唐 穎, 李永祥

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

非線性項中含有梯度項的一般橢圓邊值問題出現(xiàn)在應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理的許多領(lǐng)域, 其可解性的研究有重要價值. 本文考慮如下單位球上含梯度項的橢圓邊值問題(BVP)

(1)

正徑向解的存在性, 其中Ω={x∈RN: |x|<1},N≥2,I=[0,1],R+=[0,+∞),f:I×R+×R+→R+為非線性連續(xù)函數(shù).

對于非線性項中不含梯度項的特殊情形, 即簡單橢圓邊值問題

其徑向解的存在性已有較深入的研究, 見文獻[1-5]. 對于非線性項含梯度項的情形, 當(dāng)Ω為環(huán)形區(qū)域或球外部區(qū)域時, 部分文獻[6-8]討論了其正徑向解的存在性.其中，文獻[6-7]在非線性函數(shù)f(r,ξ,η)非負(fù)且允許f關(guān)于ξ,η超線性或次線性增長的條件下利用不動點指數(shù)理論獲得了BVP(1)正徑向解的存在性. 對于f關(guān)于ξ,η超線性增長的情形, 文獻[6-7]還假設(shè)f滿足Nagumo型增長條件, 該條件限制了f關(guān)于η至多二次增長. 然而, 對球域而言此結(jié)果不成立. 事實上, 文獻[6]給出了一個例子:

(2)

(3)

沒有正徑向解. 此時 BVP(3)為BVP(2)中a=1,b=0的特例，從而BVP(2)在球域上無正徑向解. 這說明文獻[6]中的結(jié)論對球域上的BVP(1)不成立.

一般來說, 研究球域上的橢圓邊值問題徑向解的存在性比環(huán)域及球外部區(qū)域上的情形更復(fù)雜. 目前關(guān)于球域上BVP(1)徑向解的存在性結(jié)果還很少. 最近, 文獻[9]應(yīng)用上下解方法研究了單位球上BVP(1)正徑向解的存在性，在非線性項f滿足適當(dāng)?shù)牟坏仁綏l件下獲得了BVP(1)正徑向解的存在性, 該不等式條件允許f(r,ξ,η)關(guān)于ξ與η負(fù)向超線性增長，在f(r,ξ,η)關(guān)于η超線性增長情形下要求f(r,ξ,η)關(guān)于η滿足 Nagumo 型增長條件.

本文繼續(xù)研究單位球上BVP(1)正徑向解的存在性. 在與文獻[9]不同的不等式條件下, 我們給出BVP(1)正徑向解的存在性結(jié)果，其中的不等式條件允許f(r,ξ,η)關(guān)于η可超線性增長.

2 預(yù)備知識

對問題(1)的徑向?qū)ΨQ解u=u(|x|), 我們令r=|x|, 將其轉(zhuǎn)化為區(qū)間I上的常微分邊值問題(BVP)

(4)

構(gòu)成的 Banach 空間.

為了討論BVP(4), 我們先考慮相應(yīng)的二階線性邊值問題(LBVP)

(5)

引理2.2對?h∈C+(I), LBVP(5)的解u=Sh滿足下列條件

(ii)u≥0,u′≤0.

證明 (i) 由H?lder不等式有

(ii) ?h∈C+(I), 方程(5)兩邊同乘rN-1得

-(rN-1u′(r))′=rN-1h(r),r∈I

(6)

對方程(6)兩邊積分, 應(yīng)用(5)中的邊界條件得

因此,

u(r)≥0,u′(r)≤0,r∈I.

證畢.

記P={u∈C1(I)|u(r)≥0,r∈I},則P為C1(I)中的閉凸錐. 由引理2.1及引理2.2，ii), LBVP(5)的解算子S:C+(I)→P為全連續(xù)算子.

3 主要結(jié)果

定理3.1設(shè)f:I×R+×R+→R+連續(xù). 若f滿足

(H1) 存在常數(shù)a,b≥0, 滿足a/2+b<1及C0>0, 使得

f(r,ξ,η)ξ≤aξ2+bη2+C0,

(r,ξ,η)∈I×R+×R+;

(H2) ?M>0, 存在單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)gM:R+→(0,+∞), 滿足

(7)

使得

f(r,ξ,η)≤gM(η), (r,ξ,η)∈I×[0,M]×R+

(8)

則BVP(1)至少有一個正徑向解.

證明 ?u∈P,令

則F:P→C+(I)連續(xù)且把有界集映為有界集. 定義映射A=S°F.由S:C+(I)→P為線性全連續(xù)算子知算子A:P→P為線性全連續(xù)算子. 再由S的定義, BVP(4)的正解等價于算子A的正不動點.

考慮同倫簇方程

u=λAu, 0<λ<1

(9)

下面我們證明方程簇(9)的解集在P中有界. 設(shè)u∈C2(I)∩C+(I)為方程簇(9)中某個λ∈(0,1)對應(yīng)的方程的解, 則u=S(λF(u)). 令h=λF(u)，按S的定義,u為h=λF(u)相應(yīng)的LBVP(5)的解. 因此,u∈C2(I)∩C+(I)滿足方程

(10)

方程(10)兩邊同乘u(r), 由條件(H1)及引理2.2(ii)有

-u″(r)u(r)≤

λf(r,u(r),|u′(r)|)u(r)≤

f(r,u(r),|u′(r)|)u(r)≤

au2(r)+b|u′(r)|2+C0,r∈I

(11)

式(11)兩端同時在I上積分, 由引理2.2(i)可得

從而

因

故有估計

(12)

對此M>0, 由Nagumo型增長條件(H2)可知, 存在連續(xù)函數(shù)gM:R+→(0,+∞)滿足式(7), 使得f滿足式(8). 由式(7)可知, 存在常數(shù)M1=M1(M)>0, 使得

(13)

則0≤r1

λf(r,u(r),|u′(r)|)≤

f(r,u(r),|u′(r)|)≤

gM(-u′(r)).

所以

上式兩邊從r1到s1積分得

u(r1)-u(s1)≤u(r1)≤‖u‖C≤M

(14)

對式(14)左端做變量代換ρ=-u′(r), 有

(15)

即方程簇的解集在C1(I)中有界. 由錐上的Leray-Schauder不動點定理[10]知A在P中有不動點, 該不動點為BVP(4)的正解，從而BVP(1)有正徑向解.證畢.

在定理3.1中,f(r,ξ,η)關(guān)于η可超線性增長, 見例3.3. 特別地, 當(dāng)f(r,ξ,η)關(guān)于ξ,η均一次增長時, 我們有下述推論.

推論3.2設(shè)f:I×R+×R+→R+連續(xù). 若f滿足

(H3) 存在常數(shù)a,b≥0, 滿足a/2+b<1及C0>0, 使得

f(r,ξ,η)≤aξ+bη+C0,

(r,ξ,η)∈I×R+×R+,

則BVP(1)至少有一個正徑向解.

證明 (H3)?(H2)顯然，下證(H3)?(H1). 任取(r,ξ,η)∈I×R+×R+,令

利用不等式2pq≤p2+q2,p,q∈R并由條件(H3)有

f(r,ξ,η)ξ≤aξ2+bξη+C0ξ=

aξ2+2p1q1+2p2q2≤

aξ2+p12+p22+q12+q22

(16)

令

由常數(shù)a,b≥0,滿足a/2+b<1知

所以a1/2+b1<1.由式(16)有

f(r,ξ,η)ξ≤a1ξ2+b1η2+C,

(r,ξ,η)∈I×R+×R+.

因此條件(H1)成立. 由定理3.1, BVP(1)有正徑向解.

例3.3設(shè)N≥2.考慮單位球Ω={x∈RN: |x|<1}上含梯度項的橢圓邊值問題

對應(yīng)于BVP(1), 相應(yīng)的非線性項為

(r,ξ,η)∈I×R+×R+

(18)

當(dāng)‖u‖C≤M時,

C1(M)+C2η2.

令gM(η)=C1(M)+C2η2，則f(r,ξ,η)滿足條件(H2).

下面驗證f(r,ξ,η)滿足條件(H1).取

則

由式(18)有

0≤f(r,ξ,η)ξ=

aξ2+bη2+C0,(r,ξ,η)∈I×R+×R+,

即f(r,ξ,η)滿足條件(H1). 從而由定理3.1知BVP(17)有正徑向解.