呂廣宏，李宇浩，張雪松，金 碩，周 苗，程 龍

(北京航空航天大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100191)

熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理是高等學(xué)校物理專業(yè)本科生的一門核心課程，目標(biāo)旨在研究熱運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及與熱運(yùn)動(dòng)相關(guān)的物性和宏觀物質(zhì)系統(tǒng)演化行為[1,2].相較于物理專業(yè)的其它核心課程，如理論力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)和量子力學(xué)等，熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的研究對象為近乎于無窮多個(gè)粒子(～1023)所組成的系統(tǒng).這就導(dǎo)致熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的課程學(xué)習(xí)不能僅僅依賴數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)和簡單的物理直覺，必須在理解其物理本質(zhì)的基礎(chǔ)上，建立完備的知識體系，并采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法近似求解.其中，化學(xué)勢作為熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理課程中一個(gè)重要而又抽象的物理概念，不同于傳統(tǒng)的能量和溫度，往往難以直接理解其物理含義[3].因此，在課程中如何通過引入實(shí)際相關(guān)算例，加深對化學(xué)勢概念和物理本質(zhì)的理解，這對于熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的學(xué)習(xí)是十分必要且有益的.

算例引入：在未來核聚變反應(yīng)堆中，鎢(W)基面對等離子體材料會受到低能、大束流的氫(H)同位素等離子體輻照[4].在長時(shí)間輻照后，H同位素在W表面的吸附和脫附將達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，此時(shí)表面H同位素的濃度即為平衡濃度.那么如何求解不同條件(溫度、壓強(qiáng))下H在W表面的平衡濃度？這一算例源于聚變材料領(lǐng)域的實(shí)際問題，但并不要求很高的理論物理基礎(chǔ)和專業(yè)背景，可以僅從基本的熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理概念出發(fā)，按照預(yù)先設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題和已知物理量，結(jié)合簡單的微積分知識來研究.同時(shí)，在研究過程中會涉及計(jì)算物理方面的知識，教學(xué)的同時(shí)開拓學(xué)生視野，提高其自主學(xué)習(xí)的興趣.

動(dòng)態(tài)平衡是指H在W表面的吸附和脫附達(dá)到平衡狀態(tài)，W材料本身僅作為基底，不參與平衡過程.因此，整個(gè)等離子體輻照過程可以近似為單元兩相系所構(gòu)成的孤立系統(tǒng)，即H在W表面的H-W系統(tǒng)和等離子體輻照H脫附的環(huán)境H2氣體系統(tǒng).根據(jù)單元系的復(fù)相平衡條件，兩相系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)其對應(yīng)的溫度(T)、壓強(qiáng)(P)和化學(xué)勢(μ)必須分別相等.由于環(huán)境中H2分子數(shù)量巨大，其壓強(qiáng)和溫度幾乎保持不變，與W-H系統(tǒng)等同，兩相系統(tǒng)達(dá)到平衡的關(guān)鍵在于化學(xué)勢相同，而化學(xué)勢又與體系的吉布斯自由能直接相關(guān).因此，為了研究H在W表面的平衡濃度，必須首先給出環(huán)境和表面系統(tǒng)的吉布斯自由能，進(jìn)而獲得對應(yīng)的H化學(xué)勢.

1 環(huán)境系統(tǒng)中H原子的化學(xué)勢

顯而易見，在整個(gè)雙相系統(tǒng)中總H原子個(gè)數(shù)保持不變，即當(dāng)W表面吸附1個(gè)H原子時(shí)，環(huán)境中減少1/2個(gè)H2分子.根據(jù)開系(物質(zhì)的量發(fā)生變化)熱力學(xué)基本方程，環(huán)境H2分子系統(tǒng)的吉布斯函數(shù)可以寫成

(1)

(2)

即在溫度和壓強(qiáng)保持不變的情況下，化學(xué)勢等于增加1個(gè)H原子(或1/2個(gè)H2分子)時(shí)吉布斯函數(shù)的變化.

根據(jù)熱力學(xué)基本方程，環(huán)境H2分子體系的吉布斯自由能由下式得到

GE=FE+PV

(3)

其中F是體系的亥姆霍茲自由能，P和V分別為壓強(qiáng)和體積.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓和100 K以上時(shí)，H2分子近似看作理想氣體.此時(shí)，體系的亥姆霍茲自由能可以寫成

FE=F0+Ft+Fr+Fvib

(4)

其中F0是0 K下體系的亥姆霍茲自由能，可作為常數(shù)項(xiàng)，僅與參考點(diǎn)的選取有關(guān).若以真空中單個(gè)H原子作為參考點(diǎn)，則有F0=-458.1 kJ/mol，對應(yīng)于H2分子的結(jié)合能；若以H2分子作為參考點(diǎn)(這也是本文選取的參考點(diǎn))，則有F0=0.上式右邊的第2、3和4項(xiàng)分別為H2分子平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)對于亥姆霍茲自由能的貢獻(xiàn).

對于平動(dòng)項(xiàng)，其能量表達(dá)式可以寫為

(5)

據(jù)此，平動(dòng)的配分函數(shù)為

(6)

其中V為H2分子的體積，m為H2分子質(zhì)量，h為普朗克常量數(shù)，k和T分別為玻爾茲曼常數(shù)和溫度.因此，平動(dòng)對亥姆霍茲自由能的貢獻(xiàn)可以由下式得到，即

Ft=-NkTlnZt+kTlnNH2!

(7)

(8)

根據(jù)微觀粒子全同性原理，H2分子的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)與兩個(gè)H核的自旋狀態(tài)有關(guān).如果H核自旋平行，則轉(zhuǎn)動(dòng)量子數(shù)l取奇數(shù)，稱為正氫(o-H2)；如果H核自旋反平行，l取偶數(shù)，稱仲氫(p-H2).一般而言，正氫和仲氫含量之比為3:1，即環(huán)境H2分子系統(tǒng)為正氫和仲氫的混合物.此時(shí)，H2分子的轉(zhuǎn)動(dòng)能級可以寫為

(9)

其中I為H2分子繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.對于o-H2和p-H2，其配分函數(shù)分別寫為

(10)

(11)

(12)

根據(jù)之前的文獻(xiàn)[8]，我們將配分函數(shù)取前8項(xiàng)，即l≤7.

對于H2分子中原子的相對振動(dòng)(此項(xiàng)對自由能的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)低于平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)項(xiàng)的貢獻(xiàn))，可近似作為簡諧振動(dòng).H2分子的振動(dòng)能級可以寫為

(13)

其中ω為振動(dòng)圓頻率.振動(dòng)配分函數(shù)可以寫為

(14)

因此，振動(dòng)對于亥姆霍茲自由能的貢獻(xiàn)為

(15)

(16)

(17)

表1 標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下不同溫度時(shí)單個(gè)H原子的化學(xué)勢[6,7].

2 表面系統(tǒng)中H原子的化學(xué)勢

類似的，對于W-H表面系統(tǒng)，單個(gè)H原子的化學(xué)勢同樣可寫為

⑨張丹丹:《社區(qū)自治的特征:偏態(tài)自治和無序自治——社區(qū)自治空間有限性的原因》，《華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)》(社會科學(xué)版)2015年第2期。

(18)

(19)

其中內(nèi)能U和熵S均會隨表面吸附H原子個(gè)數(shù)的變化而改變.因此，H在W表面的化學(xué)勢是

(20)

其中第1項(xiàng)是平均1個(gè)H原子從環(huán)境中到吸附在W表面所導(dǎo)致的內(nèi)能變化，可通過計(jì)算機(jī)模擬的方法得到.W作為一種體心立方金屬(立方晶胞8個(gè)頂角和體心均有原子占據(jù))，具有周期性和對稱性的晶格結(jié)構(gòu).由于(110)和(100)表面分別是W中最穩(wěn)定和最簡單的表面，在此僅以(110)和(100)表面為例進(jìn)行討論.最近，Piazza等人[8,9]通過基于密度泛函理論的第一性原理計(jì)算，給出了H原子在W表面的平均吸附能(Ead).吸附能的定義為

(21)

其中Esurf和Esurf+H分別是純W表面和含H原子W表面的體系總能量，EH2是真空中單個(gè)H2分子的能量.需要指出的是，在此我們僅考慮H原子吸附在W最表層上的情況，這是由于H原子難以溶解或吸附在W的近表層[10].吸附能為負(fù)意味著H原子傾向于從環(huán)境中吸附到W表面.根據(jù)Piazza等人的計(jì)算結(jié)果[8,9]，單個(gè)H原子吸附在W(110)和(100)表面的平均吸附能為-0.71 eV和-0.75 eV，此即為單個(gè)H原子吸附到W表面系統(tǒng)所導(dǎo)致的內(nèi)能變化.

圖1給出了H原子在W(110)和(100)表面吸附達(dá)到飽和時(shí)，H原子的占位.需要指出的是，我們在此采用了周期性邊界條件，且只考慮第1層W原子.圖1(a)中4個(gè)H原子位于棱上，為相鄰2個(gè)晶胞共享，即每個(gè)相當(dāng)于1/2個(gè)H原子，因此1個(gè)晶胞內(nèi)H原子數(shù)為2個(gè)；第1層含5個(gè)W原子，其中頂角W原子由4個(gè)晶胞共享(每個(gè)占1/4)，而中心W原子完全屬于該晶胞，因此1個(gè)晶胞內(nèi)W原子數(shù)也為2個(gè).據(jù)此，當(dāng)H在W(110)表面達(dá)到飽和時(shí)，對應(yīng)的H和W原子比為1:1.類似地，圖1(b)中4個(gè)H原子也位于棱上，即與(a)圖一樣，1個(gè)晶胞內(nèi)含有2個(gè)H原子；第1層4個(gè)W原子均占據(jù)頂角，單個(gè)晶胞占比為1/4，所以1個(gè)晶胞內(nèi)W原子數(shù)僅為1個(gè). 因此，當(dāng)H在W(100)表面達(dá)到飽和時(shí)，對應(yīng)的H和W原子比為2:1.

熵為系統(tǒng)在某一宏觀狀態(tài)下可能出現(xiàn)的微觀分布狀態(tài)數(shù)，反應(yīng)了系統(tǒng)的混亂程度.吸附系統(tǒng)中熵的計(jì)算只考慮被吸附原子與第1層表面的相互作用.一般而言，金屬體系的熵包括構(gòu)型熵和振動(dòng)熵兩個(gè)部分.其中構(gòu)型熵反映了材料內(nèi)部原子的無序度，即混亂程度的度量，與系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)的對數(shù)成正比.振動(dòng)熵反映了晶格振動(dòng)頻率的無序度，晶格振動(dòng)可以通過計(jì)算聲子譜振動(dòng)頻率來獲得.計(jì)算結(jié)果表明，對于H在W表面的吸附過程，振動(dòng)熵與構(gòu)型熵相比可忽略不計(jì)，因而本文只考慮構(gòu)型熵的貢獻(xiàn).同時(shí)，相較于振動(dòng)熵，構(gòu)型熵也更適合熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的案例教學(xué).

圖1 H原子占據(jù)(a) W(110)表面和(b) W(100)表面達(dá)到飽和時(shí)的原子占位示意圖，其中灰色和白色的大圓分別表示表面第1層和第2層的W原子，黑色小圓表示吸附在W表面的H原子.在(110)表面，H和最表層W原子之比為1:1，而在(100)表面，H和最表層W原子之比為2:1.

(22)

(23)

此時(shí)采用斯特林公式可將上式化簡為

(24)

可以看到，體系的構(gòu)型熵僅取決于占據(jù)W表面的H原子數(shù)與W表面所有可能的占位數(shù)之比，而與總占位數(shù)的絕對值無關(guān).基于式(20)、(21)和(24)，可以得到

(25)

3 基于兩相的化學(xué)勢計(jì)算H平衡濃度

根據(jù)復(fù)相平衡條件(溫度、壓強(qiáng)和化學(xué)勢均相等)以及式(17)、(25)，我們可以得到

(26)

圖2和圖3展示了不同條件(溫度和壓強(qiáng))下，H在W(110)和(100)表面吸附的平衡濃度.在此，平衡濃度是指W表面所有可能的H原子占位被占據(jù)的可能性，即x.可以看到，在300～500 K溫度和1～10000 Pa壓強(qiáng)范圍內(nèi)，W表面H平衡濃度基本不隨溫度和壓強(qiáng)的變化而改變，始終接近于1(趨于定值)，即基本W(wǎng)表面所有可能的占位均被H原子占據(jù).這是由于在低溫下(<500 K)吸附能主導(dǎo)了H在W表面的吸附.根據(jù)公式(26)，H平衡濃度強(qiáng)烈依賴于H在W表面的吸附能和環(huán)境H2分子系統(tǒng)中H原子的化學(xué)勢.其中，前者近似為常數(shù)項(xiàng)[(110)表面：-0.71 eV；(001)表面：-0.75 eV]，不隨溫度和壓強(qiáng)的變化而改變.根據(jù)式(17)，環(huán)境系統(tǒng)中H原子的化學(xué)勢始終為負(fù)值，且隨溫度的增加(或壓強(qiáng)的下降)單調(diào)下降.而在300～500 K和1～10000 Pa的范圍內(nèi)，環(huán)境系統(tǒng)中H原子化學(xué)勢絕對值明顯低于H在W表面吸附能的絕對值，即后者決定了氫在鎢表面的平衡濃度.由于吸附能為負(fù)值，意味著H原子傾向于從環(huán)境系統(tǒng)吸附到W表面系統(tǒng)，對應(yīng)于W表面所有可能的占位均被H原子占據(jù).隨著溫度的進(jìn)一步上升，W表面H平衡濃度隨之下降；在1000 K以上時(shí)，H平衡濃度均低于0.2，且隨壓強(qiáng)的下降逐漸降低，如圖2和圖3所示.這說明溫度升高和壓強(qiáng)下降均會抑制H在W表面的吸附.這是由于溫度升高和壓強(qiáng)降低都將導(dǎo)致環(huán)境系統(tǒng)中單個(gè)H原子化學(xué)勢的降低，使其逼近甚至低于H在W表面的吸附能，進(jìn)而顯著促進(jìn)H原子的脫附，降低H在W表面的平衡濃度.進(jìn)一步對比H在(110)面和(100)面的平衡濃度可以發(fā)現(xiàn)，在相同條件下，H在(100)面的平衡濃度略高于其在(110)面的平衡濃度，表明H更傾向于吸附在W(100)表面.這對應(yīng)于H在(100)面的吸附能低于其在(110)面的吸附能.

圖2 W(110)表面H吸附的平衡濃度.

圖3 W(100)表面H吸附的平衡濃度.

需要指出的是，即便H在W(110)和(100)面的平衡濃度均為1，其對應(yīng)的H原子密度卻并不相同，這是由于兩個(gè)表面的W原子密度和H可能占位的不同(見圖1).其中，對于W(110)表面，當(dāng)H吸附濃度達(dá)到飽和時(shí)，對應(yīng)的H原子密度為～1.39×1019m-2；對于W(100)表面，飽和時(shí)對應(yīng)的H原子密度為～1.97×1019m-2，與實(shí)驗(yàn)上300 K下測量的結(jié)果基本一致[11].

有趣的是，即便不從單元系的復(fù)相平衡條件出發(fā)，而是將整個(gè)吸附/解吸附看成一個(gè)等溫等壓的孤立系統(tǒng)，基于熱動(dòng)平衡判據(jù)(δG=0)，我們同樣可以得到H在W表面的平衡濃度.此時(shí)，整個(gè)體系的吉布斯自由能可以表示為

G(n,P,T)=G(0,P,T)+ΔGH2(n,P,T)+

ΔGW-H(n,P,T)

(27)

其中第一項(xiàng)為沒有H原子吸附在W表面時(shí)，整個(gè)體系的吉布斯自由能.第二項(xiàng)和第三項(xiàng)分別為有n個(gè)H原子吸附在W表面時(shí)環(huán)境系統(tǒng)和W-H表面系統(tǒng)吉布斯自由能的變化.接下來，類似于步驟一和步驟二的處理，根據(jù)熱動(dòng)平衡判據(jù)，同樣可以得到W表面H平衡濃度的表達(dá)式.

另一種思路則是從玻爾茲曼分布函數(shù)出發(fā)，同樣將整個(gè)吸附/解吸附看成一個(gè)等溫等壓的孤立系統(tǒng).定義兩種不同的H原子狀態(tài)，即H在W表面吸附的狀態(tài)(na)和H從W表面脫附的狀態(tài)(nd).兩種狀態(tài)的H原子數(shù)目之和保持不變，即為W表面H原子所有可能的占位數(shù).據(jù)此，基于玻爾茲曼分布函數(shù)，我們可以知道兩種分布狀態(tài)的H原子個(gè)數(shù)之比取決于兩種狀態(tài)下H原子的能量之差，即有

(28)

其中Ea和Ed分別是吸附和脫附時(shí)H原子的能量狀態(tài).根據(jù)定義，我們可以得到

(29)

(30)

關(guān)于H平衡濃度的計(jì)算可同樣應(yīng)用于材料體內(nèi).材料體內(nèi)H可能的占位有2類：間隙位置和空位位置.一般而言，材料中間隙位置很多，但化學(xué)勢較高；而空位位置較少，但化學(xué)勢很低.因此，在一定溫度和壓強(qiáng)條件下，材料體內(nèi)同樣存在H平衡濃度，即H在材料間隙和空位位置的吸附和脫附達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡.這部分拓展已在作者前期的研究論文中進(jìn)行了詳細(xì)的介紹[12]，在此不再具體展開.

綜上所述，本文針對化學(xué)勢這一熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理課程中重要物理量，介紹了W材料表面H平衡濃度這一典型算例.通過分別考察環(huán)境H2分子系統(tǒng)和W表面系統(tǒng)中H原子的化學(xué)勢，利用所學(xué)過的熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理知識，最終給出了不同溫度和壓強(qiáng)條件下W材料表面H平衡濃度.這不僅能幫助學(xué)生對化學(xué)勢等相關(guān)重要知識點(diǎn)的深入理解，強(qiáng)化了熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理知識體系的系統(tǒng)構(gòu)建，并且非常有助于學(xué)生解決實(shí)際問題能力的提升.