劉素娟 張仲侯

(北京工業(yè)大學微電子學院 北京 100124)

1 引言

模擬數字轉換器(Analog-to-Digital Converter,ADC)在現(xiàn)代電子系統(tǒng)中扮演著至關重要的角色，在各個領域都獲得了廣泛的應用[1-3]，高速、高分辨率是當今ADC的發(fā)展方向。然而，對于ADC來說，采樣率和分辨率是一對相互制約的指標，由于制造工藝的限制，單個ADC很難同時滿足高采樣率和高分辨率的要求。文獻[4]在1980年提出通過時間交織(time-interleaved)的方式對信號進行采樣，即時間交織模數轉換器(Time-Interleaved Analog-to-Digital Converter, TIADC)。從而可以在現(xiàn)有制造工藝的條件下，成倍地提高采樣率。

由于器件制造工藝的非理想性，不可避免地會在通道之間引入失配誤差，這些誤差會降低TIADC的有效分辨率等動態(tài)性能[5,6]。在過去的幾十年間，大量的學者對TIADC通道之間如增益失配誤差、采樣時刻失配誤差、頻率響應失配誤差等線性失配誤差的估計和校正方法進行了深入的研究[7-10]。近些年來，學者逐漸開始對TIADC中的非線性失配誤差(nonlinear mismatch error)產生興趣，非線性誤差是由于模擬前端電路的非理想性、子ADC中的積分非線性以及微分非線性引入[11]，TIADC通道之間非線性的差異又會引起非線性失配誤差。

很多學者對TIADC非線性失配誤差進行分析并進行估計和校正[12-18]。文獻[12,13]提出了一種通道隨機化的校正策略，但是引入了額外的子ADC，增加了硬件資源消耗。文獻[14,15]提出了一種基于Volterra級數的TIADC行為級模型，對TIADC的動態(tài)非線性失配誤差進行建模并提出了一種適用于硬件實現(xiàn)的補償結構。文獻[16,17]提出了TIADC靜態(tài)非線性失配誤差的自適應校正算法，文獻[16,17]均利用多項式模型對TIADC靜態(tài)非線性失配誤差進行建模，分別采用了帶寬有效利用(Band Width Efficiency, BWE)和哈達瑪調制的方法進行校正，并采取了濾波最小二乘的方法進行非線性失配誤差的估計。文獻[18]采用了簡化的Volterra級數對雙通道TIADC靜態(tài)非線性失配誤差進行建模并利用自相關函數和最小均方(Least Mean Square, LMS)迭代算法進行了失配誤差的估計。

目前只有少量的文章對TIADC帶有記憶效應的非線性失配誤差的估計和校正方法進行研究。文獻[19]提出了聯(lián)合盲校正算法對雙通道TIADC的帶有記憶效應的非線性失配誤差進行校正，使用歸一化最小均方(normalized-LMS)算法對非線性失配誤差進行估計和補償，但是該方法只適用于兩通道非線性失配誤差的校正，難以擴展到多通道的情況；文獻[20]提出了多相非線性均衡器(polyphase NonLinear EQualizer, pNLEQ)，可以同時對線性失配誤差和高階非線性失配誤差進行校正，但是因為校正過程涉及復雜的復數運算，會消耗大量的硬件資源，所以不便在實際的硬件結構中實現(xiàn)。

本文針對M通道的TIADC帶有記憶效應的非線性失配誤差提出了一種基于子通道重構結構的盲校正方法。相比于BWE和哈達瑪變換的方法：首先，不僅能對靜態(tài)非線性失配誤差進行校正，還能對帶有記憶效應的非線性失配誤差進行校正；其次，不需要產生正弦調制序列，有更少的硬件資源消耗；最后，LMS算法模塊以及誤差重構中乘法器模塊的工作頻率僅為TIADC總采樣頻率的1/M，降低了系統(tǒng)功耗。

2 系統(tǒng)建模

理想的TIADC結構如圖1所示，本文假設只存在帶有記憶效應的非線性失配誤差，偏置失配、增益失配以及時間失配誤差均已對其進行補償。

圖1 TIADC結構示意圖

2.1 帶有記憶效應的非線性失配誤差的子ADC的離散模型

本文考慮一個帶限的模擬輸入信號xa(t)，其最高頻率為fmax。xa(t)的模擬頻譜(傅里葉變換)表示為Xa(jΩ)，其中Ω=2 πf表示模擬角頻率(rad/s)，f表示模擬頻率(Hz)。

采樣周期為Ts理想ADC的離散時間輸出信號表示為

xd[n]的數字頻譜離散時間傅里葉變換(Discrete-Time Fourier Transform, DTFT)表示為Xd(ejω)，其中ω表示采樣率為fs下的數字角頻率(弧度/采樣周期，rad/sample)，關系為

因此，模擬頻譜和數字頻譜之間的關系可表示為[21]

圖2是帶有記憶效應的非線性失配誤差的子ADC的離散模型，模擬輸入信號xa(t)首先經過采樣得到了離散信號xd[n]，然后經過P 階的離散時間Volterra級數(Discrete Time Volterra Series, DTVS)后得到了輸出信號xv[n]，因為本文僅考慮非線性失配誤差，所以2≤p≤P，DTVS的表達式為

圖2 帶有記憶效應的非線性失配誤差的子ADC的離散模型

2.2 帶有記憶效應的非線性失配誤差的TIADC的離散模型

對于一個M通道的TIADC，每個子ADC都具有不同的非線性誤差，整個系統(tǒng)的離散等效模型如圖3所示。為了方便后續(xù)表示，2.1節(jié)中的模擬輸入信號xa(t)以及第m通道采樣后的值分別用x(t)以及xm[nM]表示。此外，不同于2.1節(jié)的單通道ADC，本節(jié)以及之后的內容，TIADC的采樣率和采樣周期為fs以及Ts，而每個子ADC的采樣周期為TIADC的M倍，即MTs。

圖3 帶有記憶效應的非線性失配誤差的TIADC的離散模型

由2.1節(jié)中的理論可知，第m個子ADC的降采樣序列xm[v]可以表示為

其傅里葉變換表示為

cm,p,q表示第m個子ADC的p階非線性項記憶長度為q時的誤差系數。

ym[v]經過升采樣并相加之后得到了TIADC的輸出y[n]，其表達式為

3 校正方法

基于圖3中的TIADC等效模型，本節(jié)提出了一種針對M通道中帶有記憶效應的非線性失配誤差的自適應盲校正方法。校正方法的基本原理是利用估計的非線性誤差系數和子通道重構結構(Sub-Channel Reconstruction, SCR)重構誤差信號，然后從TIADC的輸出中減去誤差信號，采用了濾波降采樣最小二乘(Filtered-Down-sampled Least Mean Square, FDLMS)算法在輸入無關頻帶(Input Free Band, IFB)中得到誤差信號以此來估計非線性誤差系數。

3.1 校正結構

誤差信號e[n]可以由輸入信號x[n]進行完美重構，但是實際情況中，輸入信號是未知的，可以用y[n]來近似x[n]進行重構[17]。重構信號可以表示為

c?m表示誤差估計矩陣。

圖4展示了M通道TIADC的校正結構，TIADC的輸出y[n]經過M倍降采樣率的降采樣模塊，數據的頻率降到了TIADC總采樣率的1/M，也就是每個子ADC的采樣率fs/M。后續(xù)模塊的工作頻率也均為fs/M。降采樣模塊子通道輸出ym[v]通過子通道誤差重構(Sub-Channel Reconstruction, SCR)模塊后，再經過升采樣模塊以及一個單位的延遲得到了重構后的誤差信號e?[n]。利用ym[v]進行乘方操作依次得到2階項ym2[v]到最高階P階項ymP[v]，然后分別乘以對應的系數cm,2,0～cm,P,0，再累加得到了一個基本誤差重構單元(Basic Error Reconstruction Unit, BERU)，利用ym[v]得到Q-1個延時分量ym[v-1]～ym[v-Q+1]，這Q-1個延時分量再經過Q-1個基本誤差重構單元，最后將Q個基本誤差重構單元的輸出合并得到重構后的信號yRS_m[v]，其公式為

圖4 M通道TIADC帶有記憶效應的非線性誤差校正原理結構圖

3.2 估計結構和整體框架

為了估計系數矩陣cm的值，考慮一個帶限輸入信號，帶寬范圍為[0, βπ]，其中0<β<1。若TIADC內不存在任何誤差，那么在TIADC的輸出頻譜僅在[0,βπ]內有信號能量，當非線性誤差存在時，在[βπ,π]頻帶范圍內將會產生誤差能量，但是沒有輸入信號的能量，這個部分稱為輸入無關頻帶(Input Free Band, IFB)或者失配頻帶(Mismatch Band)。圖5給出了含有2階非線性誤差的四通道TIADC的IFB示意圖，其中X(jΩ)和E(jΩ)分別表示x[n]和e[n]的連續(xù)時間傅里葉變換。因此在[βπ,π]范圍內的這部分能量可以通過一個高通濾波器濾出并結合FDLMS算法對誤差系數矩陣cm進行估計。誤差信號e[n]經過高通濾波器f[n]濾波后的誤差濾波信號ε[n]表示為

圖5 含有2階非線性誤差的四通道TIADC輸入無關頻帶示意圖[7]

表示信號向量X和Y經過高通濾波器之后的部分。圖6為基于FDLMS迭代算法的M通道TIADC的非線性誤差自適應盲校正的結構示意圖，D代表高通濾波器f[n]的延遲，ε[n]經過另外一個降采樣模塊得到εm[v],m=0, 1, 2, ··· , M-1。LMS為最小均方算法模塊，估計誤差系數矩陣c?m中元素c?m(q,p-2)=c?m,p,q基于FDLMS迭代算法的迭代公式為

其中，μ為迭代步長，T=-(M+D)/M。迭代式(31)通過不斷迭代減小ε[n]的值，當式(31)收斂時，ε[n]的值被減到最小，從而估計出系數c?m,p,q的值，進而得到估計的系數矩陣c?m。 圖6中采用了向量表達方式使得圖示更簡潔，其中

圖6 基于FDLMS算法的M通道自適應盲校正算法結構示意圖

4 仿真結與實驗

本節(jié)展示了所提出校正結構的仿真結果。利用MATLAB Simulink建立了四通道、16 bit的TIADC模型，高通濾波器利用FADTOOL工具進行設計，階數為40階，通帶左側歸一化頻率設置為0.8π。迭代步長μ設置為0.001，估計系數矩陣c?m(m=0, 1, ··· , M-1)初始設為零矩陣，非線性最高階設置為3，記憶長度為2，系數矩陣c設置為

4.1 多頻點實驗

本實驗選取了如下輸入信號

由DC到0.79π(歸一化頻率)均勻分布的正弦信號。圖7比較了校正前后的頻譜。從結果可以看出，本文所提出的校正方法有效地提高了TIADC系統(tǒng)的無雜散動態(tài)范圍(Spurious Free Dynamic Range,SFDR)。校正之前由于非線性失配誤差，TIADC的SFDR只有51.1083 dB，校正之后，TIADC的SFDR增加到了92.3539 dB。圖8給出了每個通道分支對應的誤差收斂曲線，其中黑色虛線表示真實值。

圖7 多頻點輸入信號校正效果示意圖

圖8 多頻點輸入信號情況下誤差收斂曲線

4.2 白噪聲實驗

本實驗選取了一個低通信號，仍然使用4.1節(jié)中的四通道TIADC。一個均值為0，方差為1的高斯白噪聲信號經過一個截止頻率為0.78π的低通濾波器得到所需的低通信號。為了量化在通帶中的校正效果，本文計算了誤差向量幅度(Error Vector Magnitude, EVM)，其公式為[16]

其中，X(q)表示期望信號的頻譜，而Y(q)則表示校正信號的頻譜。Q是FFT的總點數(圖9中采用了點數為3.2×104的FFT)。圖9是校正前后的頻譜對比，可以看到，TIADC系統(tǒng)在輸入無關帶中的最大失真由-49.74 dB降低到了-89.85 dB，圖10給出了4個子通道所對應的誤差收斂曲線，黑色虛線代表系數的真實值。TIADC校正前后的EVMdB分別為-47.77 dB和-88.11 dB。

圖9 低通白噪聲輸入信號校正效果示意圖

圖10 低通白噪聲輸入信號情況下誤差收斂曲線

4.3 計算復雜度

本節(jié)分析了所提出方法的計算復雜度。本方法對比其他論文主要的優(yōu)勢在于對硬件資源消耗更少，避免了正弦調制信號。此外，本文的帶有記憶效應的校正結構也適用于靜態(tài)非線性失配誤差校正，當記憶長度為1的時候，所提出的結構即等效于靜態(tài)非線性模型。從圖6可以看到，一個BERU里面的乘法器數目為2(P-1)，因此每一個降采樣后的SCR模塊包含乘法器數目為2(P-1)Q，總的乘法器數目為2M(P-1)Q，但是這些乘法器工作頻率均為Fs/M，因此就等效于在Fs的工作頻率下使用了2(P-1)Q個乘法器[16]，加上高通濾波器的乘法器數目Nf/2+1，本文校正算法每個采樣周期使用的乘法器數目為2(P-1)Q+Nf/2+1。表1給出了本文和其他方法的對比。對比文獻[16]和文獻[17]，在只考慮靜態(tài)非線性的情況下，本文采用方法的乘法器較少，且不需要調制器，避免了生成正弦序列的復雜電路。

表1 計算復雜度的對比

圖11展示了3種方法所消耗的乘法器數量以及乘法器數目的比率。高通濾波器的階數為44，因此系數對稱的有限沖激響應(Finite Impulse Response,FIR)濾波器乘法器數目為22，可以看到，隨著通道數目M以及非線性最高階數P的增加，BWE方法[16]以及哈達瑪矩陣調制方法[17]的計算復雜度不斷增加，而本文的方法僅隨著非線性誤差最高階P以及記憶長度Q增長，和通道數目M無關。在M=16,P=7, Q=2時3種方法消耗乘法器數目分別(BWE、哈達瑪、本文)為227, 125和47，消耗乘法器比率分別為6.31和3.57。本文所提結構硬件消耗遠小于另外兩種方法。其中比率公式為

圖11 計算復雜度對比

5 結束語

本文介紹了一種自適應盲校正方法來校正M通道TIADC中帶有記憶效應的非線性失配誤差。通過子通道重構結構(SCR)重構非線性引起的誤差信號，并通過FDLMS算法估計了各通道的非線性失配誤差系數。本文所提出的方法首先不僅能校正靜態(tài)非線性失配誤差，也能校正帶有記憶效應的非線性失配誤差，其次避免了調制器的使用，與基于正弦序列和哈達瑪變換的方法相比，硬件資源和功耗大量減少。