yùn)動(dòng)方程（31）和（32）相比，新增加的兩項(xiàng)分別表示:〈〉的衰減項(xiàng)-γ1〈〉，其中衰減速率稱為弛豫速率，T1稱為弛豫時(shí)間.〈〉的衰減項(xiàng)，其中衰減速率稱為退相干速率，T2稱為退相干時(shí)間.從運(yùn)動(dòng)方程的角度來(lái)看，這些衰減速率或時(shí)間具有直觀的物理意義.

我們?nèi)?T1＝9 ns，T2＝1.2 ns，數(shù)值求解微分方程組（43）和（44），其結(jié)果如圖 4（a）和 4（b）所示.與實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖2（a）和 2（b）相比較，此時(shí)理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量，不但在定性趨勢(shì)上、而且在定量數(shù)值上都很好的符合.退相干過(guò)程是量子信息科技面臨的最大挑戰(zhàn)之一，各種外界擾動(dòng)，會(huì)導(dǎo)致體系量子特性的衰減.因此對(duì)于退相干過(guò)程的理解是重要的研究課題，通過(guò)這個(gè)例子可以激發(fā)學(xué)生思考這個(gè)前沿問(wèn)題.

圖4 計(jì)及退相干效應(yīng)時(shí)電荷量子比特的理論計(jì)算結(jié)果

4 學(xué)生學(xué)習(xí)成效分析

根據(jù)我校歷年量子力學(xué)課程的相關(guān)教學(xué)調(diào)研，學(xué)生對(duì)于矩陣力學(xué)部分的學(xué)習(xí)普遍反映存在較多困難.特別是矩陣的求解和計(jì)算，不但在數(shù)學(xué)上有一定的困難，更關(guān)鍵的是，學(xué)生對(duì)于矩陣所代表的物理模型和意義感覺很模糊.學(xué)生在計(jì)算矩陣時(shí)，常常有一種不知道自己在處理什么物理量和什么物理過(guò)程的感覺，從而導(dǎo)致他們對(duì)于整個(gè)矩陣力學(xué)內(nèi)容難以理解和掌握.

另一方面，本文作者在進(jìn)行量子力學(xué)課程教學(xué)的同時(shí)，也從事量子信息領(lǐng)域的研究工作.我們發(fā)現(xiàn)研究方法中很多涉及矩陣力學(xué)的內(nèi)容，因此深感學(xué)生對(duì)于矩陣力學(xué)的深入學(xué)習(xí)是非常重要的，可以為他們將來(lái)從事量子信息的研究奠定必要的基礎(chǔ).把量子信息研究中一些前沿的物理問(wèn)題，作為矩陣力學(xué)的教學(xué)案例，不但可以提高學(xué)生對(duì)于前沿科技發(fā)展的興趣，還能夠把書本上的抽象知識(shí)與當(dāng)前的研究實(shí)際緊密聯(lián)系起來(lái)，做到學(xué)以致用、科教結(jié)合.

在講授矩陣力學(xué)時(shí)，我們利用電荷量子比特作為主要的教學(xué)案例:

首先我們引入電荷量子比特的模型，側(cè)重于把真實(shí)的物理模型，特別是電荷表象、電子波函數(shù)、電子的哈密頓量都用簡(jiǎn)單的矩陣力學(xué)公式描述.

然后我們重點(diǎn)討論電荷量子比特的時(shí)間演化過(guò)程.我們用3種方法來(lái)求解這一過(guò)程.第一種方法是基于能量本征函數(shù)的求解，這歸結(jié)為矩陣的本征值和本征矢問(wèn)題.第二種方法是基于求解含時(shí)的薛定諤方程，第三種方法是基于求解算符平均值的運(yùn)動(dòng)方程，這兩種方法在矩陣力學(xué)的表示下，都?xì)w結(jié)為一個(gè)聯(lián)立的微分方程組.通過(guò)這3種方法，我們不但把矩陣力學(xué)的主要知識(shí)點(diǎn)都涵蓋了，而且這些矩陣公式所對(duì)應(yīng)的物理過(guò)程都很清楚，因此學(xué)生對(duì)于矩陣力學(xué)的內(nèi)容可以有較為清晰的認(rèn)識(shí)和掌握.

下一步，我們將充分利用中國(guó)科學(xué)院量子信息重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室的科研資源，讓學(xué)生親眼目睹電荷量子比特的實(shí)驗(yàn)過(guò)程.學(xué)生通過(guò)對(duì)二能級(jí)體系的矩陣力學(xué)的求解，可以得到和電荷量子比特實(shí)驗(yàn)測(cè)量相符合的理論結(jié)果和物理圖像，尤其可以深刻理解量子力學(xué)中疊加態(tài)的概念.同時(shí)與前沿的量子信息實(shí)驗(yàn)相聯(lián)系，也能激發(fā)學(xué)生的興趣和思考，讓他們體會(huì)到量子信息科技帶來(lái)的巨大變化，促使學(xué)生進(jìn)一步探索這些方興未艾的前沿領(lǐng)域.

5 結(jié)論

量子力學(xué)課程中矩陣力學(xué)部分的教學(xué)是一個(gè)難點(diǎn).盡管國(guó)內(nèi)已經(jīng)有不少優(yōu)秀的教材指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)矩陣力學(xué)內(nèi)容，但是相對(duì)于初學(xué)者而言，比較抽象.由于現(xiàn)代量子信息科技的蓬勃發(fā)展，有一些嶄新的前沿內(nèi)容可以補(bǔ)充到量子力學(xué)的教學(xué)中.本文通過(guò)以電荷量子比特作為教學(xué)案例，對(duì)利用矩陣力學(xué)框架分析和求解電荷量子比特的含時(shí)演化問(wèn)題進(jìn)行了深入探討.在這個(gè)案例中，矩陣表示的數(shù)學(xué)公式，例如哈密頓量等各種力學(xué)量算符、電荷本征態(tài)和疊加態(tài)等各種態(tài)的表示，都有比較清楚的物理圖像對(duì)應(yīng)，這樣可以極大的幫助學(xué)生理解二能級(jí)體系的物理量和含時(shí)演化的規(guī)律.尤其是學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用矩陣方法求解本征方程、薛定諤方程等得到的電子波函數(shù)的性質(zhì)，與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的結(jié)果一致符合，大大加深了他們對(duì)于矩陣力學(xué)方法的理解和掌握.進(jìn)而，對(duì)于電荷量子比特的量子狀態(tài)的研究，還能夠激發(fā)學(xué)生對(duì)于量子信息前沿科研工作的強(qiáng)烈興趣.