聶美軍， 張坤勇，4， 杜 偉， 李廣山， 張興其

（1.河海大學(xué)巖土工程科學(xué)研究所，南京 210024； 2.中設(shè)設(shè)計(jì)集團(tuán)股份有限公司，南京 210014；3.中車建設(shè)工程有限公司，北京 100078； 4.河海大學(xué)巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210024；5.合肥市市政設(shè)計(jì)研究總院有限公司，合肥 230001）

數(shù)值方法是計(jì)算邊坡穩(wěn)定性的常用方法［1-2］，其中應(yīng)用廣泛的有限元強(qiáng)度折減法可以計(jì)算復(fù)雜地質(zhì)的邊坡體，如非均質(zhì)邊坡［3］. 邊坡土質(zhì)的性質(zhì)對(duì)本構(gòu)模型的選擇也有影響［4-6］. 合理的本構(gòu)模型在分析邊坡破壞的發(fā)生發(fā)展過程時(shí)能考慮到挖方或填方對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響［7-9］. 因?yàn)殚_挖邊坡不同區(qū)域土體可能處于卸荷狀態(tài)或加荷狀態(tài)，所以開挖邊坡土體中的應(yīng)力和變形的分布規(guī)律也會(huì)產(chǎn)生變化，進(jìn)而會(huì)影響到邊坡的安全穩(wěn)定性，而傳統(tǒng)的極限平衡法并不能描述這種變化［10］.

邊坡典型位置的變形可以在一定程度上反映邊坡的“穩(wěn)定狀態(tài)”. 選用能夠反映開挖施工過程的合理本構(gòu)模型，是過程模擬的要求，也是采用以變形量為失穩(wěn)判據(jù)的重要前提，對(duì)于開挖工程的土體變形預(yù)測(cè)、邊坡穩(wěn)定性分析是必要的. 本文采用能夠反映開挖邊坡土體應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力歷史的本構(gòu)模型，通過有限元數(shù)值計(jì)算，對(duì)邊坡的開挖過程進(jìn)行逐級(jí)分析，并與采用極限平衡法得到的穩(wěn)定性安全系數(shù)和變形計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較.

1 劍橋系列本構(gòu)模型理論

1.1 劍橋模型

劍橋模型是由劍橋大學(xué)羅斯科（Roscoe）等在1963年提出的. 該模型以室內(nèi)三軸壓縮試驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過引入加工硬化原理和能量方程推導(dǎo)出模型的屈服方程.

劍橋模型的屈服方程為

式中：p為平均應(yīng)力；q為廣義剪應(yīng)力，它反映了土體在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下受剪的程度；σ1為大主應(yīng)力；σ2為中主應(yīng)力；σ3為小主應(yīng)力；τoct為正八面體面上的剪應(yīng)力；p0為p-q平面上的屈服面與p軸的交點(diǎn)，為初始平均應(yīng)力；M為p-q平面上破壞線的斜率，為臨界狀態(tài)應(yīng)力比.

式中：λ為壓縮指數(shù)；κ為回彈指數(shù)；e0為初始孔隙比.

因?yàn)閯蚰Ｐ筒捎孟嚓P(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，綜合式（1）～（4）即可得到劍橋模型的屈服函數(shù)f與塑性勢(shì)函數(shù)g為

1.2 修正劍橋模型

劍橋模型以εpv作為硬化參量，其屈服軌跡在p-q平面上為子彈型，屈服面上與p軸的交點(diǎn)的法向矢量并不與p軸平行，這與經(jīng)典的塑性理論是相違背的. Roscoe和Burland針對(duì)劍橋模型的這種缺陷做了修正，將劍橋模型的p-q平面上的子彈型修正為沿p軸等向硬化的橢圓曲線，這就是后來眾所周知的修正劍橋模型［11-13］.

修正劍橋模型的屈服函數(shù)f為

修正劍橋模型雖然克服了劍橋模型的缺陷，但是也有其局限性. 修正劍橋模型不能反映土體的剪脹特性、各向異性等土體實(shí)際的復(fù)雜性質(zhì)，而且修正劍橋模型和劍橋模型一樣，都是依據(jù)重塑土的室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果提出來的，只能考慮土體在初始等向固結(jié)應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度變形特性. 而實(shí)際天然土體一般都處于初始不等向固結(jié)狀態(tài)（即初始K0固結(jié)狀態(tài)），在某些實(shí)際工程中，甚至處于初始三向不等向應(yīng)力狀態(tài). 土體實(shí)際的初始應(yīng)力狀態(tài)的不同會(huì)直接導(dǎo)致土體在承受附加荷載時(shí)變形特性的不同，而修正劍橋模型并不能合理地反映出土體的這種特性.

1.3 關(guān)口-太田模型

為考慮初始K0固結(jié)引起的應(yīng)力各向異性，關(guān)口-太田于1977年提出了關(guān)口-太田模型［14］，該模型在劍橋模型的基礎(chǔ)上通過引入新的應(yīng)力比參數(shù)η*使得硬化軸得到旋轉(zhuǎn)，同時(shí)將p-q平面上的屈服面由原來的p軸等向硬化變?yōu)檠豄0軸不等向硬化. 和劍橋模型相比，關(guān)口-太田模型通過調(diào)整卸荷應(yīng)力路徑下的彈性區(qū)范圍來模擬初始各向異性的影響，因此其可以在一定程度上反映開挖卸荷的影響.

為了反映土體初始不等向固結(jié)（K0固結(jié)）引起的各向異性，關(guān)口-太田模型引入了新的應(yīng)力比參數(shù)，具體如下：

式中：σij為有效應(yīng)力張量；δij為單位方向向量；Sij為偏應(yīng)力分量.

將偏應(yīng)力張量的積表示為

式中：τoct為正八面體面上的剪應(yīng)力.

定義應(yīng)力比：

式中：η為應(yīng)力比；p0為K0固結(jié)完成時(shí)的初始平均應(yīng)力；q0為K0固結(jié)完成時(shí)的廣義剪應(yīng)力；η0為K0固結(jié)完成時(shí)的應(yīng)力比.

定義歸一化偏應(yīng)力張量：

采用ηij0=來表示初始K0固結(jié)完成時(shí)的ηij值，其中Sij0為K0固結(jié)下的偏應(yīng)力分量；ηij0為K0固結(jié)下的歸一化偏應(yīng)力張量.

在上述公式基礎(chǔ)上，定義新的應(yīng)力比參數(shù)η*為：

關(guān)口-太田模型中，塑性體積應(yīng)變由固結(jié)和剪脹引起，即：

由于黏性土具有剪脹特性，其剪脹系數(shù)可定義如下：

因此，可以得到由剪脹引起的塑性體積應(yīng)變?yōu)椋?/p>

綜合以上各式可得：

則關(guān)口-太田模型的屈服方程為：

而當(dāng)土體狀態(tài)為初始等向固結(jié)時(shí)，有

同時(shí)

從而有

式中：σij0為K0固結(jié)下的有效應(yīng)力張量.

進(jìn)而有

此時(shí)，關(guān)口-太田模型即退化為劍橋模型，其屈服方程也相應(yīng)地退化為：

1.4 修正關(guān)口-太田模型

此外，有學(xué)者［15-16］在關(guān)口-太田模型的基礎(chǔ)上將p-q平面上的子彈型屈服面進(jìn)一步修正為沿η*不等向硬化的橢圓形屈服面，進(jìn)而得出修正關(guān)口-太田模型，該模型在p-q平面地屈服方程為：

2 幾種模型的比較

2.1 不同模型對(duì)偏載作用下地基變形計(jì)算比較

關(guān)口-太田模型通過硬化軸的旋轉(zhuǎn)來反映土體的初始各向異性的思想可以簡單地理解為：對(duì)于經(jīng)過硬化軸旋轉(zhuǎn)的模型考慮了初始不等向固結(jié)由于硬化軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的塑性體積應(yīng)變，而實(shí)際土體一般處于初始K0固結(jié)狀態(tài)，因此土體在開挖卸荷應(yīng)力路徑（即廣義剪應(yīng)力q減少）下，即使平均應(yīng)力p保持不變，由于模型的硬化軸發(fā)生偏轉(zhuǎn)，土體也會(huì)產(chǎn)生一定的塑性變形.

關(guān)口-太田模型存在著和劍橋模型類似的缺陷，即當(dāng)模型退化為等向固結(jié)的劍橋模型時(shí)，會(huì)導(dǎo)致等向固結(jié)條件下仍有塑性剪應(yīng)變分量. 因此，將關(guān)口-太田模型p-q平面上的子彈型屈服面修正為橢圓形屈服面，即得到修正關(guān)口-太田模型.

采用簡單算例對(duì)以上劍橋系列彈塑性模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，算例模型如圖1所示，模型尺寸為20 m×15 m，底部約束住x和y方向的自由度，兩側(cè)只有x方向約束，y方向自由. 偏荷載分布在2.5 m范圍內(nèi)，分兩次施加，第一級(jí)荷載q1=50 kPa/m，第二級(jí)荷載q2=100 kPa/m. 計(jì)算采用的參數(shù)如表1所示.

圖1 模型尺寸及荷載Fig.1 Model size and load

表1 計(jì)算采用的參數(shù)Tab.1 Parameters used in the calculation

如圖2所示，圖中的A點(diǎn)為K0固結(jié)狀態(tài)，在廣義剪應(yīng)力減小時(shí)保持平均應(yīng)力不變，其應(yīng)力路徑為圖中A點(diǎn)到C點(diǎn)，并且在C點(diǎn)達(dá)到破壞狀態(tài). 對(duì)于修正劍橋模型（圖2a），其彈性區(qū)范圍（從A點(diǎn)到B點(diǎn)）很大，而塑性區(qū)范圍（從B點(diǎn)到C點(diǎn)）相對(duì)很小. 對(duì)于修正關(guān)口-太田模型（圖2 b），其彈性區(qū)范圍（從A點(diǎn)到B點(diǎn)）很小，而塑性區(qū)范圍（從B點(diǎn)到C點(diǎn)）相對(duì)很大. 因此，我們不難判斷修正劍橋模型的計(jì)算結(jié)果會(huì)比修正關(guān)口-太田模型的計(jì)算結(jié)果小，這也從理論上對(duì)修正劍橋模型的計(jì)算結(jié)果比真實(shí)值偏小，而修正關(guān)口-太田模型的計(jì)算結(jié)果比真實(shí)值偏大這一現(xiàn)象給出了合理解釋.

圖2 修正劍橋模型與修正關(guān)口-太田模型屈服軌跡的比較Fig.2 Comparison of yield locus between modified Cam-Clay model and modified Sekiguchi-Ohta model

修正劍橋模型彈性區(qū)范圍偏大，修正關(guān)口-太田模型的塑性區(qū)范圍偏大，為了克服兩者的缺陷，本文構(gòu)建了一種改進(jìn)的模型，即在修正關(guān)口-太田模型的基礎(chǔ)上將硬化軸再次旋轉(zhuǎn)，將原模型的η0修正為η0/2，于是改進(jìn)后的模型如下：

應(yīng)力比參數(shù)

屈服函數(shù)

本文模型調(diào)整了屈服方程和硬化軸，其在p-q平面上的屈服面的形狀為關(guān)于η0/2 對(duì)稱的橢圓，如圖3所示.

圖3 本文模型的屈服軌跡Fig.3 Yield locus of the model in this paper

2.2 數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證

采用本文所提出的彈塑性模型對(duì)本文2.1 小節(jié)中的算例再次進(jìn)行計(jì)算，算例尺寸、計(jì)算參數(shù)及加載路徑均相同. 同時(shí)，將不同荷載下不同彈塑性模型計(jì)算所得的最大沉降進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示.

表2 不同荷載下采用不同模型計(jì)算的最大沉降Tab.2 Maximum settlements calculated by different models under different loads

第二級(jí)荷載作用下采用不同彈塑性模型計(jì)算所得的沉降等值線圖如圖4所示.

圖4 第二級(jí)荷載作用下采用不同彈塑性模型計(jì)算得到的沉降等值線圖（單位：mm）Fig.4 Settlement contour maps calculated by different elastic-plastic models under the second level load（unit：mm）

由圖4可知，第二級(jí)荷載作用下采用幾種彈塑性模型計(jì)算得到的沉降等值線的形態(tài)基本一致，僅在具體數(shù)值上存在差別. 由表2可知，在第一級(jí)荷載作用下，采用修正劍橋模型計(jì)算得到的最大沉降最小，采用關(guān)口-太田模型計(jì)算得到的最大沉降最大. 因?yàn)楸疚哪Ｐ偷膹椥詤^(qū)范圍比修正關(guān)口-太田模型的彈性區(qū)范圍稍大，所以采用本文模型計(jì)算得到的最大沉降稍小. 在第二級(jí)荷載作用下，通過四種模型計(jì)算得到的最大沉降都顯著增大，總體規(guī)律和第一級(jí)接近，但是在第二級(jí)荷載作用下，通過修正劍橋模型、修正關(guān)口-太田模型和本文模型計(jì)算得到的最大沉降都比較接近.

3 有限元強(qiáng)度折減穩(wěn)定性分析

3.1 計(jì)算程序

采用河海大學(xué)巖土工程研究所研制的BCF二維固結(jié)有限元程序進(jìn)行計(jì)算，利用該程序可得出位移、應(yīng)力、孔壓分布隨時(shí)間的變化，可用于計(jì)算土工結(jié)構(gòu)平面應(yīng)變問題，如建筑物地基、土壩、路堤、擋土墻的計(jì)算等.

3.2 開挖邊坡算例

開挖邊坡形狀及尺寸如圖5所示，坡高為10 m，原始坡比為1∶2.5，開挖完成竣工期坡比為1∶1. 為了模擬開挖施工的具體工況，對(duì)該簡單邊坡進(jìn)行三級(jí)開挖，荷載分四級(jí)，第一級(jí)荷載為初始狀態(tài)，剩下的三級(jí)荷載分別對(duì)應(yīng)分級(jí)開挖的相應(yīng)一級(jí).

圖5 開挖邊坡形狀及尺寸Fig.5 Shape and size of excavation slope

開挖邊坡施工前和竣工后的網(wǎng)格劃分如圖6所示，開挖邊坡的基本參數(shù)見表3. 開挖邊坡施工前的網(wǎng)格共有664 個(gè)單元、716 個(gè)節(jié)點(diǎn)，開挖邊坡竣工后的網(wǎng)格共有600 個(gè)單元、656 個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)單元采用四邊形單元，控制網(wǎng)格尺寸大小使得相對(duì)單元密度達(dá)到每10 m2不少于3個(gè)節(jié)點(diǎn)；并且L坡腳到左端邊界=1.5H坡高，L坡頂?shù)接叶诉吔?2.5H坡高，且H上下邊界≥2H坡高，底部固定端約束，左右兩側(cè)均為水平向約束［17］.

圖6 開挖邊坡施工前及竣工后的網(wǎng)格劃分Fig.6 Grid division of excavated slope before construction and after completion

表3 開挖邊坡的基本參數(shù)Tab.3 Basic parameters of excavated slope

3.3 不同本構(gòu)模型對(duì)邊坡穩(wěn)定性及邊坡變形計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析

在有限元強(qiáng)度折減法中，邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)定義為巖土體實(shí)際抗剪強(qiáng)度與臨界破壞時(shí)折減后抗剪強(qiáng)度的比值，即以達(dá)到臨界破壞狀態(tài)時(shí)的強(qiáng)度折減系數(shù)Fk作為邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)Fs. 根據(jù)特征點(diǎn)位移突變判據(jù)［18-20］，采用不同模型計(jì)算開挖邊坡的強(qiáng)度折減系數(shù)與坡頂點(diǎn)水平位移、豎向位移的關(guān)系，結(jié)果如圖7所示. 圖8 為開挖邊坡竣工后根據(jù)極限平衡法計(jì)算的結(jié)果，結(jié)果顯示邊坡的穩(wěn)定性安全系數(shù)Fs為1.30，與圖7中通過四種模型計(jì)算得到的強(qiáng)度折減系數(shù)拐點(diǎn)出現(xiàn)的值較接近，說明采用不同本構(gòu)模型及方法對(duì)邊坡有限元強(qiáng)度折減穩(wěn)定性的計(jì)算結(jié)果是一致的. 因?yàn)椴煌Ｐ驮趐-q平面上的屈服軌跡不同，所以計(jì)算得到的邊坡變形也會(huì)有所不同. 通過不同彈塑性模型計(jì)算所得的坡頂點(diǎn)位移如表4所示. 本文模型調(diào)整了卸荷應(yīng)力路徑下的彈性區(qū)范圍，塑性變形區(qū)范圍增大且考慮到了開挖卸荷工況的影響，故采用本文模型計(jì)算所得的坡體滑動(dòng)的臨界位移也有所提高.

圖7 通過不同模型計(jì)算所得的開挖邊坡有限元強(qiáng)度折減系數(shù)與坡頂點(diǎn)位移的關(guān)系Fig.7 The relationship between the finite element strength reduction coefficient of excavated slope and the displacement of slope apex by using different models

圖8 開挖邊坡竣工后采用極限平衡法計(jì)算得到的邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)Fig.8 Slope stability safety factor calculated by limit equilibrium method after completion of excavated slope

表4 采用不同模型計(jì)算所得的坡頂點(diǎn)位移Tab.4 Displacement of slope apex calculated by different models

4 考慮開挖邊坡施工過程的有限元強(qiáng)度折減穩(wěn)定性分析

在實(shí)際工程中，土質(zhì)邊坡伴隨著開挖卸荷的過程，土體內(nèi)部應(yīng)力會(huì)重新分布，局部應(yīng)力會(huì)集中或強(qiáng)度降低，土體會(huì)產(chǎn)生剪切破壞. 有限元強(qiáng)度折減法是通過對(duì)土體強(qiáng)度參數(shù)加以人為折減以進(jìn)入極限平衡狀態(tài)下土體所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，然后再通過該方法計(jì)算得到土體的應(yīng)力變形，所以最終也只能根據(jù)該方法的計(jì)算結(jié)果給出可供參考的相應(yīng)條件下的土體變形信息，并不能給出開挖邊坡施工過程中土體的真實(shí)應(yīng)力變形和邊坡的穩(wěn)定性安全系數(shù)的變化規(guī)律. 鑒于此，通過有限元強(qiáng)度折減法對(duì)開挖邊坡施工過程中分級(jí)開挖對(duì)邊坡穩(wěn)定性與變形的影響進(jìn)行了模擬分析.

4.1 分級(jí)開挖卸荷有限元計(jì)算

基于本文模型，采用有限元強(qiáng)度折減法對(duì)原始邊坡模擬三級(jí)開挖，分步進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性計(jì)算與變形分析，開挖邊坡形狀及尺寸如圖5所示，各級(jí)開挖邊坡的網(wǎng)格劃分如圖9所示.

圖9 原始邊坡及各級(jí)開挖邊坡的網(wǎng)格劃分圖Fig.9 Grid division diagram of original slope and excavated slope at all levels

圖10為邊坡三級(jí)開挖的有限元強(qiáng)度折減系數(shù)與坡頂點(diǎn)水平位移、豎向位移的關(guān)系圖. 結(jié)果顯示，隨著開挖深度的增加，施工期邊坡坡度由1∶2.5增加到1∶1，邊坡的穩(wěn)定性安全系數(shù)由最先的1.55降低到1.29. 而在三級(jí)開挖過程中，邊坡特征點(diǎn)位移沒有發(fā)生較大變化. 與此同時(shí)，同一強(qiáng)度折減系數(shù)下，每一級(jí)開挖完成后的坡頂點(diǎn)的水平位移和豎向位移均增大（圖10）. 當(dāng)邊坡開挖完成后，邊坡的穩(wěn)定性安全系數(shù)為1.29，仍能滿足邊坡設(shè)計(jì)的要求，對(duì)應(yīng)的坡頂點(diǎn)水平位移、豎向位移見表5.

圖10 開挖邊坡有限元強(qiáng)度折減系數(shù)與坡頂點(diǎn)位移關(guān)系圖Fig.10 Relationship between finite element strength reduction factor of excavation slope and slope vertex displacement

表5 采用不同方法計(jì)算所得的各級(jí)開挖邊坡的穩(wěn)定性安全系數(shù)Tab.5 Stability safety factors of excavation slopes at all levels calculated by different methods

總之，在對(duì)實(shí)際開挖工程進(jìn)行有限元計(jì)算分析時(shí)，要考慮到土體實(shí)際的施工過程，這對(duì)于準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)開挖工程中土體的變形及邊坡穩(wěn)定性是十分必要的.

4.2 極限平衡法的平行驗(yàn)證

圖11 為邊坡開挖施工前和分級(jí)開挖各階段運(yùn)用GEO-SLOPE 軟件、Morgenstern-Price 法自動(dòng)搜索的滑面，結(jié)果顯示其與通過有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算所得到的穩(wěn)定性安全系數(shù)較為一致. 同時(shí)由表5可知，通過有限元強(qiáng)度折減法和極限平衡法計(jì)算得到的各級(jí)開挖邊坡的穩(wěn)定性安全系數(shù)相差不大，說明有限元強(qiáng)度折減方法可以應(yīng)用到邊坡開挖的穩(wěn)定性計(jì)算中.

圖11 采用極限平衡法計(jì)算所得的各級(jí)開挖邊坡的穩(wěn)定性安全系數(shù)Fig.11 Stability safety factors of excavated slopes at all levels obtained by limit equilibrium method

5 結(jié)論與展望

5.1 結(jié)論

采用有限元強(qiáng)度折減法對(duì)開挖邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并與采用不同劍橋系列本構(gòu)模型計(jì)算得到的邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)與位移進(jìn)行了對(duì)比，得到以下結(jié)論：

1）采用極限平衡法和不同本構(gòu)模型計(jì)算所得的邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)具有一致性，表明如果采用的強(qiáng)度參數(shù)一致，那么采用不同本構(gòu)模型對(duì)邊坡穩(wěn)定性的評(píng)估效果是統(tǒng)一的，由此驗(yàn)證了有限元強(qiáng)度折減法的有效性和合理性.

2）因?yàn)椴煌Ｐ蛯?duì)開挖邊坡土體單元的應(yīng)力應(yīng)變描述不同，所以采用不同模型計(jì)算得到的邊坡特征點(diǎn)位移也不同. 采用變形量為失穩(wěn)判據(jù)，需選用能反映真實(shí)開挖應(yīng)力路徑的本構(gòu)模型，這樣才能計(jì)算得到反映真實(shí)施工過程的土體變形.

3）開挖卸荷施工過程中，邊坡穩(wěn)定性逐漸降低，每一級(jí)開挖完成后坡頂點(diǎn)的水平位移、豎向位移均隨之增大. 實(shí)際工程中，可以結(jié)合穩(wěn)定性計(jì)算和施工變形觀測(cè)，對(duì)開挖邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行事前預(yù)測(cè)、實(shí)時(shí)預(yù)警，并采取相應(yīng)處置措施，以保證邊坡安全.

5.2 展望

目前的研究主要是對(duì)簡單均質(zhì)土質(zhì)邊坡在開挖卸荷工況下的有限元強(qiáng)度折減穩(wěn)定性進(jìn)行分析，通過簡單的特征點(diǎn)位移量和強(qiáng)度折減系數(shù)之間的關(guān)系來建立變形量失穩(wěn)判據(jù)，但不同邊坡具有不同的幾何尺寸、土層分布等參數(shù)，且不同邊坡的復(fù)雜程度不同，因此下一步研究中需要建立能適用于不同邊坡幾何、物理參數(shù)的歸一化變形量失穩(wěn)判據(jù).