高幫飛 李紅兵 張書琛 陳偉康 劉國峰 孫剛

摘要：地質（礦化）連續(xù)性評價是礦產勘查和資源儲量估算的基礎。塊金效應為變異函數(shù)中塊金值與基臺值的比值，可以用來刻畫地質變量空間結構的變異性，并且對品位估值有重要影響。然而，實際操作過程中，對變異函數(shù)的擬合與塊金效應的地質解釋卻顯得主觀隨意。在整合前人研究的基礎上，重點探討影響變異函數(shù)塊金效應確定的主要因素，系統(tǒng)闡述塊金效應對地質（礦化）連續(xù)性的指示作用及其對克里格和距離冪次反比等品位估值的影響。本研究對于提升礦產勘查評價和資源儲量估算的可靠程度有著現(xiàn)實意義。

關鍵詞：變異函數(shù);塊金效應;屏蔽效應;克里格;距離冪次反比

中圖分類號：TD11P618.51文獻標志碼：A開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

文章編號：1001-1277（2021）11-0006-08doi：10.11792/hj20211102

引言

塊金效應的概念源于金礦研究[1]，最早用來描述相鄰樣品品位的巨大變化，后來被地質統(tǒng)計學者借用，并賦予較廣泛的含義，主要用來表征當觀測點間距遠大于微觀結構的變程時，不能區(qū)分出來的那些變化性總和[2]。一般認為，塊金效應有2個重要組分：地質或原位塊金效應和取樣塊金效應[3]。近年來，地質統(tǒng)計學者側重研究取樣、制樣及化驗分析流程對塊金效應的影響[3-7]，而關于地質結構對塊金效應的影響重視不夠。研究表明，塊金效應對品位估值有著重要影響[1，4，8-9]，但實際操作過程中，對變異函數(shù)的擬合與塊金效應的地質解釋卻又顯得主觀隨意[10-11]。本文在整合前人研究的基礎上，以剛果（金）Kalumbwe礦床（下稱“K礦床”）為例，重點探討影響變異函數(shù)塊金效應確定的主要因素，系統(tǒng)闡述塊金效應對地質（礦化）連續(xù)性的指示作用，以及其對克里格和距離冪次反比等品位估值的影響，以期對礦產勘查評價和資源儲量估算工作有所啟示。

1塊金效應的定義

1.1塊金值

塊金值表示變異函數(shù)微結構在原點的不連續(xù)性[1，12]。塊金值——變異函數(shù)γ（h）在原點處特征見圖1。

1.2塊金效應

塊金效應在變異函數(shù)中定義為塊金值與總方差（基臺值）的比值[13]。塊金效應（ε）計算公式為：

ε=C0/C（1）

基于塊金效應的定義，塊金效應一般分為以下幾類[14]：低塊金效應，ε≤25 %;中塊金效應，25 %<ε≤50 %;高塊金效應，50 %<ε≤75 %;極高塊金效應，ε>75 %。

1.3塊金效應的組成

塊金效應定量描述了非常短距離內樣品間的內在變異性。事實上，塊金效應的影響范圍遠不止相鄰樣本，它實際是疊加在區(qū)域變量上的變異隨機成分。一般認為，塊金效應由采樣分析程序及礦床自身內在變異性決定[9，15]。CARRASCO[5]將塊金效應分為2類，即反映變程小于樣品支集（support）的微結構（自然塊金效應），以及取樣和（或）分析的測量誤差（人為塊金效應）。綜合認為，塊金效應大小主要與以下因素有關：地質（礦化）的不均勻性、樣品支集（樣品大小，即體積-方差效應）、取樣密度（單位空間內的樣品數(shù)量，即信息效應）、樣品取樣和化驗流程及質量[3-7]。

2塊金效應的確定

基于變異函數(shù)的塊金效應擬合或多或少都受主觀因素影響，而這一點常常被忽略。MARCOTTE[11]認為，對于給定的樣品數(shù)據(jù)，塊金效應的確定與變異函數(shù)模型中結構組分數(shù)量和類型選擇關系密切。OLIVER等[7]也認為，塊金值取值與選取的變異函數(shù)模型有關，此外塊金值由不受控的小于最小步長（lag）的距離來擬合γ（h），增加了不確定性。然而，大量實踐表明，通過開展井向（downhole）變異函數(shù)擬合，剔除特異值影響及選取合適樣品支集，可以減少主觀因素影響，得到可靠的塊金值。

2.1井向變異函數(shù)擬合

由于塊金效應描述的是變程小于觀測尺度的所有變異性[1]，因此樣品間距最短的方向毫無疑問最能揭示塊金效應。實踐表明，塊金效應的擬合最好采用井向變異函數(shù)[16]。一般采用井向變異函數(shù)的前2～4點進行模型擬合[17-18]。擬合理論模型可以選擇球狀模型、指數(shù)模型或線性模型，也可以采用線性回歸方法[2]。采用球狀模型的情況下，模型的切線與縱軸交點即為塊金值，與基臺值交匯于2/3變程處（見圖2）。基臺值是井向變異函數(shù)趨于穩(wěn)定的數(shù)值，理論上與樣品統(tǒng)計方差一致[18]。據(jù)此，可以計算塊金值與基臺值的比值，即塊金效應。

2.2特異值影響

樣品數(shù)據(jù)中存在特異值，且對塊金效應產生較大影響。OLIVER等[7]基于400個模擬值得到的實驗變異函數(shù)及其擬合球狀模型顯示，存在特異值時，塊金值為0.617×10-12，基臺值為1.341×10-12;移除特異值后，塊金值為0，基臺值為1.000×10-12（見圖3）。很明顯，移除特異值后，塊金方差消失。

（據(jù)文獻[7]修改）為不失一般性，以K礦床為例，進一步考慮移除特異值（特高值和特低值）的情況。K礦床位于剛果（金）銅鈷（金）成礦帶西段，為典型的沉積層狀銅鈷礦床[19]。主礦體走向東西，傾向南，傾角60°～80°;長約1 km，厚30～50 m。K礦床由上部氧化礦體和下部硫化礦體組成?？辈殡A段主要由鉆孔控制，生產階段采用鉆孔+槽探進行聯(lián)合控制?；静蓸娱g距2 m，圈定工業(yè)礦體的指標為銅品位1.00 %、鈷品位0.10 %。礦體最小可采厚度和夾石剔除厚度均為2 m。露天采礦臺階高度為10 m。用分形方法剔除特異值，確定礦化域為0.30 %～13.00 %[20]。

通過利用所有勘查數(shù)據(jù)（以0.01 %為圈礦邊界品位，構建隱式模型IM_0.01）、礦化體數(shù)據(jù)（以0.30 %為圈礦邊界品位，構建隱式模型IM_0.30）和工業(yè)礦體數(shù)據(jù)（以1.00 %為圈礦邊界品位，構建隱式模型IM_1.00），考察塊金效應的變化。采用隱式建模方法以0.01 %、0.30 %和1.00 %為邊界品位圈定礦（化）體（見圖4），其塊金效應擬合結果見表1。由表1可以看出：以0.30 %為邊界品位圈定礦（化）體時，塊金效應最小;以1.00 %為邊界品位圈定礦（化）體時，塊金效應最大。比較基臺值與樣品方差（σ）比值（C/σ2）可以看出：以0.01 %為邊界品位圈定礦（化）體時，C/σ2值為0.73，顯示有大量低品位、長變程組分，導致結構組分不突出;以0.30 %為邊界品位圈定礦（化）體時，C/σ2值增加到0.93，表明低品位背景組分顯著減少，總體結構已呈現(xiàn)，礦化連續(xù)性好;以1.00 %為邊界品位圈定礦（化）體時，C/σ2值大于1.00，可能與礦化結構不完整、缺少較低品位組分有關。

2.3樣品支集

研究表明，樣品方差和塊金效應隨著樣品支集的增加而降低[21]。利用原始樣品數(shù)據(jù)的方差和不同樣品支集組合樣品數(shù)據(jù)的方差，可以計算不同樣品支集下的塊金效應[16]。假設V0為原始樣品支集，組合樣品支集為V1，不失一般性有V1=nV0，其中n為組合樣品個數(shù)。基于空間相關性結構的方差不受組合樣品長度影響的合理假設[16]，則有：σ2V1=C0/n+C1，進一步的ε=C0/（C0+nC1），其中C0/n為組合樣品支集V1的塊金方差，ε為組合樣品數(shù)據(jù)的塊金效應。顯然，組合樣品個數(shù)越多，即樣品支集越大，塊金效應越低;原始樣品組合后，樣品方差和塊金效應均迅速降低（見圖5）。為真實反映樣品數(shù)據(jù)的塊金效應，實踐中，一般對原始樣品長度進行統(tǒng)計，按照具有統(tǒng)計優(yōu)勢的樣品長度進行等長組合[22]。

3塊金效應的地質意義

塊金效應與微結構和取樣化驗偏差有關。理論上講，系統(tǒng)誤差（如測量中的一致偏差）不會成為塊金效應的一部分，因為當一個樣品值從另一個樣品值中減去時（xi-（xi+h）），其就會消失[15]。當然，機械巖心鉆探、反循環(huán)鉆探、炮孔的樣品支集，以及取樣精度等不同，同樣會導致塊金效應的變化。美國新墨西哥州Ortiz金礦床不同類型樣品的井向變異函數(shù)（見圖6-a））顯示，炮孔樣品具有更大的波動及高塊金效應[23]。K礦床1 290～1 370 m標高鉆孔和探槽數(shù)據(jù)擬合結果揭示，探槽樣品的均值、方差比鉆孔數(shù)據(jù)略高。探槽井向變異函數(shù)（見圖6-b））顯示，其變異性較鉆孔數(shù)據(jù)要復雜，有著相應較高的塊金值和塊金效應。這些特征顯示出探槽數(shù)據(jù)盡管也能表征礦體品位特征，但由于勘查方法不同，其表現(xiàn)出來的樣品數(shù)據(jù)連續(xù)性相對較差。

塊金效應與區(qū)域化變量的屬性特征有關[10]。前人大量研究表明，塊金效應所揭示的微結構與宏觀地質結構有密切的聯(lián)系。一定程度上，塊金效應可以作為地質（礦化）連續(xù)性的測度。

DOMINY等[24]研究了塊金效應與礦化結構的關系。在40 m鉆孔間距條件下，賤金屬礦床礦體總體連續(xù)性較好，所有鉆孔均見到了工業(yè)品位（見圖7-a））。全向變異函數(shù)顯示塊金效應為25 %，地質統(tǒng)計學變程為60 m，比40 m的鉆孔間距要大，指示了40 m鉆孔間距能較好代表地質和品位的連續(xù)性。含金石英脈的地質連續(xù)性可達幾百米，但高金品位被限制于地質連續(xù)性僅有幾米的局部透鏡狀含金石英脈中（見圖7-b））。全向變異函數(shù)顯示為純塊金效應特征，40 m的鉆孔間距無法解決局部地質和品位連續(xù)性問題。21個鉆孔中只有2個達到工業(yè)礦體品位，要解決此類礦體的連續(xù)性問題，需要將鉆孔間距加密到5 m。

同樣，在巴布亞新幾內亞獨立國的Ridges金礦項目中，樣品的取樣、制備和分析的質量控制流程都非常標準，采樣及分析誤差對塊金效應的貢獻忽略不計。對純塊金效應的地質解釋是，金-菱錳礦脈經(jīng)強擠壓應力作用，礦體破碎成小碎塊分布于整個礦化空間（見圖8），失去了原始的空間相關性[5]。

4塊金效應對品位估值的影響

4.1屏蔽效應

克里格估值算法是一個局部估值工具，其顯著特征是具有屏蔽效應[25]。屏蔽效應是指距離待估礦塊較近樣品點對距離較遠樣品點的屏蔽效應，即在對待估礦塊的平均品位進行估值時，距離較近樣品點的貢獻更大。更具體來說，只有待估礦塊附近的樣品點或礦塊才能被賦予較大的權重，尤其是當塊金方差與總方差比值較低時更為明顯[7]?；蛘哒f克里格估值算法可看作一種低通濾波器，塊金值越大，過濾越強[26]。當塊金效應很小或者不存在時，已知樣品點的克里格權重系數(shù)大小受屏蔽效應影響，當塊金效應增大，屏蔽效應相應減弱;當為純塊金效應時，所有樣品點相互獨立，權重系數(shù)相等，屏蔽效應消失[27]。

如果變異函數(shù)的結構較好，也就是具有相對較低的塊金效應，估值時只采用待估礦塊周圍第一圈的少量數(shù)據(jù)。這是因為待估點附近的樣品點數(shù)據(jù)會把距離更遠的樣品點數(shù)據(jù)屏蔽[28]?？紤]到圖9-a）中的數(shù)據(jù)構型，假設構造上各向同性，也就是各方向上變異性相同。n=8的數(shù)據(jù)點（編號為Z1～Z8）有著相同的自然屬性和相同的樣品支集，克里格估值算法給出以下權重[1]：①由對稱關系得出，λ2=λ3，λ6=λ5;②由不等關系得出，λ1≥λi，2≤i≤8;③λ7≤λ4，因為Z4屏蔽了Z7的影響;④λ8≥λ4，Z4的部分影響分散到Z5、Z6和Z7。

負克里格權重與低或者零塊金值有關[26]。由圖9-b）可知，離待估值點較遠的外圍樣品點被賦予小的負權重，其被參與礦塊估值樣品點（+）所屏蔽[29]。這種情況下，負權重通常非常小，只有其他樣品點權重的1/100或者更少。通常，出現(xiàn)負克里格權重表明[17]：①樣品點位置被其他與待估值礦塊相關的數(shù)據(jù)點屏蔽;②變異函數(shù)模型有著較高程度的連續(xù)性。這種特殊的權重模式在連續(xù)性最大時最強烈（如零塊金效應和長變程），隨著塊金效應增加，這種模式變得不那么顯著[17]。

純塊金效應對克里格權重的影響微乎其微[28]。對于純塊金效應，所有數(shù)據(jù)都有相同的樣品支集，因此有著相同的權重，而不考慮與待估值礦塊的距離。較近樣品點不再屏蔽更遠距離樣品點的影響，因此可以說，純塊金效應消除了屏蔽效應[1]。

4.2平滑作用

克里格的平滑作用會導致估計方差降低，引起高值低估、低值高估現(xiàn)象[7]。平滑程度取決于塊金效應和變程的相對大小[30]。塊金效應越大，平滑作用越強，也就是說，樣品的權重更均勻（見圖10）。如果塊金效應足夠低，則礦塊的平均品位可以從最近的樣品點品位得出;否則，礦塊品位則是變程影響范圍內樣品的加權平均[9]。直至塊金效應為1時，平滑作用才消失[7]。在純塊金效應的情況下，估值構成了一個簡單的移動平均值[30]。

4.3估值精度

塊金方差影響估值精度[7]。克里格方差包含了理論變異函數(shù)中的塊金方差，換言之，克里格方差不可能小于塊金方差。因此，塊金效應的確定影響克里格權重，反過來又影響克里格估值方差[18]。如果低塊金方差被0代替，那么克里格估值方差會明顯降低[31]。同時，由于高品位域的連續(xù)性增強，估值的品位風險也會增大。降低塊金方差、提高估值精度的常見做法是提高取樣、制樣和化驗工作的質量，減少人為影響[3，32]。

5討論

5.1觀測尺度

塊金效應與觀測尺度有密切聯(lián)系[1-2，33]，但無法同時觀測到所有尺度的變異性。例如：采用3～5 m取樣網(wǎng)格數(shù)據(jù)，可以區(qū)分變程10 m的結構。但是，如果采用30～50 m取樣網(wǎng)格數(shù)據(jù)，則無法區(qū)分這個結構，而只能把小于30 m的變化性放到塊金方差中表現(xiàn)出來。這種塊金效應的含義依賴于觀測尺度的現(xiàn)象被稱作塊金效應的尺度效應。小觀測尺度的結構組分，在大觀測尺度上可能表現(xiàn)為塊金效應;同時，大觀測尺度上應包含塊金組分，但可能無法識別，除非樣品數(shù)據(jù)落入塊金方差的變程范圍[1]。因此，要想了解微觀變化性的結構特征，只靠大觀測尺度的數(shù)據(jù)信息是不行的，必須掌握不同觀測尺度的樣品信息（所謂的信息效應），也就是需要加密取樣點[1-2]。這樣有了2個不同觀測尺度的數(shù)據(jù)，才有可能研究套合結構（Nested structures）及可能的塊金效應。但是，如果品位完全是典型的隨機變量，則不論觀測尺度大小，所得到的實驗變異函數(shù)曲線均接近于純塊金效應模型[2]。

變異函數(shù)的套合結構可以很好解釋觀測尺度對塊金效應的影響（見圖11）。變異函數(shù)分析可以定義3個主要的方差區(qū)域[1，34]：小觀測尺度方差γ0（h）（塊金效應），以短變程為特征（a0=2～4倍樣長），包含了所有的顯微變異性，如測量誤差、巖性變化等;中觀測尺度方差γ1（h）（幾何各向異性），有相對較大的變程（如a1=10 m），以透鏡狀為特征;大觀測尺度方差γ2（h）（帶狀各向異性），可能是第3個組分變程（如a2=200 m），代表了蝕變地層或者均勻礦化帶的延伸。在較短觀測距離（h<30 m）時，觀測的總變異性取決于γ0（h）+γ1（h），大觀測距離總變異性取決于所有的γi（h）。

5.2礦化域的圈定

資源量估算礦（化）體圈定的一個基本原則是保持礦化域內地質和統(tǒng)計特征的一致性[35]。從表1可以看出，以0.30 %為邊界品位圈定礦（化）體時，塊金效應僅為1.30 %，最大程度突出了變異函數(shù)結構組分，既避免了與估值無關的長變程、低品位組分的干擾，也減少了對中變程結構組分的人為破壞。

然而，具體采用礦化域內數(shù)據(jù)還是域外數(shù)據(jù)參與估值則取決于礦（化）體的邊界分析[35-36]。本文基于圖4的隱式模型，對比了以0.30 %和1.00 %為邊界品位圈定礦（化）體進行邊界條件分析，結果見圖12。由圖12可以看出：當邊界品位為0.30 %時，域內外品位呈明顯的漸變過渡關系，為典型的軟邊界條件;當邊界品位為1.00 %時，域內外品位呈硬邊界條件。不同礦（化）體及樣品數(shù)據(jù)條件下的克里格估值結果見圖13。由圖13可知，與生產數(shù)據(jù)相比，當邊界品位為0.30 %時，采用域外數(shù)據(jù)進行估值的結果（IM_0.30-0.01）與實際值最為接近。從K礦床氧化礦體的總體估計來看，在低塊金效應背景下，最大程度保持礦化結構組分的圈礦條件（邊界品位為0.30 %）為最佳實踐。

5.3估值參數(shù)

傳統(tǒng)距離冪次反比（IDW）法中樣品權重的確定并不受屏蔽作用影響[25]，而是和待估值礦塊與已知樣品點的距離和冪次選擇有關。但是，對于IDW方法而言，隨著冪次的增大，離待估值點越近樣品點的權重就會越大，類似于屏蔽效應[36]。因此，可以據(jù)此建立IDW估值參數(shù)與塊金效應的聯(lián)系[1，36-37]。

1）距離冪次的確定。塊金效應是選擇冪次非常有用的工具。低塊金效應指示了空間樣品很好的可重復性。這意味著靠近待估值點的樣品品位與待估值點很接近，可以采用較高的冪次。相反，高塊金效應表明重復性差，應該采用較小的冪次[37]。純塊金效應情形下，估計值為簡單移動平均值[30]，冪次可以為0。此外，對于給定的塊金效應，較大的變程減少了待估值點附近樣品點的克里格權重系數(shù)。因此，對于低塊金效應和短變程條件下的類似屏蔽作用，只有緊鄰待估值礦塊的樣品點才在品位估值中起到作用[8]。

2）搜索半徑的確定。如果數(shù)據(jù)密度足夠，且變異函數(shù)有界，較小塊金效應情況下，屏蔽作用較大，搜索半徑可以接近變程，因為超過變程的樣品點數(shù)據(jù)權重微乎其微。塊金效應較大時，屏蔽作用減弱，搜索半徑要大于變程，因為遠距離樣品也可能有權重，尤其是樣品數(shù)據(jù)稀疏時，超過變程樣品點的權重可能比較大[7]。

李紅兵等[36]提出了基于變異函數(shù)塊金效應和變程分析的IDW估值工作流程，并成功應用于中亞某金礦床的品位估值。COOMBES[37]系統(tǒng)總結了IDW冪次（屏蔽作用）與塊金效應（變程大?。┲g的關系（見圖14）。然而，具體估值應用過程中，冪次的選取需要結合塊金效應反復試驗，直至與實際品位分布相近。

6結論

1）塊金效應可以刻畫地質變量空間結構的變異性。這種變異性的呈現(xiàn)與測量尺度有關。一般情況下，塊金效應越低，結構性越好，相應測量尺度下的地質（礦化）連續(xù)性越強。

2）塊金值擬合具有較強的人為因素。推薦最佳實踐為：基于剔除特異值（特高值和特低值）的礦化域品位數(shù)據(jù)，采用接近實際取樣樣長的等長組合樣品，選取井向變異函數(shù)中前2～4點進行擬合。

3）塊金效應對品位估值有重要影響。對克里格法而言，塊金效應越大，屏蔽效應越弱，平滑作用越強，估值方差（精度）越低。采用IDW估值時，進行變異函數(shù)的塊金效應擬合可以幫助確定冪次。塊金效應較小時，應選擇較高的估值冪次。

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Geological interpretation of nugget effect and its constraint on grade estimationGao Bangfei1，2，Li Hongbing3，Zhang Shuchen1，2，Chen Weikang1，2，Liu Guofeng4，Sun Gang1

（1.China Railway Resources Group Co.，Ltd.; 2.La Miniere de Kalumbuwe Myunga SAS;

3.Zijin Mining Co.，Ltd.，Kamoa Project; 4.Tenk Fungurume Mining SAS）

Abstract：The continuous evaluation of geology （mineralization） is the basis of mineral exploration and resource estimation.The nugget effect is the ratio of the nugget variance to the total variance in the variogram，which can be used to describe the variability of the spatial structure of geological variables and has important influence on grade estimation.In practice，however，the fitting of variogram and geological interpretation of nugget effect are subjective and arbitrary.Based on the previous studies，the paper mainly discussed the main factors influencing the nugget effect in variogram，systematically elucidated the indication of the nugget effect on geological （mineralization） continuity，and the significance on kriging and IDW grade estimation.The study is practical for mineral exploration evaluation and resource estimation to improve their reliability.

Keywords：variogram;nugget effect;screen effect;kriging;IDW