金伶艷，胡 玲，顧菊觀，穆成富

(湖州師范學院 理學院，浙江 湖州 313000)

普通的牛頓環(huán)是在底部放一個水平的平板玻璃，在平板玻璃上倒扣曲率半徑很大的一個平凸透鏡，它們中間會形成空氣劈尖?？諝獗∧ぴ诓煌恢盟暮穸炔煌诳諝獗∧さ纳媳砻娴姆瓷涔夂徒涍^下表面的反射光會發(fā)生干涉，形成明暗相間的等厚干涉條紋。近年來結合牛頓環(huán)實驗的模擬仿真研究也越來越多[1-4]。

原則上任意兩種透鏡組合都可以形成空氣劈尖，從而可以看到等厚干涉圖樣[5]。文章討論由二次函數旋轉形成的旋轉拋物面與單個平凸透鏡(或平凹透鏡)組合而形成的牛頓環(huán)裝置，研究這樣的廣義牛頓環(huán)裝置在光束垂直照射時會出現的干涉圖樣。

1 普通牛頓環(huán)干涉原理及圖樣

普通牛頓環(huán)在一般教科書中都有講述[6]。為了后面對比方便，先簡單描述一下。

如圖1所示，平面玻璃板A上放一個曲率半徑為R的平凸透鏡BO′C，平板玻璃與透鏡之間存在厚度不同的空氣薄膜，在接觸面上，以OO″軸上一點為圓心，r為半徑的圓周上，各個點的空氣薄膜厚度均為d，由幾何關系知r2=r2-(R-d)2，由于R?d，略去高階小量，有：

(1)

圖1 普通牛頓環(huán)

考慮半波損失的影響，則兩束反射光的光程差可以表示成[6]：

(2)

第j級明環(huán)和暗環(huán)的半徑分別為：

(3)

(4)

牛頓環(huán)的光強分布為：

(5)

用波長λ=589 nm的鈉黃光，取透鏡的曲率半徑r=1 m，用Mathematica數值模擬可畫出普通牛頓環(huán)的干涉圖樣及其光強分布圖，分別如圖2(a)與圖2(b)所示。

(a) 普通牛頓環(huán)干涉圖樣

2 旋轉拋物面與平凸透鏡(平凹透鏡)構成組合透鏡的干涉公式推導

圖3為由旋轉拋物面與平凸透鏡組合構成的廣義牛頓環(huán)截面示意圖(平凹透鏡情況類似)。由(1)式結果可知

(6)

討論最簡單的二次函數，設拋物線方程為：

y=ax2

(7)

圓的方程為：

(y-R)2-x2=R2

(8)

同一級牛頓環(huán)在下表面(即拋物面)上點B的厚度為d2，則B點坐標為(rj,d2)，B點滿足拋物線方程，有

d2=arj2

(9)

聯(lián)立(6)和(9)式可以求得上下表面的厚度差

(10)

圖3 旋轉拋物面與平凸透鏡構成組合透鏡裝置截面圖

考慮半波損失后對應的光程差為

(11)

對應的光強分布為

(12)

時的情況

3 利用Mathematica模擬組合透鏡下的牛頓環(huán)干涉

3.1 當R固定改變二次函數斜率a的牛頓環(huán)干涉圖樣和干涉光強分布曲線

據在(12)式所推導的組合透鏡下的牛頓環(huán)干涉圖樣的公式，可利用Mathematica模擬圖3所示組合牛頓環(huán)裝置的干涉圖樣。當用鈉黃光波長λ=589 nm，當固定半徑r=1 m時，改變二次函數的斜率a，可以得到不同的干涉圖樣和干涉光強分布曲線。取r=1 m，a=0.3,0.8,1,利用Mathematica模擬可得任意半徑下的牛頓環(huán)干涉圖樣以及光強的分布曲線，如圖5、圖6、圖7所示。由圖5可知，在(-0.002 5,0.002 5)區(qū)間內亮環(huán)的最高干涉級為4級，暗環(huán)的最高干涉級為5級，隨著距離中心點的距離的增加，相鄰條紋間距變窄，牛頓環(huán)干涉條紋逐漸變密集，呈現出中間疏，邊緣密的形狀。

(a) 組合透鏡下牛頓環(huán)干涉圖樣

(a)牛頓環(huán)干涉圖樣

當a=0.8時的光強分布曲線如圖6所示，在區(qū)間(-0.002 5,0.002 5)內明環(huán)的最高干涉級為6級，暗環(huán)的最高干涉級為7級。與圖5相比較，圖6的牛頓環(huán)R不變，a值增大0.5，亮環(huán)和暗環(huán)的最高干涉級均大于圖5，相鄰的明環(huán)與暗環(huán)間距更小，干涉條紋更密集。

(a)牛頓環(huán)干涉圖樣

當a=1時光強分布曲線如圖7所示，在區(qū)間(-0.002 5,0.002 5)內明環(huán)的最高干涉級為11級，暗環(huán)的最高干涉級為11級。三組圖R值均相等，與圖5、圖6相比，圖7的牛頓環(huán)a值最大，在相同的區(qū)間內，圖7的干涉條紋數最多，條紋間距最小，條紋最密。

所有畫出的圖樣都是圓形，與普通牛頓環(huán)圖樣的差別在于圓環(huán)的間隔不一樣。根據上圖可知，當入射光的波長和曲率半徑R不變時，隨著二次函數斜率a的增大，組合透鏡下牛頓環(huán)的干涉條紋間距減小，干涉條紋越密集。

3.2 當a固定改變組合透鏡的曲率半徑R所得的干涉圖樣和干涉光強分布曲線

仍舊使用鈉黃光，波長λ=589 nm，當固定二次函數的斜率a=0.25時，改變曲率半徑R的值，根據(12)式可以得到如下圖的干涉圖樣和干涉光強分布曲線，如圖8、圖9和圖10所示。

(a) 牛頓環(huán)干涉圖樣

當r=1.2 m時,利用Mathematica模擬牛頓環(huán)干涉所得的圖樣以及光強分布曲線如圖8所示，在(-0.008,0.008)范圍內亮環(huán)的最高干涉級為36級，暗環(huán)的最高干涉級為37級。

(a)牛頓環(huán)干涉圖樣

當r=1.5 m時，圖樣及光強分布曲線如圖9所示，在(-0.008,0.008)區(qū)間內明環(huán)的最高干涉級為18級，暗環(huán)的最高干涉級為19級。與圖8相比，圖9的牛頓環(huán)a值并無改變，R值減小，在相同的范圍內，干涉條紋間距增大，條紋變稀疏。

(a)牛頓環(huán)干涉圖樣

當r=1.8 m時,所得的圖樣以及光強分布曲線如圖10所示，在區(qū)間(-0.008,0.008)內明環(huán)的最高干涉級為6級，暗環(huán)的最高干涉級為7級。在a值不變的情況下，圖10牛頓環(huán)R較圖8、圖9最大，相同的區(qū)間內，明環(huán)和暗環(huán)的最高干涉級數最小，干涉圖樣中干涉條紋的間距最大，條紋分布最疏。

根據以上三組圖可知，當入射光的波長和二次函數斜率a不變時，隨著曲率半徑R的增大，組合透鏡下牛頓環(huán)的干涉條紋間距增大，干涉條紋越稀疏。

3.3 比較不同系數a下的干涉光強分布圖并得出結論

將普通牛頓環(huán)的光強圖與組合透鏡下的牛頓環(huán)的光強圖做對比分析更有意義。當a=0時我們討論的組合透鏡完全回到通常牛頓環(huán)的情況。

圖11 普通牛頓環(huán)干涉光強分布圖與當a=1時，組合透鏡下的牛頓環(huán)光強分布圖

同理，由公式(12)可畫出當a=1，r=1 m和a=2，r=1 m時的光強分布圖，如圖12所示，在同一區(qū)間范圍內，組合透鏡在a=2時的明環(huán)數比a=1多，由光程差公式(11)得：

所以可以計算出第j級明環(huán)的半徑

(13)

(14)

(15)

即

(16)

同理可得第j級暗環(huán)半徑

(17)

相鄰的明環(huán)和暗環(huán)間距為

(18)

當干涉級數j不變時，二次函數斜率a越大，相鄰的明環(huán)和暗環(huán)間距ej越小，所以在同樣的區(qū)間范圍內，a越大，所產生的牛頓環(huán)干涉環(huán)數越多，干涉條紋越密集，如圖12所示。此時我們討論的組合透鏡牛頓環(huán)與正常牛頓環(huán)圖樣不重合。

圖12 當a=2時，組合透鏡下的牛頓環(huán)光強分布圖與當a=1時，組合透鏡下的牛頓環(huán)光強分布圖

4 結 語

推導出由旋轉拋物面和球面構成組合透鏡下廣義牛頓環(huán)的干涉公式，并利用Mathematica模擬組合透鏡下的牛頓環(huán)的干涉圖樣以及光強分布圖，發(fā)現組合透鏡下的牛頓環(huán)干涉圖樣仍舊呈圓環(huán)狀，因為旋轉拋物面和球面直接形成空氣劈尖，根據等厚干涉原理厚度相同對應同一級干涉條紋，根據旋轉對稱性可知組合透鏡下的牛頓環(huán)干涉圖樣也是圓環(huán)。通過數值模擬可以看出，變形牛頓環(huán)的干涉圖樣與二次函數斜率a以及曲率半徑R取值有關，a值越大，同等條件下的牛頓環(huán)干涉條紋間距越小，干涉條紋數越多；R值越大，同等條件下牛頓環(huán)干涉條紋間距越大，干涉條紋數越少。