史傳勝，馮 姣，司 闖，張 銳

（南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，南京 210044）

引 言

大規(guī)模MIMO（Massive MIMO）系統(tǒng)已經(jīng)成為實(shí)現(xiàn)5G的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，它可以滿足5G在高數(shù)據(jù)傳輸速率、穩(wěn)定連接和低延遲等各方面的需求［1］。massive MIMO系統(tǒng)指在基站端配置多達(dá)幾十乃至數(shù)百根天線陣列同時(shí)為多個(gè)單一天線客戶端服務(wù)，大大提高了系統(tǒng)的存儲(chǔ)空間和自由度，同時(shí)還可以改善和提高數(shù)據(jù)傳輸速率、鏈路可靠性以及網(wǎng)絡(luò)通信容量［2］。在massive MIMO系統(tǒng)中，復(fù)雜程度和天線數(shù)量是密切相關(guān)的，隨著天線數(shù)量增加，算法的復(fù)雜程度隨著變高。所以，在接收端需要一種復(fù)雜程度低、檢測(cè)性能高的信號(hào)檢測(cè)算法。

為了提高M(jìn)IMO系統(tǒng)的信號(hào)檢測(cè)性能，學(xué)者們提出了多種檢測(cè)算法，包括線性檢測(cè)算法與非線性檢測(cè)算法等。最大似然估計(jì)（Maximum likelihood，ML）算法被認(rèn)為是一個(gè)比較經(jīng)典的最優(yōu)檢測(cè)算法，其遍歷性能夠保證算法獲得最佳檢測(cè)性能［3］，但由于其復(fù)雜度太高，學(xué)者們提出了復(fù)雜度低的近似線性最佳檢測(cè)算法，如迫零（Zero forcing，ZF）算法、最小均方誤差（Minimum mean square error，MMSE）檢測(cè)算法［4］。MMSE和ZF涉及矩陣的求逆問(wèn)題，當(dāng)用戶數(shù)量很大時(shí)，這些檢測(cè)器的復(fù)雜度會(huì)變得很高?；诖?，出現(xiàn)了簡(jiǎn)化算法，如共軛梯度［5］（Conjugate gradient，CG）、高斯?賽德?tīng)枺℅auss?Seide，GS）［6］、雅克比［7］（Jacobi，JA）、超松弛迭代［8］（Successsive over?relaxation，SOR）。其中JA收斂速度最慢，但更容易實(shí)現(xiàn)。GS是JA的一種改進(jìn)，精度比JA高，其復(fù)雜度和JA差不多。文獻(xiàn)［9］提出一種基于雅可比?理查森聯(lián)合算法，其基本原理是先利用雅克比迭代算法迭代一次，然后利用雅克比迭代的結(jié)果作為RI的初始解。雖然該算法在性能上有所提高，但是其收斂速度較慢。文獻(xiàn)［10］提出了一種加入基于雅克比迭代的高斯?賽德?tīng)枺↗acobi gauss?seide，JA?GS）方法。JA?GS算法主要利用雅克比迭代算法和高斯?賽德?tīng)柕惴ㄟM(jìn)行信號(hào)檢測(cè)，雖然性能較為接近MMSE，但是收斂速度偏慢，復(fù)雜度偏高。

為解決這一問(wèn)題，本文通過(guò)對(duì)GS算法進(jìn)行線性變換，提出了一種適用于大規(guī)模MIMO上行鏈路系統(tǒng)檢測(cè)算法。該算法通過(guò)引入JA預(yù)處理器和設(shè)計(jì)了改進(jìn)后的高斯?賽德?tīng)枺↖mproved Gauss?Seide，IGS）方案，進(jìn)一步提高了算法的收斂速度和檢測(cè)性能。仿真結(jié)果表明，在64個(gè)基站天線和16個(gè)用戶天線數(shù)的前提下，所提算法檢測(cè)性能優(yōu)于傳統(tǒng)的GS迭代方法和JA?GS方法。

1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

為了簡(jiǎn)化分析過(guò)程，用戶設(shè)備為單天線的單小區(qū)大規(guī)模MIMO上行鏈路系統(tǒng)模型。假設(shè)基站接收天線數(shù)量為M根，用戶傳輸天線數(shù)量為N個(gè)［11］。通常有M?N，例如M=64和N=16。系統(tǒng)原型如圖1所示。其中，發(fā)射端信號(hào)xm經(jīng)過(guò)用戶天線N向基站天線傳輸，基站端天線M接收到的信號(hào)經(jīng)過(guò)解調(diào)后得到y(tǒng)m。

圖1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型Fig.1 Massive MIMO system model

基站接收的上行信號(hào)為

式中：hm表示用戶n到基站端的信道列矢量，信道矩陣H=[h1，h2，h3，…，hm，…，hN，]T，維度為M×N；x=[x1，x2，x3，…，xm，…，xN]T為發(fā)射信號(hào)向量，xm為第m個(gè)用戶的傳輸符號(hào)，ym代表接收端第m根天線接收的接收信號(hào)。在本文中zm是服從均值為0，協(xié)方差矩陣為σ2z I的高斯分布。本文假設(shè)傳輸信號(hào){xm}是平均能量歸一化的發(fā)射向量。

為避免復(fù)數(shù)運(yùn)算，將模型轉(zhuǎn)換為等效的實(shí)值模型為［12］

2 信號(hào)檢測(cè)算法

2.1 MMSE檢測(cè)算法

在massive MIMO系統(tǒng)模型中，MMSE檢測(cè)算法檢測(cè)性能較為優(yōu)異，即通過(guò)簡(jiǎn)單的線性操作就可將發(fā)送信號(hào)x從接收端接收到的信號(hào)y中恢復(fù)出來(lái)。為了恢復(fù)發(fā)送的信號(hào)，使用加權(quán)濾波矩陣WMMSE來(lái)實(shí)現(xiàn)信道的逆轉(zhuǎn)［7］。MMSE算法中發(fā)送信號(hào)的接收估計(jì)值可以表示為［13］

式中：I為單位矩陣，HH為H的對(duì)稱轉(zhuǎn)置矩陣，WMMSE為MMSE檢測(cè)算法的濾波矩陣，匹配濾波器輸出可以表示為yMF=HHy。算法的復(fù)雜度主要體現(xiàn)在矩陣的求逆方面。因此在實(shí)際的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，MMSE檢測(cè)算法很少在實(shí)際當(dāng)中應(yīng)用。大部分massive MIMO低復(fù)雜度檢測(cè)算法的原理就是通過(guò)降低求矩陣的逆的復(fù)雜度來(lái)降低MMSE整體算法的復(fù)雜度。

2.2 高斯?賽德?tīng)枡z測(cè)算法

線性檢測(cè)算法如GS等在massive MIMO系統(tǒng)中具有更優(yōu)異的檢測(cè)性能，將式（4）寫成-1yMF，通過(guò)變換可得yMF=?，這樣可以避免矩陣求逆問(wèn)題，其中A=HHH+

在massive MIMO系統(tǒng)中，當(dāng)基站天線數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)用戶天線數(shù)量時(shí)，信道逐漸趨于正交［14］，MMSE濾波矩陣為對(duì)稱正定矩陣，且對(duì)角占優(yōu)。因此，可將A分解為

在高斯?賽德?tīng)枡z測(cè)方法中，信號(hào)可以估計(jì)為［11］

式中：D、L和U分別為A的對(duì)角矩陣、嚴(yán)格下三角矩陣和嚴(yán)格上三角矩陣。

目前我國(guó)學(xué)者著力探究大學(xué)生不合理信念與學(xué)生的生理和心理健康之間存在的聯(lián)系，并獲得了豐富的成果。但是針對(duì)不合理信念在學(xué)科教育層面中的研究明顯不足，尤其是像酒店管理這樣的潛力學(xué)科，在提升人才培養(yǎng)質(zhì)量方面表現(xiàn)出持續(xù)性的疲軟現(xiàn)象。

對(duì)于高斯?賽德?tīng)柕椒?，迭代的初始值在收斂過(guò)程中很關(guān)鍵。傳統(tǒng)的初始值為零向量，雖然簡(jiǎn)單但遠(yuǎn)非真正的初始化方案，因此需要一種復(fù)雜程度低且性能高的初始化方法。利用矩陣A正定，且對(duì)角占優(yōu)，可由D-1代替A-1，則相比A可以減少濾波矩陣求逆的計(jì)算復(fù)雜度。根據(jù)式（3），初始解可以寫成

后續(xù)的高斯?賽德?tīng)柕裱剑?）。

2.3 雅克比算法

雅可比迭代是一種求解線性方程組的迭代求解方法。Jacobi迭代算法由于在各常見(jiàn)迭代算法中收斂速度比較慢，相比于GS，JA檢測(cè)算法更容易實(shí)現(xiàn)，但是檢測(cè)速度沒(méi)有GS快，雅克比迭代算法的基本原理是通過(guò)對(duì)濾波矩陣A進(jìn)行LU分解，每一次的迭代結(jié)果都代入下一次迭代中，通過(guò)JA算法進(jìn)行還原后接收信號(hào)的估計(jì)值為

式中：雅克比濾波矩陣為D-1(U+L)；k表示迭代次數(shù)。

2.4 基于雅克比預(yù)迭代的高斯?賽德?tīng)柗椒?/h3>

文獻(xiàn)［15］利用JA和GS方法設(shè)計(jì)了一種低復(fù)雜度的大規(guī)模MIMO上行鏈路檢測(cè)器。圖2給出了所提出的基于JA預(yù)迭代的GS的檢測(cè)器的一般框圖。檢測(cè)器包括初始化和最終估計(jì)兩個(gè)階段。JA?GS的原理是利用雅克比容易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，將JA迭代的結(jié)果作為高斯?賽德?tīng)柕某跏贾?，這樣可以提高高斯?賽德?tīng)柕氖諗克俣群蜋z測(cè)性能。當(dāng)JA?GS的檢測(cè)性能接近MMSE的檢測(cè)性能時(shí)，需要迭代4次以上。

圖2 基于JA-GS檢測(cè)器Fig.2 Detector based on JA-GS

將式（7）的結(jié)果應(yīng)用到式（8）中：

3 基于雅克比預(yù)迭代的改進(jìn)高斯?賽德?tīng)柗椒?/h2>

3.1 帶狀矩陣

定義1帶狀矩陣表示在矩陣A中，所有的非零元素都集中在以主對(duì)角線為中心上下w元素的帶狀區(qū)域中。其中w小于矩陣的維度。

由A=HHH+σ2I可知，A是一個(gè)N×N的方陣。那么帶狀矩陣Dw可以寫成

式中Ai，j為A中的元素。那么式（5）可以寫成

式中Lw和Uw為Aw-Dw的嚴(yán)格下三角矩陣和嚴(yán)格上三角矩陣。當(dāng)w=1時(shí)，D1為

3.2 JA?IGS算法

JA?IGS方法主要利用IGS來(lái)進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)。將第一次雅克比迭代的值作為整個(gè)系統(tǒng)的初始解。改進(jìn)后的JA?IGS方法相比于GS和JA?GS收斂速度更快，檢測(cè)性能更優(yōu)異。

通過(guò)線性變換，對(duì)傳統(tǒng)的GS方法做出改進(jìn)，利用式（12）來(lái)更新yMF=A x?，接收到的信號(hào)yMF可以寫成

利用雅可比預(yù)迭代器來(lái)優(yōu)化IGS迭代的初始解，其中IGS的初始解是x?1，這樣可以提高IGS的收斂速度。

JA?IGS算法流程圖如圖3所示。綜合上文的描述，所提的JA?IGS的算法如下。

圖3 JA-IGS算法流程圖Fig.3 JA-IGS algorithm flow chart

算法JA?IGS檢測(cè)方法

4 復(fù)雜度分析及收斂性分析

4.1 算法復(fù)雜度

本文主要比較了JA?IGS算法的復(fù)雜度和一些線性檢測(cè)算法的復(fù)雜度。相比而言，乘法運(yùn)算的計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)比加法高［16］，所以算法的復(fù)雜度通常是比較乘法運(yùn)算的次數(shù)和相同迭代次數(shù)時(shí)所需要做的乘法次數(shù)。表1列出了JA?IGS算法、傳統(tǒng)的GS、JA和JA?GS算法的復(fù)雜度。其中，N代表用戶天線數(shù)量，M代表基站天線數(shù)量，k代表迭代次數(shù)。

表1 不同檢測(cè)方法計(jì)算的復(fù)雜度Table 1 Computational complexity of different de?tection methods

4.2 收斂性分析

定理如果A是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，那么高斯?塞德?tīng)柗椒ǖ母倪M(jìn)對(duì)于初始逼近的任意選擇都是收斂的。

假設(shè)x*為線性系統(tǒng)yMF=?的實(shí)解。因?yàn)榫仃嘇是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的矩陣，如果x?k+1是第k+1次近似解，那么，改進(jìn)高斯?賽德?tīng)査惴ǖ氖諗啃钥梢员硎緸?/p>

5 性能仿真

為測(cè)試算法的檢測(cè)性能，本文在MATLAB平臺(tái)上仿真了JA?IGS和現(xiàn)有算法的誤碼率（Bit error rate，BER）?信噪比（Signal noise rate，SNR）曲線。本文分析了所提出的JA?IGS算法的檢測(cè)性能并和GS算法和JA?GS算法以及MMSE的檢測(cè)性能作了對(duì)比。設(shè)置仿真時(shí)的傳輸信道為不相關(guān)瑞利衰落信道，基帶信號(hào)調(diào)制方式為BPSK、QPSK、QAM，天線規(guī)模為64×16。模擬參數(shù)如表2所示。

表2 模擬參數(shù)Table 2 Simulation parameters

圖4對(duì)比了不同算法在SNR=12 dB時(shí)的計(jì)算復(fù)雜度，可以看出JA算法的復(fù)雜程度最低。JA和GS都是迭代3次且復(fù)雜度基本相同，為了平衡檢測(cè)性能與計(jì)算復(fù)雜度之間的矛盾，本文提到的JA?IGS算法的復(fù)雜度要比GS和JA?GS的復(fù)雜度稍微高一點(diǎn)。MMSE的復(fù)雜度最高，由于MMSE需要矩陣求逆運(yùn)算，因此MMSE的復(fù)雜度最高。

圖4 天線數(shù)量與算法計(jì)算復(fù)雜度的關(guān)系Fig.4 Relationship between the number of antennas and the computational complexity of the algorithm

表3對(duì)比了不同算法在SNR=12 d B時(shí)，每比特實(shí)乘運(yùn)算次數(shù)?？梢钥闯?，MMSE的每比特實(shí)乘次數(shù)最高、其次是JA?IGS、JA?GS、GS、JA。表4對(duì)比了JA?IGS算法在不同用戶天線數(shù)下的復(fù)雜度。在基站天線數(shù)量不變的前提下，隨著用戶數(shù)量不斷增加，JA?IGS算法的復(fù)雜度不斷升高。

表3 SNR=12 dB時(shí)，不同算法在64×16天線數(shù)量前提下的每比特實(shí)乘次數(shù)Table 3 Actual multiplication times per bit under the premise of 64×16 antennas for different algorithms when SNR=12 d B

表4 在SNR=12 dB時(shí)，不同用戶天線數(shù)JA?IGS算法的實(shí)乘次數(shù)Table 4 Actual multiplication times of the JA?IGS algorithm for different user antenna numbers when SNR=12 dB

圖5展示了massive MIMO系統(tǒng)規(guī)模為64×16，在64QAM調(diào)制下，所提算法的檢測(cè)性能比較。其中GS、JA、JA?GS都是迭代3次，JA?IGS迭代次數(shù)分別為k=1和k=2，其中k是迭代次數(shù)。根據(jù)仿真結(jié)果表明，JA?IGS算法隨著迭代次數(shù)的增加，算法的檢測(cè)性能也在不斷提高。以GS算法BER曲線作為對(duì)比參照，由圖5可知，迭代次數(shù)為1時(shí)，JA?IGS算法的性能和GS算法的性能相比，傳統(tǒng)的GS算法性能更優(yōu)。當(dāng)?shù)?次時(shí)，本文提出的JA?IGS算法的檢測(cè)性能比迭代3次的JA、GS和JA?GS檢測(cè)性能有明顯的優(yōu)勢(shì)，在BER=10-3時(shí)，相比于GS和JA?GS，分別有2 d B和0.9 dB的優(yōu)勢(shì)，在BER=10-4時(shí)，相比于JA?GS有2 dB的增益。JA?IGS利用了改進(jìn)后的高斯?賽德?tīng)査惴?，它的收斂速度和檢測(cè)性能是更優(yōu)于JA、GS和JA?GS檢測(cè)算法。雖然JA?IGS算法檢測(cè)性能較好，但是JA?IGS算法的復(fù)雜度是要比JA、GS和JA?GS要高。

圖5 JA-IGS算法誤碼率性能比較（64×16）Fig.5 Comparison of BER performance of proposed JAIGS algorithm（64×16）

圖6展示了massive MIMO系統(tǒng)規(guī)模為128×16，在64QAM調(diào)制下，所提算法的檢測(cè)性能比較?？梢钥闯觯琈MSE算法的性能最好，其次是迭代2次的JA?IGS算法，最差的是JA算法。迭代3次的JA?IGS算法和MMSE算法的性能較為接近圖7展示了所提JA?IGS算法在不同基站天線數(shù)、16個(gè)用戶天線數(shù)和64QAM調(diào)制方式下，且迭代次數(shù)都是2時(shí)的檢測(cè)性能比較。由圖7可知，在用戶天線數(shù)量都是16的前提下，隨著基站天線數(shù)量增加，JA?IGS算法的檢測(cè)性能也隨之提高。當(dāng)SNR=16 d B時(shí)，在128×16的天線配置下，誤碼率達(dá)到10-5量級(jí)，相比之下，SNR=16 dB時(shí)，在64×16的天線配置下，誤碼率只有10-3量級(jí)，在32×16的天線配置下，誤碼率只有10-2量級(jí)，天線配置為16×16的BER只有10-1量級(jí)。由于基站天線數(shù)量變多，空間自由度也隨之提高，并且提高信號(hào)的傳輸效率和系統(tǒng)容量。

圖6 JA-IGS算法誤碼率性能比較（128×16）Fig.6 Comparison of BER performance of proposed JA-IGS algorithm（128×16）

圖7 不同基站天線數(shù)，JA-IGS算法的誤碼率性能比較Fig.7 Comparison of BER performance of proposed JAIGS algorithm with different numbers of base sta?tion antenna

圖8展示了在64個(gè)基站天線、16個(gè)用戶的配置下，不同調(diào)制方式對(duì)JA?IGS算法檢測(cè)性能的影響。仿真結(jié)果表明，該算法在BPSK調(diào)制下性能表現(xiàn)更優(yōu)異，其他性能表現(xiàn)依次是QPSK，16QAM，64QAM。在抗加性高斯白噪聲方面BPSK性能最好。由于64QAM調(diào)制方法的判決，取樣點(diǎn)比BPSK、QPSK、16QAM都要多，所以增大了其誤碼率，導(dǎo)致它性能最差。

圖8 BPSK、QPSK、16QAM和64QAM調(diào)制下的JA-IGS性能比較Fig.8 Comparison of BER performance of proposed JA-IGS algorithm with different modulation schemes (BPSK, QPSK, 16QAM and 64QAM)

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種新的大規(guī)模多輸入多輸出系統(tǒng)的上行鏈路用戶信號(hào)檢測(cè)算法。為了提高算法的收斂速度，本文采用具有更快收斂速度的JA?IGS迭代算法。該方法通過(guò)改進(jìn)傳統(tǒng)的GS迭代方法，且引入JA迭代作為IGS的初始值，仿真結(jié)果表明，JA?IGS算法獲得了較優(yōu)的誤碼率性能，和傳統(tǒng)的大規(guī)模多輸入多輸出檢測(cè)算法相比有明顯的的優(yōu)勢(shì)。隨著基站天線數(shù)量的增加，該算法的性能得到改善，隨著調(diào)制階數(shù)的增加，性能也隨之下降。