蘇映宏 吳忠維 崔傳智 陳業(yè)祥 馬天賜 劉國政

（1. 中國石油化工股份有限公司石油勘探開發(fā)研究院， 北京 100083； 2. 中國石油大學（華東） 石油工程學院， 山東青島 266580）

0 引 言

水力壓裂技術(shù)已廣泛運用于油氣藏開發(fā)， 而水力壓裂能否產(chǎn)生高導流人工裂縫是評價水力壓裂效果好壞的關(guān)鍵之一［1-3］。 目前關(guān)于水力壓裂支撐裂縫導流能力研究較多［4-6］， 可分為運用實驗手段與數(shù)學理論分析兩個方面去研究支撐裂縫導流能力。Lacy 等［7-8］通過室內(nèi)實驗手段， 研究了支撐劑在軟地層中的嵌入與嵌入后的導流能力； 并于1998 年研發(fā)了一種計算機控制實驗技術(shù)， 該技術(shù)可用于測量裂縫寬度與支撐劑在軟地層中的嵌入深度。Fredd 等［9］運用德克薩斯Cotton 砂巖儲層巖心展開了一系列的裂縫導流能力實驗， 研究結(jié)果表明， 在沒有支撐劑的情況下， 裂縫不平整與裂縫面的位移導致裂縫閉合不完全， 從而提供足夠的裂縫導流能力； 這種情況下導流能力變化在2 個數(shù)量級之內(nèi)，具體的參數(shù)值主要受裂縫壁面凹凸大小、 分布及實驗硬度等力學性質(zhì)控制。 對于支撐裂縫的導流能力主要受支撐劑濃度、 支撐劑強度、 地層性質(zhì)控制。Barree 等［10］運用室內(nèi)實驗手段闡明了支撐裂縫導流能力傷害機理。 王麗偉等［11］運用ZCJ-200 型導流能力試驗裝置開展了3 種不同壓裂液在相同支撐劑類型、 鋪置濃度、 不同閉合壓力下對支撐劑充填裂縫導流能力的傷害程度研究。 郭建春等［12］運用自行研制的支撐劑嵌入程度測試分析系統(tǒng)研究了支撐劑在地層巖心中的嵌入程度， 并考察了不同鋪砂濃度、 不同應力條件對各巖心的支撐劑嵌入情況。 盧聰?shù)龋?3］運用自行研制的測試儀器， 對地層巖心的支撐劑嵌入情況進行了實驗研究， 并在支撐劑嵌入的基礎(chǔ)上， 考慮了地層碎屑對裂縫導流能力損害的影響。 曲占慶等［14］運用改進的FCES-100 裂縫導流儀， 研究了支撐裂縫導流能力影響因素作用規(guī)律， 并提出了改善支撐裂縫導流能力方法。 以上研究均是通過實驗手段去研究支撐劑裂縫導流能力， 這些研究均沒有涉及到裂縫導流能力的解析模型， 尤其缺失考慮裂縫形態(tài)的導流能力表征方法。

李勇明等［15］運用微元分析方法給出了支撐劑嵌入深度計算模型， 并分析了閉合壓力、 支撐劑粒徑、 巖石彈性模量對支撐劑嵌入的影響。 孟雅等［16］在分析支撐劑鋪置類型的基礎(chǔ)上， 運用K-C方程， 建立了考慮支撐劑大小、 鋪置層數(shù)、 閉合壓力等參數(shù)影響的裂縫導流能力表征公式， 并分析了這些關(guān)鍵參數(shù)的影響； 但這些研究只是適用于平板裂縫情況， 而實際裂縫多成楔形。 趙金洲等［17］、Li 等［18］運用彈性力學理論， 考慮支撐劑變形與嵌入， 建立了單層、 多層支撐劑鋪置類型下的裂縫導流能力計算方法， 并通過與實驗結(jié)果對比驗證了模型的準確性， 他們的研究結(jié)果復雜， 不便于現(xiàn)場運用且所運用的彈性理論方程并不完全適用于支撐劑嵌入裂縫過程。 張遂安等［19］根據(jù)Hertz 理論， 推導出二維多層支撐劑嵌入煤巖的縫寬模型和壓嵌模型， 利用實驗數(shù)據(jù)對模型進行了驗證。 陳銘等［20］建立了支撐劑嵌入巖體的本構(gòu)方程， 再結(jié)合巖體—支撐劑體系的接觸應力分析， 提出了彈塑性變形的支撐劑嵌入深度計算方法。

基于以上分析可知， 目前缺少考慮裂縫形態(tài)（楔形） 與支撐劑嵌入的支撐裂縫導流能力計算方法。 因此， 在考慮支撐劑嵌入、 裂縫形態(tài)影響的基礎(chǔ)上， 建立了支撐裂縫導流能力計算模型， 并分析了關(guān)鍵參數(shù)對裂縫導流能力的影響， 該研究對水力壓裂設(shè)計與優(yōu)化具有重要意義。

1 支撐裂縫導流能力計算模型

水力壓裂在儲層中形成了裂縫寬度不等的楔形支撐裂縫（裂縫寬度沿著裂縫方向遠離井筒線性降低）， 為解決裂縫寬度變化對支撐裂縫導流能力計算的難度， 將裂縫沿縫長離散成多個裂縫微元，每個裂縫微元的裂縫寬度不變， 但裂縫微元之間的裂縫寬度不同。 通過計算每個離散微元的導流能力， 最后可獲得整個裂縫的導流能力。

由于在儲層應力作用下裂縫閉合、 支撐劑嵌入儲層， 因此支撐裂縫導流能力計算模型分為2 部分， 分別為不考慮支撐劑嵌入的支撐裂縫導流能力計算與考慮支撐劑嵌入的支撐裂縫導流能力計算。

1.1 不考慮支撐劑嵌入的支撐裂縫導流能力計算

支撐劑在裂縫中的鋪置類型包括單層鋪置與空間鋪置， 其中單層鋪置包括正對鋪置與交錯鋪置［21］。 選取單層鋪置類型中的交錯鋪置類型開展研究， 圖1 為支撐劑交錯鋪置的示意。

裂縫離散成多個微元后， 每個裂縫微元的導流能力計算方法相同， 以裂縫跟端（裂縫入口處）微元為例， 介紹裂縫微元的導流能力計算方法。

針對裂縫跟端微元， 依據(jù)支撐劑鋪置類型， 可以獲得幾何關(guān)系： ①裂縫寬度等于wfr與2R之和，其中wfr表示的長度見圖2，R為支撐劑顆粒半徑；②wfr為n-1 倍的WFR，n為支撐劑層數(shù)，WFR表示的長度見圖2。

將幾何關(guān)系②代入①中， 可得裂縫跟端寬度與鋪置層數(shù)、 支撐劑大小的關(guān)系為

式中：wi——裂縫跟端寬度， m；R——支撐劑半徑， m；n——支撐劑層數(shù)。

將式（1） 變形， 可以獲得支撐劑層數(shù)計算公式為

取裂縫長為lfΔ單元（裂縫寬度為wi、 裂縫高度為h）， 依據(jù)孔隙度定義（該單元中孔隙體積與外表體積之比）， 可得裂縫跟端孔隙度計算公式為

又有表征滲透率與孔隙度、 孔隙半徑關(guān)系的Kozeny-Carman 方程， 即

式中：K——滲透率， μm2；r——有效流動孔隙半徑， μm；τ——有效流動孔隙的迂曲度；φ——孔隙度。

將式（3） 代入方程式（4）， 可以得到裂縫跟端滲透率公式

式中：Ki——裂縫跟端滲透率， μm2；ψ1——單位轉(zhuǎn)換系數(shù)， 取值為1012。

從式（5） 可知， 若要求取裂縫跟端滲透率，必須取半徑r。 以下通過分析支撐劑鋪置類型， 求取有效流動孔隙半徑r。 通過支撐劑鋪置類型， 可知支撐裂縫有效流動孔隙可以分為2 種： 由支撐劑環(huán)繞形成的孔隙（即不與裂縫壁面接觸的孔隙）與由支撐劑和裂縫環(huán)繞而成的孔隙（即與裂縫接觸的孔隙）。 圖3 為不與裂縫壁面接觸的孔隙示意； 由圖3 可知， 有效流動孔隙由多個支撐劑圍繞而成。

針對不與裂縫壁面接觸孔隙， 運用高度為顆粒直徑大小的三菱柱去截（見圖3 中的三角形），再依據(jù)體積守恒可知： 三菱柱體積等于孔隙體積與支撐劑顆粒所占體積之和。 依據(jù)該關(guān)系并運用體積守恒將孔隙等效為圓柱， 可以獲得不與裂縫接觸孔隙的有效半徑與支撐劑半徑的關(guān)系為

式中rff1——不與裂縫接觸孔隙的有效半徑， m。

將式（6） 變形， 可以獲得不與裂縫接觸孔隙的有效半徑rff1為

對于與裂縫接觸的有效流動孔隙（圖4） 可知， 孔隙由裂縫壁面與支撐劑圍繞而成。

運用高度為顆粒直徑大小的長方體去截（圖4）， 依據(jù)體積守恒可得： 長方體體積等于孔隙體積與支撐劑所占體積之和。 依據(jù)該關(guān)系并運用體積守恒將孔隙等效為圓柱， 可得與裂縫接觸孔隙的有效半徑與支撐劑半徑的關(guān)系為

式中rff2——與裂縫接觸的孔隙半徑， m。

將式（8） 變形， 可以獲得與裂縫接觸的孔隙半徑rff2為

依據(jù)支撐劑鋪置類型可知： 對于n層裂縫， 有2n個有效流動孔隙； 其中（2n-2） 個不與裂縫接觸的有效流動孔隙， 2 個與裂縫接觸的有效流動孔隙。 依據(jù)孔隙個數(shù)平均， 可獲得平均孔隙半徑為

式中rf——等效后的平均孔隙半徑， m。

將式（10） 代入式（5） 可以獲得支撐裂縫跟端絕對滲透率。 由于壓裂液殘留、 支撐劑破碎、 裂縫壁面凹凸不平等都將傷害支撐裂縫滲透率， 故引入傷害系數(shù)?， 修正裂縫絕對滲透率為

式中?——滲透率傷害系數(shù)， 該系數(shù)描述了壓裂液殘留、 支撐劑破碎、 裂縫避免凹凸不平等對滲透率的傷害， 通過與實驗結(jié)果對比， 確定該參數(shù)的取值。

將式（11） 乘以裂縫跟端寬度即得裂縫跟端的導流能力。 針對其他離散的裂縫微元， 運用以上方法， 可以求得其滲透率與裂縫導流能力， 最后可以獲得不考慮支撐劑嵌入的、 沿裂縫長度分布的導流能力。

1.2 考慮支撐劑嵌入的支撐裂縫導流能力計算

受裂縫閉合應力影響， 支撐劑將嵌入裂縫。 先計算支撐劑嵌入深度， 再通過修正不考慮支撐劑嵌入的支撐劑裂縫導流能力計算公式， 獲得考慮支撐劑嵌入時的導流能力計算公式。

1.2.1 支撐劑嵌入深度計算與分析

由圖5 可知， 支撐劑嵌入裂縫壁面后存在以下三角關(guān)系， 即

式中：r——與壁面接觸面積在裂縫壁面上投影圓的半徑， m；d——支撐劑嵌入裂縫壁面深度， m。

又有與壁面接觸面積在裂縫壁面上投影圓的面積公式， 即

將式（12） 代入到式（13） 中， 可得投影圓面積為

對支撐劑進行受力分析， 依據(jù)受力平衡關(guān)系可得

式中：σpc——接觸面平均接觸應力， Pa；pf——裂縫流體所受壓力， Pa；σc——裂縫閉合應力， Pa。

依據(jù)Hertz 理論， 支撐劑嵌入深度d與平均接觸應力σpc存在關(guān)系

運用式（14）、 式（15）、 式（16） 可以獲得嵌入深度的隱式表達式

由于嵌入深度公式為隱式公式， 本文采用圖解法獲取支撐劑嵌入深度， 計算所用數(shù)據(jù)見表1， 計算結(jié)果見圖6。 由圖6 可知， 式（17） 右邊的值連續(xù)增加， 而左邊的值相對比較平緩； 兩條線相交于0.004 6 mm； 即當巖石與支撐劑的彈性模量分別為35 210、 41 306 MPa 時， 支撐劑的嵌入深度小于支撐劑半徑（只有半徑的1.9%）， 嵌入深度極小。

表1 支撐劑嵌入裂縫壁面深度計算所需參數(shù)Table 1 Parameters required for calculating the depth of the proppant embedded in the fracture wall

1.2.2 支撐裂縫的導流能力

由于支撐劑嵌入深度小于支撐劑半徑， 故得裂縫中支撐劑嵌入裂縫壁面示意（圖7）。 由圖7 可知， 支撐劑嵌入主要改變與裂縫接觸孔隙的流動空間， 由于嵌入深度極小， 且與裂縫接觸流動孔隙數(shù)占總孔隙數(shù)比例很小， 所以忽略對有效流動孔隙半徑的影響； 故只需修正不考慮支撐劑嵌入深度導流能力計算公式中的孔隙度， 就可獲得考慮支撐劑嵌入的支撐裂縫導流能力計算公式。 由于每個離散的裂縫微元計算方法相同， 所以以裂縫跟端為例介紹考慮支撐劑嵌入的支撐裂縫導流能力計算方法。

支撐劑嵌入之后， 裂縫跟端孔隙度計算公式為

式中：φemi—— 嵌入之后的支撐裂縫孔隙度；

Vem——支撐劑嵌入裂縫壁面的體積， m3。

由于嵌入深度d相比于支撐劑半徑較小， 故可以將式（18） 簡化為

依據(jù)Kozeny-Carman 公式， 并引入滲透率傷害系數(shù)?， 以考慮壓裂液殘留、 支撐劑破碎、 裂縫避免凹凸不平等對滲透率的傷害， 可以獲得嵌入后裂縫的滲透率計算公式為

式中Kemi——考慮嵌入之后的支撐裂縫跟端滲透率， μm2。

將式（20） 乘以裂縫跟端寬度即得裂縫跟端的導流能力。 針對其他離散的裂縫微元， 運用以上方法， 可以求得其滲透率與裂縫導流能力； 最后可以獲得考慮支撐劑嵌入的沿裂縫分布的導流能力。

2 裂縫導流能力計算模型驗證與影響因素

2.1 導流能力計算模型驗證

為驗證支撐裂縫導流能力計算模型的準確性，簡化本文模型， 運用簡化模型去計算任一寬度、 支撐劑大小條件下的填充裂縫導流能力， 并將計算結(jié)果與文獻［13］ 中的報道結(jié)果進行對比。 模型驗證所用的參數(shù)見文獻［13］， 對比結(jié)果見表2。 從表2 中可知， 本文模型與文獻［13］ 中報道結(jié)果很相近， 相對誤差最大為5.05%。 該對比說明了本文模型能用于準確計算支撐裂縫導流能力。

表2 本文模型計算結(jié)果與文獻［13］ 結(jié)果對比Table 2 Comparisons between the results calculated by the model and Literature ［13］

2.2 導流能力關(guān)鍵參數(shù)的影響規(guī)律

影響因素分析所用的參數(shù)分別為： 裂縫跟端寬度0.002 m， 裂縫長度100 m。由于支撐劑的常用單位為目， 為方便計算， 獲得單位目與單位米之間的換算關(guān)系， 具體見表3。

表3 支撐劑目數(shù)與支撐劑半徑對應關(guān)系［13］Table 3 Correspondences between the proppant mesh number and proppant radius［13］

2.2.1 支撐劑半徑對裂縫導流能力的影響

運用以上參數(shù)與建立的模型，分析支撐劑半徑對支撐裂縫滲透率與導流能力的影響。 由圖8 可知，在支撐劑大小不變的情況下， 沿著裂縫， 離井筒越遠， 裂縫滲透率降低； 這是由于沿著裂縫遠離井筒， 裂縫寬度越來越小， 導致滲透率降低。 在裂縫寬度不變的情況下， 即在裂縫跟端處， 隨著支撐劑半徑越大， 裂縫滲透率越高。 這是由于在裂縫寬度一定的情況下， 支撐劑半徑越大， 有效流動孔隙半徑越大， 因而滲透率越大。

由圖9 可知， 當支撐劑大小一定時， 沿著裂縫遠離井筒， 導流能力降低， 且降低速度由大變小； 這是因為沿著裂縫遠離井筒， 裂縫寬度越來越小， 同時滲透率也越小， 因此導流能力越來越小。當裂縫寬度不變時， 隨著支撐劑半徑增加， 裂縫導流能力增加； 這是由于裂縫寬度不變時， 支撐劑半徑越大， 導致裂縫滲透率越大， 因此裂縫導流能力越大。

2.2.2 裂縫跟端寬度對裂縫導流能力的影響

支撐劑大小為20 ～40 目 （即支撐劑半徑為2.993×10-4m）， 其他參數(shù)見前所述， 分析裂縫跟端寬度對裂縫跟端滲透率、 導流能力的影響。 由圖10 可知， 當裂縫跟端寬度一定時， 沿著裂縫遠離井筒， 滲透率越??； 這是由于沿著裂縫遠離井筒，裂縫寬度越小， 在支撐劑大小一定的條件下， 裂縫滲透率越小。 當支撐劑大小一定時， 裂縫跟端寬度增加， 導致裂縫跟端滲透率增加， 且增加的速度先快后慢。 這是由于支撐劑大小一定， 裂縫跟端寬度越大， 滲透率越大； 且裂縫寬度越大， 支撐劑層數(shù)越多； 使得與裂縫接觸孔隙半徑占比越小， 由于與裂縫接觸孔隙半徑小于不與裂縫接觸孔隙半徑， 因此等效半徑越大， 這樣也導致滲透率的增加。 當裂縫跟端寬度從小到大時， 與裂縫接觸孔隙半徑占比變小， 且變小速度從快到慢， 故滲透率增加速度從大到小。

由圖11 可知， 當裂縫跟端寬度、 支撐劑大小一定時， 沿著裂縫遠離井筒， 裂縫導流能力越來越小， 且降低的速度從快到慢。 這是由于沿著裂縫遠離井筒， 裂縫寬度降低， 滲透率也降低， 故裂縫導流能力降低。 當支撐劑大小一定時， 裂縫跟端寬度越大， 裂縫跟端的導流能力越大。 這是由于裂縫跟端寬度越大， 裂縫跟端滲透率越大， 故跟端導流能力越大； 同時跟端寬度越大， 支撐劑層數(shù)越多， 與裂縫接觸的孔隙半徑占比越小， 由于與裂縫接觸孔隙半徑小于不與裂縫接觸孔隙半徑， 故裂縫滲透率進一步增加。

2.2.3 支撐劑嵌入對導流能力的影響

圖12 為支撐劑嵌入對導流能力的影響。 由圖12 （a） 可知， 支撐劑跟端寬度越大， 裂縫導流能力越大； 沿著裂縫遠離井筒， 裂縫導流能力降低。與支撐劑不嵌入的情況相比， 各裂縫跟端寬度下的支撐劑嵌入后裂縫導流能力均小于不考慮嵌入時的裂縫導流能力； 且沿著裂縫遠離井筒， 嵌入與不嵌入的導流能力絕對差值從大變小。 這是由于當支撐劑嵌入裂縫壁面時， 相當于有效裂縫寬度變小同時單位體積內(nèi)的有效流動孔隙也變小， 故裂縫導流能力降低。 圖12 （b） 為不同的支撐劑大小情況下，支撐劑嵌入與不嵌入對沿著裂縫方向的裂縫導流能力的影響。 支撐劑目數(shù)越小， 即支撐劑半徑越大時， 裂縫導流能力越大； 且與支撐劑不嵌入相比，支撐劑嵌入時的裂縫導流能力要小于不嵌入情況的裂縫導流能力； 沿著裂縫遠離井筒， 支撐劑嵌入對裂縫導流能力的影響變小。 這是由于裂縫嵌入降低了有效裂縫寬度， 同時也降低了單位體積內(nèi)的有效流動孔隙。 當裂縫寬度較?。?.2 cm）、 支撐劑半徑較?。?0 ～70 目） 時， 嵌入對裂縫導流能力的影響較弱。

圖13 為嵌入深度對裂縫導流能力的影響。 由圖13 （a） 可知， 裂縫嵌入深度占裂縫寬度比例越大， 裂縫跟端與中點處的導流能力越小。 這是由于隨著裂縫嵌入深度占裂縫寬度比例變大， 有效流動孔隙越少， 單位體積的流動孔隙越小， 依據(jù)K—C方程， 可得其滲透率越??； 故裂縫跟端與中點處裂縫導流能力越低。 圖13 （b） 為不同支撐劑嵌入深度下， 沿著裂縫分布的導流能力。 當支撐劑嵌入深度不變時， 沿著裂縫遠離井筒， 裂縫導流能力降低， 且降低速度由快變慢； 當裂縫位置不變時， 裂縫嵌入深度越大， 裂縫導流能力越小。 這是由于沿著裂縫遠離井筒， 裂縫寬度越來越小， 滲透率也越來越小， 故導流能力降低。 當裂縫位置不變時， 裂縫寬度不變； 由于支撐劑嵌入深度將導致有效寬度減?。?嵌入深度越大， 有效寬度越?。?故最終使得支撐劑嵌入深度與裂縫導流能力呈現(xiàn)出支撐劑嵌入深度越大， 導流能力越小的特征。

3 結(jié) 論

（1） 建立了考慮支撐劑嵌入的楔形支撐裂縫導流能力計算模型， 并通過與已報道的支撐裂縫導流能力進行對比， 驗證了模型的準確性。 該模型說明了支撐裂縫導流能力與支撐劑大小、 支撐劑嵌入、 裂縫寬度等參數(shù)有關(guān)， 其能用于計算沿裂縫分布的導流能力。

（2） 沿著裂縫遠離井筒， 裂縫滲透率降低，導流能力降低； 但導流能力降低趨勢為先降低快、后降低慢。 裂縫支撐劑大小不變條件下， 裂縫寬度越大， 裂縫滲透率越大； 裂縫寬度越大， 導流能力越大； 裂縫寬度一定時， 支撐劑半徑越大， 滲透率與導流能力越大。

（3） 當巖石與支撐劑的彈性模量分別為35 210、41 306 MPa 時， 支撐劑的嵌入只有支撐劑半徑的1.9%， 嵌入深度極?。?支撐劑嵌入后裂縫導流能力沿著裂縫變化的趨勢與支撐劑嵌入前相同； 但支撐劑嵌入后的裂縫導流能力與嵌入前的情況相比有所下降。 支撐劑直徑越小或嵌入深度越大， 裂縫中有效流動空間變小， 最終導致裂縫導流能力的降低。