葉小華

(黎明職業(yè)大學(xué) 通識(shí)教育學(xué)院，福建 泉州 362000)

三耦合薛定諤方程組廣泛應(yīng)用于光纖通訊、生物物理、流體動(dòng)力學(xué)和量子力學(xué)等學(xué)科[1]．本文考慮如下帶有周期邊界條件的三耦合非線性薛定諤方程組：

(1)

其中:Ω=(a,b),i2=-1，復(fù)值函數(shù)ψ10(x),ψ20(x),ψ30(x)為給定的初始函數(shù).α1,α2,α3,σ，e是實(shí)數(shù).

近年來(lái)，已有部分學(xué)者對(duì)三耦合薛定諤方程組進(jìn)行了研究．文[1]考慮了求解該方程組的多辛Preissman格式，該格式不能保持方程組的能量守恒性質(zhì).文[2]采用半顯式多辛分裂格式求解該方程，該格式也不能保持方程組的能量守恒性質(zhì).文[3]和[4]分別利用高階和二階平均向量場(chǎng)方法求解三耦合薛定諤方程組，該格式能精確地保持方程組的離散能量守恒特性，但不能保持方程組的離散質(zhì)量守恒性質(zhì).文[5]利用解耦的局部能量守恒格式求解三耦合方程組(1)，該格式也不能保證質(zhì)量守恒性質(zhì).文[6]提出求解三耦合方程組的一個(gè)無(wú)條件穩(wěn)定的有限差分分裂格式.文[7]則研究了求解三耦合方程組基于指數(shù)時(shí)間差分Crank-Nicolson格式的中心差分和二次樣條逼近. 文[6-7]這兩個(gè)研究工作同樣不能很好地保證質(zhì)量守恒和能量守恒的性質(zhì).Crank-Nicolson離散格式已經(jīng)被用于求解耦合方程組[7-8].本文考慮求解三耦合方程組(1)的守恒型傅里葉譜方法.該格式在時(shí)間和空間方向都具有高精度，即在時(shí)間方向具有二階精度，在空間方向具有譜精度. 此外，該格式能同時(shí)保持質(zhì)量守恒和能量守恒的特性.

1 Crank-Nicolson傅里葉離散格式

(2)

(3)

(4)

定理1方程(2)～(4)保持方程組(1)的離散質(zhì)量守恒以及離散能量守恒，即

(5)

(6)

(7)

(8)

由此即得式(5).式(6)和式(7)可類(lèi)似證明.

由此知式(8)成立.證畢.

取N為正偶數(shù)，將Ω等分成N部分.記L=b-a,h=L/N.xj=a+hj,j=0,1,2,…,N為空間配點(diǎn).并設(shè)

(9)

由于方程組(9)是非線性的，我們采用如下的預(yù)估-校正算法進(jìn)行求解.

(2)校正.求解如下方程組:

(3)判斷.令

2 數(shù)值結(jié)果

其中:a1,a2,a3是波的初始振幅，ε是一個(gè)小擾動(dòng)參數(shù)，l是擾動(dòng)波的波數(shù),θ是初始相位.

首先考察時(shí)間方向的收斂性.圖1給出的是N=256時(shí)計(jì)算得到數(shù)值解與“精確解”之間的最大誤差隨時(shí)間步長(zhǎng)的變化情況.由圖可見(jiàn)，ψ1(x),ψ2(x),ψ3(x)的數(shù)值解在時(shí)間方向都具有二階精度.其次考察空間方向的收斂性.圖2給出的是τ=10-5時(shí)計(jì)算得到的數(shù)值解與“精確解”之間的最大誤差隨N的變化情況，由圖可見(jiàn)，ψ1(x),ψ2(x),ψ3(x)的誤差關(guān)于N呈指數(shù)收斂.

圖1 N=256,T=1時(shí)的最大誤差隨τ的變化情況 圖2 τ=10-5,T=1時(shí)的最大誤差隨N的變化情況Fig.1 Maximum errors at T=1 as a function of N with τ=10-5 Fig.2 Maximum errors at T=1 as a function of τ with N=256

接下來(lái)考慮方程的守恒率和孤立波的演化行為.取N=256,τ=0.05,T=100進(jìn)行計(jì)算.圖3給出的是質(zhì)量和能量的誤差的時(shí)間演化，由圖可見(jiàn),數(shù)值格式可以很好地保持方程組的離散能量守恒特性.圖4給出的是數(shù)值解的演化行為，由圖可見(jiàn),逼近格式可以很好地模擬方程組(1)的孤立波的演化行為.

圖3 數(shù)值解的質(zhì)量誤差和能量誤差變化情況Fig.3 The residual errors of mass and energy against time

圖4 數(shù)值解演化輪廓Fig.4 The profiles of numerical solutions

3 結(jié)語(yǔ)

利用Crank-Nicolson方法對(duì)三耦合方程組進(jìn)行離散逼近，證明了離散格式的離散質(zhì)量和能量守恒特性.數(shù)值算例說(shuō)明方法在時(shí)間方向具有二階精度，在空間方向具有譜精度，并且能保持離散質(zhì)量和離散能量的守恒特性.