劉 娟,陳 功
(蚌埠學(xué)院理學(xué)院,安徽蚌埠 233030)
傳染病是當(dāng)今世界面臨的一個(gè)嚴(yán)重問題,傳染病的蔓延給世界各國帶來了極大的挑戰(zhàn),甚至可能影響社會穩(wěn)定,比如新冠病毒的傳播給現(xiàn)實(shí)生活造成了一定的影響,因此研究傳染病模型具有重要的實(shí)際意義。隨著傳染病動力學(xué)的深入發(fā)展,建立數(shù)學(xué)模型研究傳染病的傳播規(guī)律已成為一種趨勢。近二十年來國內(nèi)外學(xué)者根據(jù)倉室模型的思想,提出了大量的傳染病模型并研究了模型的動力學(xué)性質(zhì)。在已建立的傳染病模型中,以確定型模型居多[1-6]。但是在疾病蔓延的過程中,外部環(huán)境對疾病傳播有著重要的影響,這在數(shù)學(xué)上可以用隨機(jī)擾動項(xiàng)來表示。文獻(xiàn)[7]研究了下列傳染病模型:
根據(jù)倉室建模的思想,(1)式中的,S(t),I(t)和R(t)分別表示易感者、染病者、治愈者群體在時(shí)刻t的數(shù)量[8-9]。A表示易感者群體的常數(shù)輸入率,μ為,S(t),I(t)和R(t)的自然死亡率,假設(shè)三類群體具有相同的自然死亡率。ε為染病群體的因病死亡率。為染病群體到治愈群體的恢復(fù)率函數(shù)。文獻(xiàn)[7]研究了模型(1)的穩(wěn)定性和分支。
考慮到隨機(jī)擾動因素對疾病傳播的影響,在模型(1)中引入隨機(jī)擾動項(xiàng)使之變成隨機(jī)微分方程,假設(shè)外部環(huán)境主要影響參數(shù)β,用白噪聲來描述這種影響,即
B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動且B(0)=0,為白噪聲強(qiáng)度,則得到下列具有隨機(jī)擾動項(xiàng)的傳染病系統(tǒng),
主要研究隨機(jī)傳染病的動力學(xué)性質(zhì),包括模型(2)正解的存在性I(t)及和R(t)群體的滅絕性。
生物系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)有多種,對于傳染病系統(tǒng),是否具有全局正解是很重要的,由隨機(jī)微分方程解的存在唯一性定理知,若系統(tǒng)滿足局部利普希茨條件和線性增長條件,則具有唯一的正解。通過利用Lyapunov方法證明模型(2)具有唯一的全局正解。
定理 1對于任意給定的初值X(0)=(S(0),I(0),R(0)),系統(tǒng)(2)在t≥0 上存在唯一的解,且該解以概率1 存在于中,即系統(tǒng)(2)在中存在唯一的全局正解。
證明易知模型(2)滿足局部利普希茨條件,則對任意的初始條件,模型(2)存在唯一的局部解X(t)(t∈[ 0,τe]),其中τe是系統(tǒng)的爆破時(shí)間。證明X(t)(t∈[ 0,τe])是模型(2)的全局正解,為了證明該結(jié)論,只要證明τe∈∞a.s.即可。
設(shè)足夠大的正數(shù)k0≥1,能使X(0)都位于區(qū)間中,再k≥k0設(shè),定義停時(shí)
規(guī)定inf ?=∞,易知τk是k的單調(diào)增函數(shù),設(shè),得τ∞=τe∞a.s.,若能證明τ∞=∞,則τe=∞且X(t) ∈(t>0)。故利用反證法的思想證明τ∞=∞,若τ∞≠∞,則存在常數(shù)T>0 及ε∈(0,1),使得P{τ∞≤T}τ∞>ε成立,則存在正數(shù)k1≥k0,對所有的k≥k1,有
將模型(2)相加,得
由方程初值X(0)=(S(0),I(0),R(0)),可求得
為正不變集。
定義
令T=0,則對任意,使用It?公式計(jì)算得
將(6)式代入dV的表達(dá)式得
對(7)式兩邊取0到的積分,再取數(shù)學(xué)期望得
對所有的k≥k1,有P{τk≤T}>ε。對于每一個(gè)ω∈{τk≤T},S(τk,ω),I(τk,ω),R(τk,ω)中至少有一個(gè)等于k或,故有
利用(8)可得
其中Ωk={τk≤T},1Ωk(ω)為Ωk的示性函數(shù),令,有k→∞,
由此可知,假設(shè)不成立,故τe=∞a.s.,即模型(2)存在唯一的全局正解。
討論在模型(2)中,染病群體及治愈者群體的滅絕條件,假設(shè)系統(tǒng)初始條件滿足X(0) ∈Γ?,其中Γ?為為系統(tǒng)(2)的正不變集。
定理2設(shè)為模型(2)的解,對于任意給定初始條件,若
證明利用It?公式,將模型(2)中含有染病群體的項(xiàng)改寫為
兩邊從0到t積分,并除以t,記
由強(qiáng)大數(shù)定律得
取(9)式兩邊的上極限,再將(10)式代入得
這意味著
由洛必達(dá)法則及(11)式,得
系統(tǒng)(2)中的第三項(xiàng)是
由此證明了定理2。
在文獻(xiàn)[7]模型的基礎(chǔ)上,討論了一類具有飽和恢復(fù)率的隨機(jī)傳染病模型,利用Lyapunov 泛函方法討論了模型正解的存在性及唯一性及正不變集的存在性,并使用It? 公式及強(qiáng)大數(shù)定律得到了染病群體及治愈者群體滅絕的充分性條件。定理2表明,如果白噪聲強(qiáng)度滿足一定條件,能夠保證足夠大,則I(t)、R(t)幾乎必然指數(shù)趨于0,即疾病將將消失。這說明較大的隨機(jī)擾動會對傳染病模型中的各類群體產(chǎn)生影響,具有重要的實(shí)際意義。