朱婭梅, 撒蘭應(yīng)

(1.華東師范大學(xué) 考試與評(píng)價(jià)研究院, 上海 普陀 200062； 2.昭通學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院, 云南 昭通 657000)

0 引言

領(lǐng)域建模是指課程知識(shí)的組織和表示，是對(duì)領(lǐng)域知識(shí)的抽象表示，是理想的專家知識(shí)結(jié)構(gòu)，它揭示出領(lǐng)域知識(shí)內(nèi)部的各組成元素及元素之間的關(guān)系[1].領(lǐng)域模型的構(gòu)建須有利于知識(shí)資源的表示、管理、查找、評(píng)價(jià)、共享、交互導(dǎo)學(xué)，是自適應(yīng)呈現(xiàn)知識(shí)資源的基礎(chǔ).一些經(jīng)典的學(xué)科領(lǐng)域建模案例有ALEKS的知識(shí)空間圖、可汗學(xué)院的知識(shí)星空?qǐng)D以及我國的學(xué)生網(wǎng)課后練習(xí)的知識(shí)地圖.領(lǐng)域模型可以被分為集合模式和網(wǎng)絡(luò)模式.集合模式，也叫作向量模型，由沒有內(nèi)部結(jié)構(gòu)的獨(dú)立的知識(shí)組件的集合形成，如目前已有的使用Q矩陣的60多種認(rèn)知診斷模型.網(wǎng)絡(luò)模式的領(lǐng)域模型則主要是通過可視化技術(shù)顯示知識(shí)點(diǎn)及相互關(guān)系，如概念圖、知識(shí)圖譜、知識(shí)地圖、學(xué)習(xí)空間理論等.二次函數(shù)的領(lǐng)域模型屬于網(wǎng)絡(luò)模式，筆者從宏觀的角度去梳理和顯示知識(shí)點(diǎn)及相互關(guān)系.從宏觀上統(tǒng)籌梳理某些特定單元的教學(xué)任務(wù)能更好地設(shè)計(jì)教學(xué)幫助學(xué)生理解和運(yùn)用本單元的具體知識(shí)[2].教育學(xué)認(rèn)為，凡是有利于學(xué)生學(xué)習(xí)和理解的教學(xué)順序都是值得接納的[3].構(gòu)建二次函數(shù)的領(lǐng)域模型是方法性和策略性的思考，也符合學(xué)生的認(rèn)知需求和整個(gè)函數(shù)體系的自然發(fā)展，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的作用.

二次函數(shù)是初中重要的非線性代數(shù)內(nèi)容之一.對(duì)中學(xué)生來講，也許它是抽象的，但在高等數(shù)學(xué)中總是把它作為一種直觀，一種理解其他數(shù)學(xué)概念的模型，甚至在研究其他函數(shù)時(shí)，還經(jīng)常用二次函數(shù)來逼近[4].在函數(shù)綜合問題的教學(xué)過程中，要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，更要注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透[5].運(yùn)用建模思想解決復(fù)雜的二次函數(shù)面積問題可以事半功倍[6].通過建立模型、分析模型、求解模型、解釋規(guī)律等過程，引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)是一個(gè)好的學(xué)習(xí)途徑[7].要關(guān)注二次函數(shù)模型的構(gòu)建形式、解析思路、剖解方法，總結(jié)對(duì)應(yīng)模型問題的特點(diǎn)，形成自我解題策略[8].“滲透函數(shù)思想”“重視函數(shù)思想方法的應(yīng)用”已成數(shù)學(xué)教師的共識(shí)[9].綜上所述，以往對(duì)于二次函數(shù)的研究主要集中在教學(xué)策略和解題方法方面，近年來重點(diǎn)關(guān)注模型思想和函數(shù)思想運(yùn)用等方面，但對(duì)二次函數(shù)的領(lǐng)域模型研究較少.筆者旨在通過二次函數(shù)的領(lǐng)域建?；卮鹨韵氯齻€(gè)研究問題：

(1)二次函數(shù)的元素：有哪些基本的微小技能和高階技能？體現(xiàn)出對(duì)哪些核心素養(yǎng)的強(qiáng)調(diào)？

(2)二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)：有什么樣的學(xué)習(xí)主線？這些屬性之間有怎樣的路徑關(guān)系？

(3)二次函數(shù)的表征：可用怎樣的試題顯性化這些微小技能，高階技能和核心素養(yǎng)？

1 二次函數(shù)的領(lǐng)域模型

從橫向上看，代數(shù)包括三種核心活動(dòng)：一般化，變換，元水平活動(dòng)[10].一般化即情境，性質(zhì)，模式，和關(guān)系被代數(shù)表征或者解釋，一般包括，為代數(shù)對(duì)象如代數(shù)表達(dá)式或者代數(shù)方程創(chuàng)建意義.變換即代數(shù)操作，一般包括代數(shù)式化簡(jiǎn)，方程求解，聚焦于等價(jià)和方程的符號(hào)求解.元水平活動(dòng)不是特定與代數(shù)相關(guān)，而是與使用代數(shù)之目的和情境有關(guān)，例如證明，求解問題，預(yù)測(cè)等.本文對(duì)原來的一般化和變換的含義作了一定的拓展.

從縱向上看，在認(rèn)知水平上，教師本質(zhì)性知識(shí)有三個(gè)具體標(biāo)準(zhǔn)：正確，意義，聯(lián)系.教師首先必須有正確的學(xué)科知識(shí)，其次理解這些學(xué)科知識(shí)的意義，最后明白相互之間的聯(lián)系.因此，在發(fā)展完全的，組織良好的概念性理解的知識(shí)包中，包含三種類型的知識(shí)，過程性課題，概念性課題，以及該科目的基本原理[11].根據(jù)代數(shù)的三種核心活動(dòng)和教師知識(shí)水平劃分得到下面的二次函數(shù)的領(lǐng)域模型框架(該框架在表格中按每個(gè)認(rèn)知擴(kuò)展出細(xì)節(jié)指標(biāo)列表).

表1 初中數(shù)學(xué)教師的二次函數(shù)理解評(píng)價(jià)框架

二次函數(shù)的領(lǐng)域模型框架從形態(tài)上分為三個(gè)部分，對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)活動(dòng)的三種類型：概念理解，技能掌握和問題解決，每個(gè)部分又包括數(shù)學(xué)內(nèi)容和認(rèn)知活動(dòng)兩個(gè)視角.其中，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)為整個(gè)二次函數(shù)框架的基石，而其中所涉及的認(rèn)知活動(dòng)主要是變換，即純粹的數(shù)學(xué)符號(hào)操作，而不關(guān)心每個(gè)操作對(duì)象背后的現(xiàn)實(shí)意義.二次函數(shù)建模是整個(gè)框架的現(xiàn)實(shí)意義，其中所涉及的認(rèn)知活動(dòng)主要是一般化，即尋找二次函數(shù)與現(xiàn)實(shí)情境的對(duì)應(yīng).二次函數(shù)與其他數(shù)學(xué)結(jié)合的綜合應(yīng)用是整個(gè)框架的升華，其中所涉及的主要認(rèn)知活動(dòng)是元水平活動(dòng)，即與其他數(shù)學(xué)知識(shí)如一次函數(shù)，三角形等組合.

1.1 一般化

函數(shù)思想的數(shù)學(xué)表征反映了函數(shù)的基本性質(zhì)、外部特征以及應(yīng)用功能[12].一般化是數(shù)學(xué)里為表征的數(shù)學(xué)世界建立意義，并用數(shù)學(xué)模型解釋具體情境的過程.學(xué)生如果學(xué)會(huì)這種一般化的思維模式，將來就可以迅速地遷移學(xué)會(huì)更多的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，并用類比的方法處理它們.二次函數(shù)有五種表征形式[13]，一般化即是從這五種表征形式中用對(duì)應(yīng)或共變的視角識(shí)別出二次函數(shù)關(guān)系，并靈活地將一種表征轉(zhuǎn)換為另一種表征，如表2所示.

表2 二次函數(shù)一般化行為指標(biāo)

函數(shù)具有兩種視角：兩個(gè)變量之間的共變(隨著時(shí)間前進(jìn)，樹在變高)；兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)(一個(gè)一個(gè)的數(shù)物體，建立基數(shù)概念).共變是兩個(gè)量在變化，而且它們的變化同時(shí)相關(guān).二次函數(shù)的對(duì)應(yīng)觀強(qiáng)調(diào)以對(duì)應(yīng)視角關(guān)注輸入與輸出之間的二次式對(duì)應(yīng)；二次函數(shù)的共變觀強(qiáng)調(diào)以共變視角關(guān)注輸出隨輸入的二階常數(shù)變化率.發(fā)展相互補(bǔ)充的共變和對(duì)應(yīng)函數(shù)觀點(diǎn)，以及聯(lián)系函數(shù)的各種表征，是函數(shù)一般化的重點(diǎn).

表3 數(shù)字對(duì)應(yīng)表(1-5)

如表3所示，對(duì)應(yīng)觀關(guān)注的是數(shù)和被對(duì)應(yīng)的數(shù)字之間的關(guān)系，1、2、3、4、5依次對(duì)應(yīng)1×5、2×6、3×7、4×8、5×9，那么，如果用n表示序數(shù)的話，對(duì)應(yīng)的第n個(gè)數(shù)字是n×(n+4).

共變觀關(guān)注的是數(shù)字的變化和跟著變化的數(shù)字變化規(guī)律，如當(dāng)序數(shù)每次增加1個(gè)單位，對(duì)應(yīng)的第二個(gè)數(shù)不是增加相同的倍數(shù)，因而是非線性的.從表3中可知5到12加了7，12到21加了9，21到32加了11，32到45加了13，而變化率的變化率(即二階變化率)是常數(shù)2，因此是二次函數(shù).

當(dāng)一個(gè)人在處理一個(gè)函數(shù)的一種表征時(shí)，有三種組件元素可以識(shí)別：一個(gè)輸入，一些執(zhí)行在輸入上的變換以及輸出(被變換后的輸入).研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生表征轉(zhuǎn)換之間具有方向性，很容易將代數(shù)表征轉(zhuǎn)換為數(shù)值表征或圖像表征(取值，描點(diǎn)作圖)，而將現(xiàn)實(shí)情境尤其是結(jié)構(gòu)不良好的現(xiàn)實(shí)情境或者數(shù)值表格和拋物線一般化(解釋)為二次函數(shù)關(guān)系時(shí)具有很大困難，而在將代數(shù)表征轉(zhuǎn)化(構(gòu)造)為現(xiàn)實(shí)情境時(shí)也在方法的多樣性上面臨更大困難.

1.2 變換

把二次函數(shù)的四種解析式聯(lián)系起來的是數(shù)學(xué)的代數(shù)變換，即一般式，頂點(diǎn)式，交點(diǎn)式，和對(duì)稱式，其中，交點(diǎn)式不一定都有.把一簇簇有相似結(jié)構(gòu)的二次函數(shù)統(tǒng)一起來是數(shù)學(xué)的幾何變換，原先它們只是經(jīng)歷了平移，軸對(duì)稱和中心對(duì)稱變換.數(shù)形變換的對(duì)應(yīng)則把二次函數(shù)的代數(shù)變換和幾何變換統(tǒng)一了起來，實(shí)現(xiàn)幾何變換和代數(shù)變換的相互補(bǔ)充注解.

二次函數(shù)的變換實(shí)質(zhì)是二次函數(shù)語言的變換.二次函數(shù)語言有指標(biāo)和含義兩個(gè)維度[10]，指標(biāo)如果是數(shù)字，函數(shù)或者邏輯判斷值，含義指具體操作.在等價(jià)的代數(shù)操作中，指標(biāo)一直沒變，但是具體操作卻向著簡(jiǎn)化和凸顯指標(biāo)的方向進(jìn)行.在圖像變換中，圖像的形狀大小(指標(biāo))一直沒變，但是圖像的坐標(biāo)(含義)變了.因此，二次函數(shù)的變換就是二次函數(shù)的代數(shù)表達(dá)，圖像表達(dá)以及二者變換的對(duì)應(yīng)，在指標(biāo)不變的情況下，將含義朝著問題解決有利的方向進(jìn)行(見表4).這里涉及三種語言變換，兩個(gè)維度.

表4 二次函數(shù)變換行為指標(biāo)

教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生掌握二次函數(shù)語言的變換，使得學(xué)生不再認(rèn)為代數(shù)是沒有意義的規(guī)則對(duì)沒有意義的符號(hào)的數(shù)學(xué)應(yīng)用.教會(huì)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)符號(hào)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)符號(hào)可以看作一種象形文字，具有非線性，操作性和結(jié)構(gòu)性.尤其重要的是其結(jié)構(gòu)性使得學(xué)生從整體去看待一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，這是從過程性操作向?qū)ο笮愿拍钷D(zhuǎn)化的關(guān)鍵步驟.但是，在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生對(duì)變換的理解非常有困難，尤其是數(shù)形變換對(duì)應(yīng).新手教師往往將變換處理成學(xué)生的操作口訣，學(xué)生只要正確執(zhí)行口訣就能完成變換.

1.3 元水平活動(dòng)

元水平活動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里比較高階的思維.學(xué)生從關(guān)注過程(操作性思維)到把過程視為一種對(duì)象(結(jié)構(gòu)性思維)要先有程序性操作，緊接著形成概念再形成可操作的對(duì)象，這時(shí)才能在復(fù)雜的情境中靈活地把對(duì)象作為一種工具參與復(fù)雜的問題解決.元水平活動(dòng)需要學(xué)生把二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)整合為一個(gè)靈活的對(duì)象并作為工具在復(fù)雜的幾何問題情境中用代數(shù)解決幾何問題，所涉及的學(xué)科基本原理主要是解析幾何思想.代數(shù)使我們可以用符號(hào)系統(tǒng)表征問題的結(jié)構(gòu)，然后從句法水平實(shí)施運(yùn)算尋找求解，而不考慮它的語義水平.句法水平指符號(hào)的組織和變換，語義水平指含義.概括地講，二次函數(shù)元水平主要有兩種行為指標(biāo)，分別是幾何的代數(shù)表達(dá)和代數(shù)解決.具體如表5、表6所示.

表5 二次函數(shù)元水平行為指標(biāo)

表6 二次函數(shù)的領(lǐng)域模型框架行為指標(biāo)

2 二次函數(shù)的領(lǐng)域模型的評(píng)價(jià)案例解讀

通過向在職教師和職前教師進(jìn)行測(cè)試并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和分析，將測(cè)試結(jié)果呈現(xiàn)為訪談錄音“我如何思考”“我如何向?qū)W生解釋”以及教師作答的拍照.

案例1一般化

學(xué)生在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和二次函數(shù)的直觀表示：一個(gè)維度的均勻增長(zhǎng)是一次函數(shù)，兩個(gè)維度的均勻增長(zhǎng)是二次函數(shù)，如圖1所示.

圖1 一般化圖形增長(zhǎng)模式

一個(gè)學(xué)生覺得圖1雖然是兩個(gè)維度上的均勻增長(zhǎng)，但他無法寫出這個(gè)圖形增長(zhǎng)模式的解析式，你如何解答學(xué)生的這個(gè)問題？盡量列舉各種解法.

圖2 較復(fù)雜圖形增長(zhǎng)模式

案例解析:如圖1和圖2所示，概括圖形增長(zhǎng)模式有兩種視角和策略，一種是對(duì)應(yīng)的視角，即看第n個(gè)圖對(duì)應(yīng)的數(shù)字是多少，一種是共變的視角，即兩列數(shù)據(jù)共變?cè)鲩L(zhǎng).圖1是一個(gè)結(jié)構(gòu)良好的圖形，可以很容易看出圖形增長(zhǎng)由兩部分組成，一部分是正方形部分，由邊長(zhǎng)為1到邊長(zhǎng)為2到邊長(zhǎng)為3，因此正方形面積是n2，然后還有一部分是線性增長(zhǎng)部分，每次都增加1，所以整個(gè)圖形增長(zhǎng)的變化模式是n2+n.從對(duì)應(yīng)的視角2，6，12，20可知不是線性增長(zhǎng)，而是n2+n的增長(zhǎng)模式.教師可以從兩個(gè)角度去分析，對(duì)應(yīng)和共變視角，對(duì)應(yīng)視角是1*2，2*3，3*4，4*5，因此是n2+n.共變視角，可以將圖2轉(zhuǎn)換成正方形增長(zhǎng)部分和線性增長(zhǎng)部分.

對(duì)于一般化二次函數(shù)關(guān)系這個(gè)教學(xué)問題，職前教師和在職教師一般會(huì)達(dá)到不同水平的理解.水平一的教師期待學(xué)生掌握這個(gè)過程：設(shè)出自變量，列出函數(shù)關(guān)系式；設(shè)出函數(shù)解析式，列出方程(組)求參.這種教學(xué)對(duì)于學(xué)生初步學(xué)習(xí)是非常有幫助的.水平二的教師希望學(xué)生注意到由已知解析式求值到由值待求解析式這個(gè)視角，即這個(gè)函數(shù)關(guān)系已是兩個(gè)維度的均勻增長(zhǎng)，函數(shù)關(guān)系式由一次變?yōu)榱硕?水平三的教師希望學(xué)生領(lǐng)悟其中的學(xué)科基本原理，即二次函數(shù)的本質(zhì)：對(duì)應(yīng)+共變+多策略.如果學(xué)生拓展出對(duì)應(yīng)和共變的視角，就會(huì)靈活使用多種策略來解決這個(gè)問題.

案例2變換

y=-2x2+5的部分圖像如圖3所示.請(qǐng)?jiān)诜娇蛑刑钊肓硪粭l拋物線最可能的解析式.請(qǐng)解釋你的理由，并說明你解決問題的思路和過程[14].

圖3 變換水平測(cè)試題

對(duì)于這個(gè)問題，教師的認(rèn)知水平不同.水平一的教師希望學(xué)生按照口訣執(zhí)行正確的變換，比如二次函數(shù)四種解析式之間的互化(一般式，頂點(diǎn)式，交點(diǎn)式，和對(duì)稱式)，三個(gè)表征之間的對(duì)應(yīng)(解析式，表格，圖像)，教師會(huì)用一些口訣幫助學(xué)生記憶操作過程，這種過程性的理解可以幫助學(xué)生通過練習(xí)迅速掌握，是初學(xué)者的很好腳手架.水平二的教師希望學(xué)生有更深入的概念性的理解，例如，代數(shù)、幾何和數(shù)形變換.促使學(xué)生在沒有口訣時(shí)嘗試分析兩個(gè)圖像的幾何變換關(guān)系，得到代數(shù)解析式的變換關(guān)系，從而由一個(gè)解析式變換得到另外一個(gè)解析式.水平三的教師涉及對(duì)學(xué)科基本原理的理解：坐標(biāo)表征+變換+多策略，二次函數(shù)本質(zhì)是用坐標(biāo)的一般性表達(dá)二次變化.教師會(huì)教學(xué)生用一般性的坐標(biāo)設(shè)出待求拋物線上的點(diǎn)，通過坐標(biāo)變換關(guān)系代入已知拋物線從而解得待求拋物線的解析式；或者根據(jù)幾何變換的關(guān)系對(duì)已知拋物線的解析式作對(duì)應(yīng)變換直接得到待求拋物線的解析式.學(xué)科基本原理是學(xué)生掌握了概念性和過程性課題以后，由教師引導(dǎo)而領(lǐng)悟的學(xué)科本質(zhì)，也是那些當(dāng)學(xué)生忘記了課堂上所有學(xué)過的東西以后剩下來的東西.

案例3元水平活動(dòng)

圖4 元水平活動(dòng)水平測(cè)試題

案例解析：二次函數(shù)的元水平活動(dòng)的問題解決涉及解析幾何的基本思想.解析幾何有兩個(gè)主要步驟：(1)幾何元素和幾何關(guān)系的代數(shù)表征.(2)幾何問題的代數(shù)求解.

在水平一的教師為完成教學(xué)目標(biāo)可能把教學(xué)目標(biāo)簡(jiǎn)化為題型+對(duì)策，如，在交點(diǎn)問題里簡(jiǎn)單的總結(jié)規(guī)律為求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，可以把這兩個(gè)函數(shù)方程聯(lián)立求解.在動(dòng)點(diǎn)問題里簡(jiǎn)單的總結(jié)規(guī)律為：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)立函數(shù)關(guān)系式或方程求解.在水平二的教師可能希望學(xué)生理解和熟悉解析幾何思想.讓學(xué)生注意到連接幾何與代數(shù)的關(guān)鍵是坐標(biāo)，所以會(huì)讓學(xué)生先掌握定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)直線曲線的坐標(biāo)表示以及相應(yīng)的幾何關(guān)系的坐標(biāo)表示，緊接著與代數(shù)對(duì)應(yīng)，將幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解.在水平三的教師更希望學(xué)生注意到學(xué)科基本原理即解析幾何用坐標(biāo)連接代數(shù)系統(tǒng)和幾何系統(tǒng).在解析幾何問題中有了坐標(biāo)對(duì)應(yīng)，可同時(shí)從幾何視角和代數(shù)視角得到兩方面的解題信息和對(duì)應(yīng)，用統(tǒng)一的代數(shù)方法解決靈活多變的幾何問題.教師在學(xué)生心中播下學(xué)科基本原理的種子，學(xué)生的學(xué)習(xí)將在解析幾何的幫助下事半功倍.

3 結(jié)語

二次函數(shù)的領(lǐng)域模型構(gòu)建能夠幫助初中生深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)及函數(shù)思想的內(nèi)涵，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要價(jià)值在于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成.不僅要讓學(xué)生知道一些數(shù)學(xué)概念，掌握一些數(shù)學(xué)方法，還要讓學(xué)生感悟一些數(shù)學(xué)的基本思想，積累一些數(shù)學(xué)思維活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)[15].二次函數(shù)的領(lǐng)域模型構(gòu)建就是數(shù)學(xué)思想和函數(shù)思想的集中體現(xiàn).二次函數(shù)的領(lǐng)域模型構(gòu)建和評(píng)測(cè)案例分析為不同水平教師的二次函數(shù)教學(xué)提供了理論指導(dǎo).不同水平教師在教學(xué)中面對(duì)一般化、變換和元水平活動(dòng)的核心活動(dòng)時(shí)，應(yīng)考慮到教師本質(zhì)性知識(shí)的正確、意義和聯(lián)系三個(gè)水平，基于二次函數(shù)的領(lǐng)域模型進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施，最終在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力.