任乘乘 宋 軍 何舒平

(1.安徽大學(xué)人機共融系統(tǒng)與智能裝備安徽省工程實驗室,安徽合肥 230601;2.安徽大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院,安徽合肥 230601;3.安徽大學(xué)人工智能學(xué)院,安徽合肥 230601)

1 引言

實際工程應(yīng)用中,常常會出現(xiàn)如系統(tǒng)組件的隨機故障、環(huán)境干擾以及非線性特性等導(dǎo)致操作點的突然變化等現(xiàn)象.這些突變現(xiàn)象一定程度上改變了各個子系統(tǒng)的工作狀態(tài).作為一類特殊的隨機系統(tǒng),Markov跳變系統(tǒng)常常被用來描述此類現(xiàn)象,并刻畫各子系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián);基于此,學(xué)術(shù)界產(chǎn)生了許多創(chuàng)新性成果[1-2].然而,當前關(guān)于Markov跳變系統(tǒng)的研究成果中,大部分都是假設(shè)系統(tǒng)所設(shè)計的控制器可訪問系統(tǒng)的模態(tài)信息,以實現(xiàn)控制器模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)之間的同步[3].實際上,由于系統(tǒng)信號延遲、信息測量不及時等原因,完全同步往往難以實現(xiàn),進而導(dǎo)致設(shè)計結(jié)果的保守性.在此情況下,采用隱Markov建模[4-5],構(gòu)建異步控制策略,不失為一種可行的方法.文獻[6]針對時變Markov跳變系統(tǒng),研究了有限時間區(qū)間內(nèi)的異步輸出反饋控制問題.在此基礎(chǔ)上,作者進一步討論了時變隱Markov跳變系統(tǒng)的異步滑?？刂茊栴}[7].文獻[8]設(shè)計了非線性隱Markov跳變系統(tǒng)的異步濾波器.結(jié)合T-S模糊方法,文獻[9]對連續(xù)時間隱Markov跳變系統(tǒng)的有限時間L2異步控制問題進行了分析.

另一方面,人們在研究動態(tài)系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)很多系統(tǒng)狀態(tài)會出現(xiàn)一種非負現(xiàn)象,而且系統(tǒng)的初始狀態(tài)和控制輸入均非負時,其系統(tǒng)狀態(tài)以及控制輸出也是非負的,此類特殊的動態(tài)系統(tǒng)被稱為正系統(tǒng)[10-12].實際上,學(xué)術(shù)界對含隨機跳變參數(shù)的正系統(tǒng)的研究也日益廣泛.針對含有輸入飽和的Markov正跳變系統(tǒng),文獻[13]研究了其事件觸發(fā)控制問題.文獻[14]探討了具有時變延遲的非線性Markov正跳變系統(tǒng)的非脆弱飽和控制問題.文獻[15]采用線性規(guī)劃的方法對具有飽和單輸入的Markov正跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了分析.實際上,如果在正跳變系統(tǒng)設(shè)計過程中,控制器不能及時訪問系統(tǒng)的模態(tài)信息,導(dǎo)致控制器模態(tài)和系統(tǒng)模態(tài)無法做到同步,如何進行分析與設(shè)計呢?更進一步,如果系統(tǒng)中含有未知不匹配擾動,導(dǎo)致對系統(tǒng)綜合分析產(chǎn)生一定的影響,如何進行深入的控制與綜合研究呢?基于這兩個問題,本文引入擴展狀態(tài)觀測器(extended state observer,ESO)方法.

ESO不僅可用于實時估計系統(tǒng)的未測量狀態(tài),還可用于估計由系統(tǒng)未知參數(shù)或無法建模的動力學(xué)等造成的未知擾動[16-17].ESO方法不僅對系統(tǒng)模型的依賴性較小,而且對外部非線性擾動具有較強的魯棒性[18-19].文獻[20]結(jié)合ESO方法對三相功率變換器的滑模控制問題進行了研究.針對非線性反推液壓系統(tǒng),文獻[21]利用ESO方法探討了其輸出反饋魯棒控制問題.此外,ESO技術(shù)還被廣泛用于電液伺服系統(tǒng)的自適應(yīng)控制[22]以及DC-DC降壓電源轉(zhuǎn)換器系統(tǒng)的滑模控制[23]中.

本文針對一類含不匹配擾動的隨機隱Markov跳變系統(tǒng),研究基于ESO的有限時間異步控制問題.與現(xiàn)有結(jié)果相比,本文的主要創(chuàng)新點如下:

1) 首次結(jié)合ESO技術(shù),研究隨機隱Markov跳變系統(tǒng)的有限時間控制問題.放松現(xiàn)有成果中系統(tǒng)模態(tài)和控制器模態(tài)嚴格同步的限制,本文構(gòu)建隱Markov模型,解決觀測器/估計器與系統(tǒng)切換難同步問題;

2) 基于ESO方法通過引入一組擴展變量處理系統(tǒng)中的未知不匹配擾動,并設(shè)計合適的擾動補償增益,補償不匹配擾動在控制輸出中的影響;

3) 結(jié)合隨機Lyapunov-Krasovskii泛函方法,設(shè)計合適的基于ESO的異步狀態(tài)反饋控制器和觀測器,使得閉環(huán)隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)是正系統(tǒng),且有限時間有界.

符號說明:在本文中如果沒有特殊說明,所有矩陣和符號都是標準的且具有兼容的維數(shù).文中其他的數(shù)學(xué)符號含義如表1所示.

表1 本文符號含義Table 1 Symbols notations

2 系統(tǒng)描述

本文考慮如下定義在概率空間(Γ,Δ,Prob(·))的具有不匹配擾動的隨機隱Markov跳變系統(tǒng):其中x(t)=col[x1(t)x2(t)··· xn(t)]∈Rn是狀態(tài),y1(t)∈Rm是測量輸出,y2(t)∈Rb是控制輸出,u(t)∈Rp是控制輸入,f(x(t),d(t),t)是不確定不匹配擾動函數(shù),d(t)∈Rq是外部干擾,x0和r0分別為初始狀態(tài)和初始模態(tài).

定義1[10]對于任意給定的正初始狀態(tài)x0>0、初始模態(tài)r0>0以及控制輸入u(t)>0,如果對于任意時間t>0,隨機隱Markov跳變系統(tǒng)的狀態(tài)以及控制輸出滿足x(t)>0,y2(t)>0,則稱該隨機隱Markov跳變系統(tǒng)為正系統(tǒng).

引理1[10]對于任意的r(t)=i ∈N,稱隨機隱Markov跳變系統(tǒng)(3)為正系統(tǒng),當且僅當Ai為Metzler矩陣,Bi,Gi,C1i和C2i為正矩陣.

引理2[10]對于任意的r(t)=i ∈N,稱矩陣Ai為Metzler矩陣,當且僅當存在一個隨機正常數(shù)αi>0滿足Ai+αiI ?0.

由定義1和引理1知,如果隱Markov跳變系統(tǒng)(3)是正系統(tǒng),那么系數(shù)矩陣滿足:A(r(t))∈Rn×n是依賴于隨機過程r(t)的Metzler 矩陣,B(r(t))∈Rn×1,G(r(t))∈Rn×1,C1(r(t))∈Rm×n,C2(r(t))∈Rb×n是依賴于隨機過程r(t)的正矩陣.

考慮到隨機隱Markov正跳變系統(tǒng)(3)中的不確定不匹配擾動,基于擴展狀態(tài)觀測理論[16,18],引入如下擴展變量:

注2實際工程應(yīng)用中,由于系統(tǒng)信號延遲、數(shù)據(jù)丟包等不確定原因,往往設(shè)計的控制器無法直接訪問系統(tǒng)模態(tài).基于此,本文采用式(6)所示的觀測狀態(tài)?(t)來獲取控制器模態(tài),系統(tǒng)模態(tài)則由隱藏狀態(tài)r(t)表示.另一方面,由于本文設(shè)計的觀測器通過觀測系統(tǒng)的估計輸出值進行反饋,觀測值由隱Markov跳變系統(tǒng)的隱藏狀態(tài)r(t)和觀測狀態(tài)?(t)共同決定.因此,設(shè)計的觀測器增益依賴于Z(t).

注3由于隨機隱Markov跳變系統(tǒng)(3)的系統(tǒng)模態(tài)則由隱藏狀態(tài)r(t)表示,此時測量輸出y1(t)和控制輸出y2(t)依賴于隱藏狀態(tài)r(t).另一方面,本文設(shè)計的觀測器增益依賴于Z(t),此時測量估計輸出ˉy1(t)和控制估計輸出ˉy2(t)同時依賴于隱藏狀態(tài)r(t)和觀測狀態(tài)?(t).

在系統(tǒng)分析與設(shè)計前,首先給出如下定義、引理和假設(shè).

定義2[24]對于給定的常數(shù)T>0,c1>0,如果存在常數(shù)c2>c1>0、對稱正定矩陣～Rik>0,使得對于任意t ∈[0T],下式成立:

3 主要結(jié)論

本文的目的是引入適當?shù)臄U展變量,設(shè)計合適的依賴于?(t)的異步狀態(tài)反饋控制器和觀測器,使得相應(yīng)的閉環(huán)隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)為正系統(tǒng),且有限時間有界.同時,設(shè)計并選擇合適的擾動補償增益K2k,補償不匹配擾動在控制輸出中的影響.

定理1 基于假設(shè)1,對于任意的r(t)=i ∈N,如果依賴于?(t)的異步狀態(tài)反饋控制器(6)使得(Ai+BiK1k)是Schur矩陣,且所設(shè)計的擾動補償增益K2k滿足

那么,異步狀態(tài)反饋控制器(6)可以補償隨機隱Markov跳變系統(tǒng)(3)中不確定不匹配擾動f(x(t),d(t),t)對控制輸出y2(t)的影響.

證 對于任意的r(t)=i ∈N,將依賴于?(t)的異步狀態(tài)反饋控制器(6)代入到式(3)中,可得

由式(13)可以看出,不確定不匹配擾動f(x(t),d(t),t)對增廣跳變系統(tǒng)的影響在控制輸出y2(t)中被補償,并且擾動補償增益K2k=?[C2i(Ai+Bi K1k)?1Bi]?1C2i(Ai+BiK1k)?1Gi.證畢.

注4定理1給出了保證不確定不匹配擾動f(x(t),d(t),t)對隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)的影響在控制輸出y2(t)中被衰減時的充分條件.在下面的定理2中,將給出充分條件保證基于ESO的閉環(huán)隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)(8)是正系統(tǒng)、且關(guān)于(c1,c2,T,～Rik,?)有限時間有界.

那么,稱基于ESO的閉環(huán)隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)(8)是正系統(tǒng),且關(guān)于(c1,c2,T,～Rik,?)有限時間有界.

進而,對于任意的t ∈[0T],對式(20)從0到t進行積分,可得

注5由式(18)知,不確定不匹配擾動f(x(t),d(t),t)及其變化率b(t)對增廣跳變系統(tǒng)具有一定的影響.為了分析并得到基于ESO的閉環(huán)隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)(8)是正系統(tǒng)且有限時間有界的充分條件,本文假設(shè)不確定的不匹配擾動函數(shù)f(x(t),d(t),t)及其變化率b(t)和外部干擾d(t)是未知有界函數(shù),且滿足假設(shè)1和假設(shè)2給定的有界條件.

注6定理2給出了保證基于ESO的閉環(huán)隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)(8)是正系統(tǒng)、且關(guān)于(c1,c2,T,～Rik,?)有限時間有界的充分條件.需要指出的是,由于矩陣不等式(14)中含有非線性項,不能直接利用MATLAB工具箱求解.在定理3中,本文將結(jié)合矩陣不等式轉(zhuǎn)換法將式(14)中的非線性項進行處理,得到可直接求解Eik,K1k和K2k的線性矩陣不等式.同時,定理3將對系統(tǒng)(8)的正性進行分析,給出滿足隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)為正系統(tǒng)的充分條件.

因此,利用Schur補引理和特征值轉(zhuǎn)換法,可由式(34)得到式(27)-(28).

接下來,證明基于ESO的閉環(huán)隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)(8)是正系統(tǒng).由式(29)-(30)可知(ˉAiLiQk+ˉBiSk)和ˉAiLiQk是Metzler矩陣,?ˉBiSk是正矩陣,并考慮到Sk=KkLiQk,可知(ˉAi+ ˉBiKk)LiQk和ˉAi LiQk是Metzler矩陣,?ˉBiKkLiQk是正矩陣.因此,式(8)中的～Aik是Metzler矩陣.同時,由于～Gik和～C2i是正矩陣.結(jié)合定義1和引理1知基于ESO的閉環(huán)隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)(8)是正系統(tǒng).證畢.

4 數(shù)值算例

例1 考慮如下的具有兩個模態(tài)的含有不匹配函數(shù)的二階隨機Markov跳變系統(tǒng):

其中各模態(tài)參數(shù)的選取如表2所示.

表2 二階隨機Markov跳變系統(tǒng)(35)參數(shù)Table 2 The parameters of the second-order stochastic Markov jump systems(35)

由式(35)和表4可知隨機隱Markov正跳變系統(tǒng)的隱藏狀態(tài)r(t)在集合N:={1,2}中取值,其系統(tǒng)參數(shù)矩陣為

不確定的不匹配擾動函數(shù)取f(x(t),d(t),t)=ex2(t)+sinx2(t).假設(shè)隨機隱Markov正跳變系統(tǒng)的隱藏狀態(tài)r(t)的轉(zhuǎn)移率矩陣為

同時,考慮到控制器增益Kk依賴于觀測狀態(tài)?(t),其中?(t)∈M.假設(shè)隨機隱Markov正跳變系統(tǒng)具有兩種控制策略,即,M:={1,2},且依賴于Π的條件概率矩陣為

通過求解式(26)-(30),可以得到觀測器增益Eik和控制器增益K1k為

同時,考慮到定理1,可以求解出擾動補償增益分別為:K21=?2.7483,K22=?4.6064以及系統(tǒng)參數(shù)c2=3.3776.假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為:x(0)=col[0.6 0.6],c1=0.9,Rik=I.通過對系統(tǒng)在t ∈[0 3]內(nèi)進行仿真,可以得到如下圖1-5所示的仿真結(jié)果.

圖1給出了隱Markov系統(tǒng)的跳變模態(tài),其中圖(a)是隱藏狀態(tài)r(t)的跳變模態(tài),圖(b)是觀測狀態(tài)?(t)的跳變模態(tài).圖2是基于ESO的閉環(huán)隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)軌跡E{～ωT(t)～Rik～ω(t)},通過圖2可以看出基于ESO的閉環(huán)隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)(8)是正系統(tǒng)、且關(guān)于(0.9,3.3776,3,1,0.3)有限時間有界.圖3-5分別給出了閉環(huán)隨機隱Markov跳變系統(tǒng)的實際狀態(tài)軌跡x(t)、估計狀態(tài)軌跡ˉx(t),估計誤差軌跡e1(t),控制輸出y2(t)、估計輸出ˉy2(t)和估計輸出誤差～y2(t).由圖3-5可以看出本文所設(shè)計的異步狀態(tài)反饋控制器和觀測器的有效性.

圖1 跳變模態(tài)Fig.1 The jump modes

圖2 基于ESO的閉環(huán)隨機隱Markov增廣跳變系統(tǒng)軌跡E{～ωT(t) ～Rik～ω(t)}Fig.2 The state trajectory E{～ωT(t) ～Rik～ω(t)}of the closedloop ESO-based stochastic hidden Markov augmented jump systems

圖3 閉環(huán)隨機隱Markov跳變系統(tǒng)的實際狀態(tài)x1(t)、估計狀態(tài)ˉx1(t)和估計誤差e11(t)Fig.3 The real state x1(t),the estimated stateˉx1(t)and the estimation error e11(t)of the closed-loop stochastic hidden Markov jump systems

例2 為了驗證所設(shè)計的ESO方法的實用性,本文以RL電路系統(tǒng)為例,并考慮建模過程中的外部不確定不匹配干擾和隨機故障影響,具體如圖6所示.

假設(shè)圖6所示的RL電路系統(tǒng)具有兩個位置,以隨機的方式從一個位置切換到另外一個位置且遵循隱Markov過程.外部不確定不匹配干擾和隨機故障會影響電路系統(tǒng)的支路電流,進而會給整個電路的穩(wěn)定性帶來影響.為了解決外部不確定不匹配干擾和隨機故障對整個電路系統(tǒng)的影響,本文采用ESO方法對RL電路系統(tǒng)進行分析與設(shè)計.由基爾霍夫定律,可由RL電路系統(tǒng)得

圖4 閉環(huán)隨機隱Markov跳變系統(tǒng)的實際狀態(tài)x2(t)、估計狀態(tài)ˉx2(t)和估計誤差e12(t)Fig.4 The real state x2(t),the estimated state ˉx2(t)and the estimation error e12(t) of the closed-loop stochastic hidden Markov jump systems

圖5 閉環(huán)隨機隱Markov跳變系統(tǒng)的控制輸出y2(t)、估計輸出ˉy2(t)和估計輸出誤差～y2(t)Fig.5 The controlled output y2(t), the estimated outputˉy2(t) and the estimation output error ～y2(t) of the closed-loop stochastic hidden Markov jump systems

圖6 RL電路系統(tǒng)Fig.6 The RL circuit systems

由式(37)知Ai是Metzler矩陣,Bi,Gi和C是正矩陣.因此,RL電路系統(tǒng)(37)可建模為正系統(tǒng).同時,考慮到如下表3所示的RL電路系統(tǒng)(37)各模態(tài)參數(shù)(R單位:歐姆,L 單位:亨):

表3 RL電路系統(tǒng)(37)參數(shù)Table 3 The parameters of the RL circuit systems(37)

不確定的不匹配擾動函數(shù)取f(x(t),d(t),t)=ei2(t)+sini2(t).對于任意的M:={1,2},選擇與例1相同的的隱藏狀態(tài)r(t)的轉(zhuǎn)移率矩陣Π=[πij]和依賴于Π的條件概率矩陣?1,?2.通過求解式(26)-(30),可以得到觀測器增益Eik和控制器增益K1k為

同時,考慮到定理1,可以求解出擾動補償增益分別為

假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為:i1(0)=0.4,i2(0)=0.3,c1=0.6,Rik=I.通過對系統(tǒng)在t ∈[0 5]內(nèi)進行仿真,可以得到如下圖7所示的RL電路系統(tǒng)的控制輸出、估計輸出和估計輸出誤差仿真結(jié)果.

圖7 電路系統(tǒng)的控制輸出、估計輸出和估計輸出誤差Fig.7 The controlled output,the estimated output and the estimation output error of the RL circuit systems

由圖7可以看出本文所設(shè)計的基于ESO的異步狀態(tài)反饋控制器和觀測器可以補償不匹配擾動在控制輸出中的影響.

5 結(jié)論

本文研究了基于ESO的連續(xù)時間隨機隱Markov正跳變系統(tǒng)的有限時間異步控制問題.為了補償不匹配擾動對隱Markov跳變系統(tǒng)的影響,本文引入一組擴展變量將隨機隱Markov正跳變系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成一組新的隨機擴展系統(tǒng).結(jié)合Lyapunov-Krasovskii泛函和線性矩陣不等式方法,給出了使得增廣跳變系統(tǒng)是正系統(tǒng),且有限時間有界的充分條件.同時,本文采用矩陣不等式轉(zhuǎn)換法得到了可以直接求解觀測器增益和控制器增益的充分條件.最后,通過數(shù)值算例和RL電路模型驗證了本文所設(shè)計的異步狀態(tài)反饋控制器和觀測器的有效性和可行性.