杜潤梅, 梅海婷, 陳博遠

(長春工業(yè)大學 數學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130012)

偏微分方程一直是應用數學領域十分活躍的研究課題之一[1],拋物方程是偏微分方程中重要的一類。伴隨科技的發(fā)展,拋物方程控制理論與其他學科聯系越來越緊密。人們對非退化拋物方程的可控性問題進行了廣泛研究[2-5],但是對退化拋物方程的研究較少[6-7]。文獻[8]證明了如下退化拋物方程的零可控性:

ut-(xαux)x=fχω, (x,t)∈(0,1)×(0,T),

u(x,0)=u0(x),x∈(0,1),

其中,f∈L2((0,1)×(0,T)),u0∈L2(0,1),ω=(x0,x1)??(0,1),χω是ω上的特征函數。

文中考慮如下方程的零可控性問題：

ut-(xαux)x=F+fχω,(x,t)∈(0,1)×(0,T),

(1)

(2)

(3)

u(x,0)=u0(x),x∈(0,1),

(4)

類似文獻[8],可以證明問題(1)～問題(4)是適定的。

引理1對于任意u0∈L2(0,1), 問題(1)～問題(4)有惟一解

并且滿足

其中,C是一個與α、u0、f和F無關的正常數。此外,如果u0∈D(A),

H1(0,T;L2(0,1)),

有

其中,C是一個與α、u0、f和F無關的正常數。

為了得到問題(1)～問題(4)的零可控性,需要考慮其對偶問題,

vt+(xαvx)x=0, (x,t)∈(0,1)×(0,T),

(5)

(6)

(7)

v(x,T)=vT(x),x∈(0,1),

(8)

其中,vT∈L2(0,1)。

由文獻[8]可以得到如下定理。

其中,

引理3(可觀測性不等式)[9]設T>0,ω是(0,1)上非空子區(qū)間,則存在常數M2>0,問題(5)～問題(8)的解滿足

由文獻[2]可以得到如下命題。

命題1考慮最優(yōu)控制問題

f∈L2((0,1)×(0,T)),

(vε)t+(xα(vε)x)x=0,(x,t)∈(0,1)×(0,T),

(9)

(10)

(11)

(12)

定理1(零可控性) 令F0∈L2((0,1)×(0,T))使得

幾乎處處(x,t)∈(0,1)×(0,T),其中,R≥R0。則對任意u0∈D(A),存在f∈L2((0,1)×(0,T)),使得問題(1)～問題(4)的解u滿足u(x,T)≡0，并且

‖u‖L2((0,1)×(0,T))≤

C(‖u0‖L2(0,1)+‖F0‖L2((0,1)×(0,T))),

式中：C——常數。

證明 由命題1,J(f)存在極小值點fε,相應于fε的問題(1)～問題(4)的解記為uε,則有

(uε)t-(xα(uε)x)x=F+fεχω,

(13)

因為u0∈D(A),由定理1(uε)t∈L2((0,1)×(0,T)),xα((uε)x)x∈L2((0,1)×(0,T))。在式(13)兩邊同時乘vε,其中,vε是問題(1)～問題(4)的解,并在(0,1)×(0,T)上積分，

(14)

在式(9)兩邊同時乘uε,并在(0,1)×(0,T)上積分

(15)

對式(15)分部積分得

(16)

(17)

把式(16)和式(17)代入式(15),得

上式代入式(14),得

(18)

由引理2得

由引理3得,

存在f∈L2((0,T)×ω),使得fε→f,在L2((0,T)×ω)中弱收斂,定義

由弱解定義,可證明u是相應于f*的問題(1)～問題(4)的解,由L2范數的弱下半連續(xù)性可知，

‖f*‖L2((0,1)×(0,T))≤

C(‖u0‖L2(0,1)+‖F0‖L2((0,1)×(0,T))),

且

定理證畢。