劉元平

生活中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：想買件衣服，商家在搞不同的促銷方案，怎么買才合算呢？要派出一位同學(xué)去參加數(shù)學(xué)競賽，現(xiàn)有兩個人選，派誰去獲獎的可能性更大呢？要作出選擇，可以大量收集和整理數(shù)據(jù)，但這需要耗費大量的精力和時間. 怎樣才能簡化選擇程序呢？我們不妨借助概率這個工具.

例1（2021·浙江·金華改編）某商城組織抽獎活動，共準備了1 000張獎券，且每張獎券獲獎的可能性相同，并規(guī)定每購買商品1 000元，就能獲得一次抽獎的機會. 設(shè)一等獎10個，每張獎券返現(xiàn)金1 000元;二等獎20個，每張獎券返現(xiàn)金100元;三等獎80個，每張獎券返現(xiàn)金10元. 如果顧客不愿意抽獎，也可以直接返現(xiàn)金10元. 如果你在該商城購物滿1 000元，你會選擇抽獎還是直接返現(xiàn)金？請說明理由.

分析：通過計算抽到一、二、三等獎的概率來估算出獲得一、二、三等獎的返還現(xiàn)金，再求和得到抽獎一次獲得的平均返還現(xiàn)金，再與直接返還的現(xiàn)金比較大小，從而得出兩種方案中更合算的方案.

解：P（[抽中一等獎]）[=101 000=1100]，

P（[抽中二等獎]）[=201 000=150]，

P（[抽中三等獎]）[=801 000=450]，

[抽獎一次平均返現(xiàn)金=1100×1 000+150×100+450×10=12.8]（元）[ >10]（元）.

答：我會選擇抽獎，因為抽獎得到平均返還現(xiàn)金的數(shù)額大于10元.

點評：估算是解決問題的第一步，概率計算是估算的基礎(chǔ)工具.

例2（2021·浙江·嘉興改編）讀了《田忌賽馬》的故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌外出游玩，兩人各自都有上、中、下三個等級的三匹馬，養(yǎng)馬人將各自馬匹隨機牽出，齊王不事稼穡，不辨馬性，總是選牽來的第一匹馬，而田忌則是先觀察馬的狀況后選馬：第一匹馬他都不選，而是觀察馬的狀況，如果第二匹馬比第一匹馬好，他就選第二匹馬，如果第二匹馬沒有第一匹馬好，他就選第三匹馬.如果是你，你會選擇誰的方案來選出上等馬？為什么？

分析：首先通過列表或畫樹狀圖找出馬匹出場的所有等可能情況，然后再根據(jù)齊王和田忌各自的方案進行選擇，最后比較各自選出上等馬的概率大小，即可得解.

解：畫樹狀圖表示所有等可能的結(jié)果（如圖1）：

P（[齊王選上等馬]）[=26=13]，P（[田忌選上等馬]）[=36=12].

答：我選擇田忌的方案來選上等馬，因為田忌的方案選中上等馬的概率大.

點評：本題中齊王和田忌的選馬方案不一樣，這是變化的量，但兩人馬匹牽出的方式是一樣的，這是有共性的地方，是不變的量，因此解題的關(guān)鍵就在于從變化中找不變，從不變?nèi)胧?，將?fù)雜問題線性化、層次化、簡單化.

例3（2021·湖北·黃岡改編）2021年，黃岡、咸寧、孝感三市實行中考聯(lián)合命題，為確保聯(lián)合命題的公平性，決定采取三輪抽簽的方式來確定各市選派命題組長的學(xué)科. 現(xiàn)確定了兩種方案. 方案一：第一輪，各市從語文、數(shù)學(xué)、英語三個學(xué)科中隨機抽取一科;第二輪，各市從物理、化學(xué)、歷史三個學(xué)科中隨機抽取一科;第三輪，各市從道德與法治、地理、生物三個學(xué)科中隨機抽取一科. 方案二：第一輪，各市從語文、數(shù)學(xué)、英語三個學(xué)科中隨機抽取一科;第二輪，各市從物理、化學(xué)、地理三個學(xué)科中隨機抽取一科;第三輪，各市從道德與法治、歷史、生物三個學(xué)科中隨機抽取一科.

（1）黃岡在第一輪抽到語文學(xué)科的概率是 ;

（2）用畫樹狀圖或列表法求黃岡在第二輪和第三輪抽簽中，選擇哪種方案抽到的學(xué)科恰好是歷史和地理的可能性大.

分析：第（2）小題要求抽到歷史和地理的概率，但方案一和方案二中第二輪和第三輪中備選學(xué)科都不一樣，因此應(yīng)分別計算概率，然后比較大小.

解：（1）黃岡在第一輪抽到語文學(xué)科的概率是[13].

（2）畫樹狀圖表示所有等可能的結(jié)果（如圖2）：

[方案一][第二輪][第三輪][開始][物理][道法][生物][地理] [化學(xué)][道法][生物][地理] [歷史][道法][生物][地理] [方案二

][第二輪][第三輪][開始][物理][道法][生物][歷史] [化學(xué)][道法][生物][歷史] [地理][道法][生物][歷史]

圖2

∴P（[方案一抽到歷史和地理]）[=19]，P（[方案二抽到歷史和地理]）[=19].

答：兩種方案抽到的學(xué)科恰好是歷史和地理的可能性一樣大，選擇任一方案均可.

點評：利用概率可以對相同事件在不同方案中發(fā)生的可能性進行估算和預(yù)測，通過比較概率的大小可對方案進行優(yōu)選.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)橋頭初級中學(xué)）