宗卉，楊波，顧鵬翔

（上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093）

0 引言

圖像顯示作為人類接觸信息的窗口，是人類獲取信息的直接形式之一，也是社會溝通與交流的基本渠道［1］。投影儀的原型是利用光和影，將圖像顯示在屏幕上的幻燈機［2］。隨著投影技術(shù)的快速發(fā)展，人們可以脫離電子屏幕的裝載限制，在很多場合都可以便捷地進行投影成像，人們在追求大屏幕高清投影顯示的同時，也希望投影系統(tǒng)能夠占據(jù)更小的空間，尤其在家庭、教育、商用等對空間限制較大的領域中，節(jié)約空間等同于節(jié)約成本，小面積房間就可以進行會議與影音體驗，教室里的多媒體設備也變得更加輕便，使用者也可以免受投影過程中的光照影響。目前，投影系統(tǒng)逐漸朝著大屏幕、超短焦距、低投射比、大視場角、高分辨率、高清晰度的方向發(fā)展［3］。因此，研究者們紛紛提出了超短焦距投影顯示系統(tǒng)的各類方案。最初實現(xiàn)超短焦投影鏡頭的設計方式為多鏡片折射式設計，而近幾年隨著自由曲面的發(fā)展，使用折反式離軸設計的超短焦投影開始增多。如：使用全玻璃球面折射透鏡的折反式超短焦變焦投影系統(tǒng)（包含16 片球面折射透鏡和一片非球面反射鏡）；整個系統(tǒng)采用15 個透射鏡片和一個非球面反射鏡片，其中反射鏡采用凹面反射鏡進行視場擴大的結(jié)構(gòu)［4－5］等。這種折反式系統(tǒng)的共同特點是采用多片折射透鏡和一片反射鏡，鏡片數(shù)量多，加工精度要求高。而離軸全反射式鏡頭具有無色差、重量輕、熱穩(wěn)定性好和大口徑等優(yōu)點，有效規(guī)避同軸部分的中心遮攔，提高了能量利用率［6－7］。

離軸系統(tǒng)中的光學元件存在偏心與傾斜，非對稱的結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生非常規(guī)像差，普通球面鏡片難以在一定數(shù)量內(nèi)加以校正，而自由曲面的使用則可以較好地校正這些像差。近年來，光學元件的精密加工、檢測技術(shù)不斷進步，自由曲面相關的設計理論不斷發(fā)展，自由曲面的使用也越來越廣泛。較早出現(xiàn)的采用四片離軸反射非球面鏡片的超短焦投影機，做到了投射比0.32［1］。本設計采用全反射離軸結(jié)構(gòu)，僅使用四片自由曲面鏡片，全部采用反射鏡片的形式，沒有色差，結(jié)構(gòu)簡單。

1 設計原理

按照光軸位置，成像系統(tǒng)分為共軸成像和離軸成像兩種；按照光路轉(zhuǎn)折方式，可分為折射、反射、折反式3 種。共軸折射成像系統(tǒng)視場范圍限制較多，視場角過大至接近90°的話，近軸的計算公式為：

由于視場角的增大會產(chǎn)生嚴重的畸變和軸外像差，尤其是垂軸色差［4］。且視場角ω 越大，照度不均勻問題越嚴重，像差也因視場角的增大而變得不理想，因此式（1）已不再適用。設計過程中為了減小像差、提高照明質(zhì)量，鏡片數(shù)量隨之增加，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨之更復雜，加工與裝配難度隨之增大，成本也隨之增加；常用反射式光學系統(tǒng)主要包括兩反系統(tǒng)、三反系統(tǒng)和四反系統(tǒng)等［8］。同軸四反光學系統(tǒng)最大缺陷就是無法避免的中心遮欄，系統(tǒng)能量的減少會嚴重影響成像質(zhì)量［9］。因此，傳統(tǒng)的共軸折射結(jié)構(gòu)不適用于大視場超短焦投影系統(tǒng)。

自由曲面由于其優(yōu)秀的面型描述能力和像差優(yōu)化能力，設計自由度遠大于傳統(tǒng)光學元件，從而在相同指標要求下，能夠減少光學元件數(shù)量、減輕光學系統(tǒng)質(zhì)量與體積。非成像系統(tǒng)，如照明系統(tǒng)中可直接使用離散數(shù)據(jù)點進行面形描述；但成像系統(tǒng)中，為了保證成像質(zhì)量與光線追跡的速度與精度，通常采用具體數(shù)學表達式進行面形描述，大多是在基底球面或基底二次曲面的基礎上，疊加非旋轉(zhuǎn)對稱項得到，基底球面可表示為：

基底二次曲面可表示為：

其中，c為非球面頂點處的曲率，k是二次曲面的圓錐系數(shù)。自由曲面可分為常規(guī)面型、具有正交性質(zhì)的面型、局部面型可控3 種面型。具有正交性質(zhì)的Zernike 多項式像差校正能力強，可以依據(jù)矢量像差理論對應關系，有針對性地對系統(tǒng)像差進行校正，因此應用較廣。面形描述通常是在二次曲面基底上添加極坐標形式：

應用最多的是高次小變形自由曲面，是在基底二次曲面上發(fā)生微小變形得到的。根據(jù)基底二次曲面后的多項式不同，可分為奇次和偶次多項式。基底二次曲面后加上偶次項則是偶次多項式自由曲面，同理奇次多項式自由曲面在式（3）后面加上奇次項，則可由公式（5）進行描述：

為了改善成像與照明質(zhì)量、控制成本與加工難度，本文采用離軸全反射式成像系統(tǒng)設計方案，離軸結(jié)構(gòu)的設計可以拓寬系統(tǒng)對視場角的限制，尤其適用于大視場角的投影成像系統(tǒng)；自由曲面具有很強的非對稱像差能力，優(yōu)化設計自由度大［10］，4 片自由曲面反射鏡在轉(zhuǎn)折光路的同時可以校正像差，規(guī)避色差的產(chǎn)生，且鏡片數(shù)量少、質(zhì)量輕、方便加工與裝配。

2 設計指標

投影鏡頭的主要功能，是將圖像源（微透鏡顯示芯片）上的圖像放大并投影到背景上變成圖像顯示屏幕。本文選用DMD 顯示芯片。投影鏡頭的性能指標要求主要體現(xiàn)在像面的放大倍率與成像質(zhì)量上。超短焦投影鏡頭在此基礎上還要求投射比在0.6 以下，本設計投射比為0.25，完全符合超短焦投影要求。各指標數(shù)據(jù)見表1。

表1 系統(tǒng)技術(shù)指標表Tab.1 System technical indicator table

3 設計方法

本設計突破傳統(tǒng)光學成像系統(tǒng)設計理論和方法，將多片自由曲面引入光學成像系統(tǒng)，采用4 片自由曲面的離軸全反射設計結(jié)構(gòu)，利用光學設計軟件Code V 完成鏡頭設計。由于鏡頭是大視場、小F 數(shù)的非對稱結(jié)構(gòu)，難以從Code V 專利庫中找到合適的初始結(jié)構(gòu)，需要自行創(chuàng)建。

首先，將光瞳與一半視場范圍內(nèi)的視場進行光線采樣［10］，獲得光瞳和視場坐標，再聯(lián)合Code V 和MATLAB 進行采樣光線和自由曲面交點的理想法向量的求解，在MATLAB 中調(diào)用Code V 中光線追跡命令；根據(jù)費馬原理，求解采樣光線與反射鏡交點的理想法向量。對Si和Sideal之間光程S求泛導公式如下：

其中，Pi是采樣光線與代設計曲面Si的交點坐標；理想像點Sideal是采樣光線與像點的交點；n是折射率。根據(jù)反射定律得到理想法向量N：

再將所有采樣光線與理想法向量進行擬合，得到自由曲面面型參數(shù)。

在初始結(jié)構(gòu)的基礎上，利用Code V 中用戶自定義函數(shù)控制與AUTO 進行優(yōu)化即可。首先選擇可變化的光學參數(shù)，將系統(tǒng)中各透鏡的基本參數(shù)如：曲率半徑、厚度、空氣間隙的厚度、折射率、阿貝數(shù)以及反射鏡面型相關的參數(shù)設置成變量，通過用戶自定義函數(shù)控制像面高度和寬度來控制畸變。使用軟件中的AUTO 優(yōu)化代碼優(yōu)化系統(tǒng)的各種像差，同時更改視場和波長的權(quán)重以便優(yōu)化。設計流程如圖1 所示。

圖1 設計流程圖Fig.1 Design flow chart

4 設計結(jié)果

4.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

超短焦投影鏡頭包括：

（1）顯示芯片：用于調(diào)制從投影機照明系統(tǒng)出射的光束，且充當投影鏡頭的物面；

（2）透鏡組：設置于顯示芯片的成像光路上，用于保護鏡頭與光路照明；

（3）振鏡：設置于第一透鏡組之后，用于調(diào)整光路透鏡；

（4）Zernike 多項式反射面1：設置于振鏡后，用于反射成像光束；

（5）孔徑光闌：設置于Zernike 多項式反射面1之后，用于限制成像光束；

（6）Zernike 多項式反射面2、Zernike 多項式反射面3 與奇次多項式反射面，均設置于孔徑光闌之后，用于反射成像光束，并使圖像成像于屏幕。各組件結(jié)構(gòu)如圖2 所示：（右圖為左圖的部分放大，以獲得更好的可視化效果。）

圖2 光學組件結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Optical component structure diagram

此次設計的投影鏡頭中屏幕尺寸與非球面反射鏡到屏幕距離的關系見表2。

表2 投射距離表Tab.2 Projection distance table

4.2 成像結(jié)果

鏡頭的調(diào)制傳遞函數(shù)曲線如圖3 所示。根據(jù)DMD 像元尺寸p和放大倍數(shù)M，由奈奎斯特頻率計算公式：

圖3 調(diào)制函數(shù)曲線圖Fig.3 Modulation function graph diagram

得出調(diào)制傳遞函數(shù)的截止頻率為0.6lp／mm，截止頻率處各個視場MTF值均大于0.25，絕大多數(shù)均大于0.3；點列圖是通過計算，把物點在像面的對應點呈現(xiàn)出來。彌散斑越小、越集中則成像質(zhì)量越好。由DMD 像元尺寸與最大放大倍率得對到最大像斑尺寸為1.73 mm，彌散斑均較為理想，如圖4 所示。

圖4 點列圖Fig.4 Point diagram

5 結(jié)束語

本文提出了一種離軸全反射式超短焦投影鏡頭，包含4 片自由曲面，突破傳統(tǒng)光學對稱結(jié)構(gòu)的設計理論和方法，將自由曲面的設計方法引入非對稱成像系統(tǒng)中，利用MATLAB 和Code V 進行了仿真設計，實現(xiàn)了投射比僅為0.25 的超短焦投影鏡頭，結(jié)果從光學系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與成像像質(zhì)兩方面均呈現(xiàn)理想效果，無色差，結(jié)構(gòu)簡單，成像質(zhì)量理想。