辛沙歐，陳可，宋震林，桂欣穎，戚國慶

（南京理工大學(xué)自動化學(xué)院，江蘇南京 210094）

近年來，無人機技術(shù)發(fā)展迅猛，廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域之中。隨著電子對抗技術(shù)在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中的地位越來越高，通過獲取目標(biāo)的方位、多普勒變化率、到達時間等信息確定目標(biāo)位置的無源定位研究逐漸吸引了更多的關(guān)注[1]。由于成本和重量的限制，無源純方位傳感器被廣泛應(yīng)用于被動跟蹤中的無源定位。例如，分布式控制及定位中的純方位跟蹤[2]、包圍控制中的方位或相對視距觀測[3]、無人機編隊飛行的視覺導(dǎo)航與跟蹤[4]。純方位跟蹤系統(tǒng)是對目標(biāo)進行連續(xù)觀測，積累測角信息，從而獲得目標(biāo)狀態(tài)的精確估計，包括目標(biāo)的位置和速度，從而控制觀測器進行跟蹤[5]。多站無源組網(wǎng)定位技術(shù)作為更加有效的無源定位方法，己經(jīng)受到國內(nèi)外科研人員的高度重視[6]。

針對純方位目標(biāo)跟蹤問題，文獻[7-9]討論了純方位下的目標(biāo)估計策略，其中文獻[9]在文獻[7]中的估計器基礎(chǔ)上加入卡爾曼濾波，得到目標(biāo)狀態(tài)的無偏估計，進一步改善了目標(biāo)估計的精度，為運動目標(biāo)被動跟蹤提供了更多的可能。

隨著任務(wù)和應(yīng)用的日益復(fù)雜，多無人機協(xié)同跟蹤問題越來越受到重視。常見的是研究一組移動智能體對未知目標(biāo)的定位和繞航問題，目的是使智能體以期望的半徑圍繞目標(biāo)旋轉(zhuǎn)，并在目標(biāo)周圍形成均勻的隊形[10-13]。Liya Dou 等[11]研究了一組移動智能體基于純方位測量對靜止或者移動目標(biāo)的定位和包圍問題，在文獻[7]的估計器基礎(chǔ)上，設(shè)計了分布式控制率，保證智能體群分別在目標(biāo)或其鄰域周圍全局收斂到一個精確的均勻圓形，估計誤差和控制誤差可以收斂到零的鄰域。針對未知目標(biāo)，J.Shao 以及R.Li 在不同維度研究了定位與環(huán)航問題[14-15]。

現(xiàn)有的純方位量測下多無人機協(xié)同目標(biāo)定位與跟蹤的估計誤差和控制誤差只能收斂到零的鄰域，而不能收斂到零，尤其是對于快速移動的目標(biāo)。因此，針對快速移動的目標(biāo)，如何提高目標(biāo)估計精度和減小控制誤差還有待進一步研究。

該文研究了多無人機在二維環(huán)境下圍繞一個位置未知的運動目標(biāo)的控制器設(shè)計，以及僅利用方位測量信息的精確目標(biāo)狀態(tài)估計器的設(shè)計問題。針對文獻[7]中的估計器方法，提出了結(jié)合卡爾曼濾波的方式，以獲得更加精確的目標(biāo)狀態(tài)。結(jié)果表明，相較于沒有濾波的作用，對于運動目標(biāo)的估計誤差收斂到零，而不是零的鄰域。針對文獻[11]中的控制器設(shè)計問題，通過引入虛擬交叉算法，加入目標(biāo)估計速度項對原有的控制器進行改進，可以保證控制誤差收斂到零。最后，仿真結(jié)果驗證了文中所提出的估計器以及控制律的優(yōu)越性。

1 預(yù)備知識與問題描述

1.1 圖 論

多無人機系統(tǒng)中N個無人機之間的通信情況可以采用無向圖G={V,E} 進行描述，其中V={1,2,???,N}為無向圖節(jié)點的集合，E?V×V為無向圖的邊集。A=[aij]∈RN×N是加權(quán)鄰接矩陣，當(dāng)(i,j)∈E，aij=aji=1，(i,j)?E時，aij=0。假設(shè)該圖沒有自循環(huán)，則aii=0 。節(jié)點i的所有鄰域集合用Ni={j∈V:(i,j)∈E}表示。定義圖G的拉普拉斯矩陣為L=[lij]∈RN×N,當(dāng)i≠j時，lij=-aij，。在圖G中由節(jié)點i到節(jié)點j的路徑是以節(jié)點i為起點，以節(jié)點j為終點的一系列不同邊的組合。如果圖G的每一對不同的節(jié)點都有一條路徑，則圖G是連通的。每個索引i都是對N求余得到的，例如，索引N+1 與1 等價[16]。

1.2 問題描述

首先，假設(shè)無人機可以在固定的高度飛行，因此只關(guān)注無人機在二維笛卡爾坐標(biāo)系下的目標(biāo)估計與定位。無人機與目標(biāo)在二維平面下的相對位置如圖1 所示。目標(biāo)及其估計位置用“+”表示，無人機的位置用“●”表示。

圖1 無人機與目標(biāo)相對位置圖形化視圖

考慮一個在時間t內(nèi)具有未知軌跡pT(t)=[xT(t),yT(t)]T∈R2的運動目標(biāo)，和N個具有已知軌跡pi(t)=[xi(t),yi(t)]T∈R2的無人機，其中i∈V。假設(shè)每個無人機的運動服從單積分模型：

其中，ui(t)表示無人機i的控制輸入。

無人機i對目標(biāo)的估計位置可以表示為。無人機i對目標(biāo)的觀測角為θi(t)∈[0,2π)，與目標(biāo)相對距離用表示，無人機i與對目標(biāo)的估計位置的距離為，無人機i對目標(biāo)的估計誤差為。d為無人機與目標(biāo)期望間距，即期望環(huán)航旋轉(zhuǎn)半徑。用φi(t)∈R2表示無人機i指向目標(biāo)的單位方向向量，則：

(t)∈R2是φi(t)繞pi(t)順時針旋轉(zhuǎn)π/2 得到的垂直于φi(t)的單位向量。為了方便起見，假設(shè)逆時針旋轉(zhuǎn)方向為正。因此，無人機i到無人機j的分離角(i＜j)是通過從無人機i到目標(biāo)的射線逆時針旋轉(zhuǎn)直到遇見無人機j到目標(biāo)的射線：

為了設(shè)計一個分布式定位方案，利用純方位測量值來估計目標(biāo)的未知位置pT(t)，然后設(shè)計基于局部測量的分布式控制律，從而實現(xiàn)以下目標(biāo)：

①估計誤差收斂到0，即：

②無人機i與目標(biāo)之間的距離收斂到指定的相同環(huán)航半徑，即：

③一組無人機按照等角均勻分布在以目標(biāo)為中心的指定半徑的圓周上，即：

該文主要工作是基于以下假設(shè)進行實現(xiàn)的：

假設(shè)1：存在正常數(shù)u0使得對于t＞0 時，且保證任一無人機i的速度滿足。

假設(shè)2：通信拓?fù)銰是無向連通的。

假設(shè)3：所選擇的pi(0)、pT(0)以及(0)能夠使得ρi(0)、是有限的。

2 算法設(shè)計

已知多無人機跟蹤位置未知的移動目標(biāo)是一個估計和控制的綜合問題，因此這一部分，嘗試同時為每個無人機構(gòu)造估計器和控制器[17-19]。

為了定位未知目標(biāo)，首先為每個無人機提出如下協(xié)作的估計器：

其中，k是正常數(shù)，φi(t)φi(t)T是向量φi(t) 的投影矩陣。目標(biāo)與無人機之間的幾何位置關(guān)系如圖2所示。

圖2 無人機與目標(biāo)之間的幾何位置關(guān)系圖

然后，基于無人機對目標(biāo)的估計位置以及鄰居節(jié)點的角度測量信息為每個無人機設(shè)計如下控制器：

其 中，kd、α是設(shè)計參數(shù)，分離角誤差。

例如，當(dāng)N=5 時，期望無人機能夠在以目標(biāo)為中心的具有指定半徑的圓周上形成如圖3 所示的等角編隊。

圖3 5個無人機期望隊形示意圖

控制輸入ui(t) 由兩部分組成。徑向項-d)φi(t) 控制無人機移動到指定的環(huán)航跟蹤半徑的圓周上，切向項則保證各個無人機之間按照指定的角度分布在以目標(biāo)為中心的圓周上。另外，因為切向項依賴于各個無人機的期望距離，因此當(dāng)目標(biāo)期望距離較小時，可以避免過高的角速度。

引理3.1[9]:在基于虛擬交叉算法[14]的式（7）估計器下，卡爾曼濾波得到的估計誤差，在t→∞時是漸近無偏的。其中。

引理3.2[11]:假設(shè)目標(biāo)是靜止?fàn)顟B(tài)，在式（7）估計器和式（8）控制器下，一組無人機將收斂于以目標(biāo)為圓心，半徑為d的圓周上，即當(dāng)t→∞時，ρi(t)→d。

引理3.3[11]:假設(shè)目標(biāo)是靜止?fàn)顟B(tài)，在式（7）估計器和式（8）控制器下，如果無向拓?fù)銰是樹結(jié)構(gòu)，則一組無人機將按照指定分離角度分布在以目標(biāo)為中心的具有指定半徑的圓周上，對于i∈V，當(dāng)t→∞時，滿足=2π/N。

3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)引理5[11]，對于一個運動的目標(biāo)，在式（7）估計器和式（8）控制器下，無人機i與目標(biāo)的相對距離的控制誤差收斂到一個半徑有限的區(qū)域，但不是收斂到零。因此，提出下列控制器：

推論1：對于運動目標(biāo)，式（9）控制器下無人機i的環(huán)航跟蹤半徑控制誤差-d一致收斂到零。

證明：定義圖1 所示的笛卡爾坐標(biāo)系為C1，定義以目標(biāo)pT(t) 為原點的參考坐標(biāo)系為C2。則無人機在C2 坐標(biāo)系下的相對于目標(biāo)的運動速度可以描述為：

因此，原來的環(huán)航編隊控制問題可以轉(zhuǎn)化為C2坐標(biāo)系下一組無人機環(huán)航跟蹤靜止目標(biāo)，根據(jù)引理3.2，一組無人機將收斂于以目標(biāo)為圓心，半徑為d的圓周上，即當(dāng)t→∞時ρi(t)→d。證畢。

推論2：對于運動目標(biāo)，在式（9）控制器下，如果無向拓?fù)銰是樹結(jié)構(gòu)，則一組無人機將按照指定分離角度分布在以目標(biāo)為中心的圓周上，對于i∈V，當(dāng)t→∞時，滿足=2π/N。

證明：基于推論1 的證明，在C2 坐標(biāo)系下一組無人機環(huán)航跟蹤靜止目標(biāo)的問題，可以根據(jù)引理3.3，使得無人機之間的分離角按照2π/n分布在指定半徑的圓周上。

4 仿真驗證

4.1 動力學(xué)模型選擇

為了能夠得到目標(biāo)更精確的估計位置，參考文獻[9]在式（7）估計器引入卡爾曼濾波。首先，選擇目標(biāo)動力學(xué)模型相關(guān)參數(shù)為：

其中，采樣時間Δt=0.1 s,x、、分別是估計目標(biāo)的位置、速度以及加速度。假設(shè)模型噪聲w(k)和外界干擾v(k)是均值，且為0，方差分別為的高斯白噪聲，δ(k,l)是狄利克雷函數(shù)，q=0.2,R=0.2。

4.2 低速目標(biāo)仿真對比

低速目標(biāo)以文獻[11]中的目標(biāo)軌跡vT(t)=[0.2,0.1(cos(0.3t)+1)]T為例，在該文引入卡爾曼濾波的式（7）估計器和式（9）控制器下，選擇參數(shù)k=5,kd=1,α=0.5 時，環(huán)航半徑d=10，無人機初始位置任意，軌跡圖如圖4(a)所示，估計誤差、收斂半徑以及分離角情況如圖4(b)、(c)、(d)所示。

通過圖4 可以看出，添加濾波以及補償項的控制策略，能夠有效地使一組無人機在以目標(biāo)為中心且具有指定半徑的圓周上形成等角編隊。將該次仿真結(jié)果與相同參數(shù)條件下的文獻[11]中的估計控制策略進行比較，以無人機1 的估計誤差、收斂半徑以及分離角的收斂情況為例,結(jié)果如圖5 所示。

圖4 低速目標(biāo)在濾波控制策略下的仿真結(jié)果圖

由圖5可以看出加入濾波后的估計策略收斂速度更快且能夠全局漸近收斂到指定位置，控制誤差更小。

圖5 低速目標(biāo)兩種方法結(jié)果對比圖

4.3 快速目標(biāo)仿真對比

快速目標(biāo)以文獻[7]中的目標(biāo)軌跡vT(t)=[1,cos(0.1t)+1)]T為例，在相同動力學(xué)模型下，引入濾波方法。在式（7）估計器與式（9）控制器的作用下，選擇參數(shù)k=5,kd=1,α=0.5 時，環(huán)航半徑d=8，無人機初始位置任意，軌跡圖如圖6(a)所示，估計誤差、收斂半徑以及分離角情況如圖6(b)、(c)、(d)所示。

圖6 快速目標(biāo)在濾波控制策略下的仿真結(jié)果圖

通過圖6 可知，添加濾波以及補償項的控制策略針對高速目標(biāo)也有良好的跟蹤性能。通過兩組仿真結(jié)果對比可知，在目標(biāo)速度加快且估計策略相同的情況下，引入濾波的方式所得到的估計誤差顯著減小，半徑收斂誤差減小，分離角也收斂到2π/5，如圖7所示。

圖7 快速目標(biāo)兩種方法結(jié)果對比圖

5 結(jié)論

該文主要研究了純方位量測下多無人機協(xié)同目標(biāo)跟蹤問題，討論了一種具有無偏估計誤差的卡爾曼濾波器在多無人機協(xié)同跟蹤中的應(yīng)用，基于虛擬交叉定位算法對現(xiàn)有控制律加入估計目標(biāo)速度進行改進，保證多無人機在目標(biāo)周圍形成以目標(biāo)為中心具有指定半徑的等角圓形編隊。與現(xiàn)有的純方位量測下多無人機協(xié)同跟蹤方法進行了比較，仿真結(jié)果表明，不管是低速還是快速目標(biāo)，所提出的算法能顯著提高目標(biāo)狀態(tài)估計的精度，并減小了控制誤差。