王 樂，蔡毅鵬，常漢江

（中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076）

捷聯(lián)慣組廣泛應(yīng)用于各種航空航天裝備中，它利用加速度計(jì)和陀螺等慣性器件測(cè)量載體相對(duì)于慣性空間的線運(yùn)動(dòng)和角運(yùn)動(dòng)。由于慣性導(dǎo)航設(shè)備與載體直接連接，飛行過程中的振動(dòng)環(huán)境會(huì)對(duì)捷聯(lián)慣組的性能產(chǎn)生不利影響，需要設(shè)計(jì)減振系統(tǒng)，以改善慣性器件的工作環(huán)境。

Zhang等[1]提出了基于磁流變技術(shù)的捷聯(lián)慣組自適應(yīng)阻尼隔振方法，對(duì)減振效果進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證；Tao等[2,3]設(shè)計(jì)了擠壓/伸長-剪切模式下磁流變彈性體隔振器，對(duì)隔振器剛度進(jìn)行了估算及驗(yàn)證，并開發(fā)了基于相位控制的磁流變彈性體捷聯(lián)慣組隔振系統(tǒng)。以上工作均采用主動(dòng)減振的方式，然而，主動(dòng)減振技術(shù)復(fù)雜，在實(shí)際型號(hào)中應(yīng)用較少。Tu等[4]采用解耦的方法，分析了橡膠減振器變形引起的雙軸旋轉(zhuǎn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)高精度機(jī)械抖動(dòng)激光陀螺偏角。Fang等[5]也以解耦為目標(biāo)，對(duì)激光陀螺慣組減振系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化，通過改變減振器的位置并調(diào)整慣組質(zhì)量分布，有效抑制了耦合振動(dòng)。段宇星等[6]提出了實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)解耦的隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，對(duì)某無人機(jī)捷聯(lián)慣組隔振系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)。

為了克服飛行中的角振動(dòng)環(huán)境對(duì)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)精度和穩(wěn)定性的影響，需要準(zhǔn)確獲取慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)傳遞特性，通常應(yīng)進(jìn)行角振動(dòng)傳遞特性試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的依據(jù)。然而，與線振動(dòng)試驗(yàn)相比，角振動(dòng)試驗(yàn)的技術(shù)難度大、成本高[7]，如果在角振動(dòng)試驗(yàn)后再發(fā)現(xiàn)慣組減振系統(tǒng)的角振動(dòng)傳遞率嚴(yán)重超出控制系統(tǒng)的指標(biāo)要求，將給慣組濾波器的設(shè)計(jì)帶來困難[8]，甚至?xí)斐蓽p振設(shè)計(jì)方案反復(fù)，因此準(zhǔn)確預(yù)示慣組減振系統(tǒng)的角振動(dòng)特性，對(duì)于優(yōu)化減振設(shè)計(jì)方案、降低設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)是十分必要的。

在工程實(shí)踐中，由于減振器非金屬材料彈性模量的波動(dòng)和實(shí)際加工偏差等因素的存在，減振器剛度存在不確定性，從而改變了慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)傳遞特性。另一方面，控制系統(tǒng)所能容許的慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率變化的帶寬是有限的，為了確保慣組濾波器設(shè)計(jì)的適用性，需要對(duì)減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率的不確定性進(jìn)行分析，以準(zhǔn)確獲取其統(tǒng)計(jì)特征，作為慣組濾波器設(shè)計(jì)的輸入條件，同時(shí)可根據(jù)設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)減振器剛度的離散程度提出控制要求，目前在這方面的工作還比較欠缺。隨機(jī)不確定性理論已經(jīng)在其他動(dòng)力學(xué)問題分析中得到應(yīng)用，Souf等[9]將波動(dòng)有限元法與非參數(shù)概率方法結(jié)合，分析了模型不確定性下的結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)；Wu等[10]將柔性多體系統(tǒng)的材料屬性以空間隨機(jī)場(chǎng)表征，采用多項(xiàng)式混沌展開法近似求解了系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)，計(jì)算精度與蒙特卡羅法相當(dāng)，但效率更高；Jia等[11]通過在隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)響應(yīng)計(jì)算中嵌入Kullback-Leibler（K-L）相對(duì)靈敏度，提高了概率密度演化方法的效率，適用于具有高維不確定性參數(shù)系統(tǒng)的概率響應(yīng)分析；以上工作為本文研究提供了基礎(chǔ)。

本文建立了某捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)簡化動(dòng)力學(xué)模型，提出了角振動(dòng)固有頻率預(yù)示方法并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。為獲取角振動(dòng)固有頻率的概率分布，本文考慮減振器剛度的隨機(jī)分布，將蒙特卡羅方法與核密度估計(jì)法結(jié)合，開展了角振動(dòng)固有頻率的參數(shù)不確定性量化分析。

1 慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率預(yù)示方法

某捷聯(lián)慣組外形為長方體，采用八點(diǎn)外減振，減振器對(duì)稱布置，如圖1所示，在慣組質(zhì)心處O點(diǎn)建立坐標(biāo)系，x軸和y軸見圖1，z軸由右手定則確定。

圖1 八點(diǎn)外減振的捷聯(lián)慣組示意圖Fig.1 Schematic diagram of strapdown IMU with eight point external damping

設(shè)慣組本體為剛體，減振器x方向的間距為l，y方向的間距為h，為預(yù)示繞z軸的RZ向角振動(dòng)固有頻率，從z軸反方向看去，將慣組減振系統(tǒng)簡化為平面模型，將慣組與減振器的連接點(diǎn)投影到Oxy平面，共4個(gè)點(diǎn)，編號(hào)分別為1#、2#、3#、4#，慣組質(zhì)心距離相應(yīng)側(cè)邊的距離分別為al和bh，如圖2所示。

圖2 慣組減振系統(tǒng)簡化動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Simplified dynamic model of IMU damping system

設(shè)慣組質(zhì)心處的線位移為x0和y0，繞z軸的RZ向角位移為ξ，1#、2#、3#、4#點(diǎn)的x向位移分別為x1、x2、x3、x4，y向位移分別為y1、y2、y3、y4，慣組質(zhì)心與1#、2#、3#、4#點(diǎn)連線的長度分別為l1、l2、l3、l4，4個(gè)夾角α1、α2、α3、α4的定義見圖2。

設(shè)單個(gè)減振器x向和y向剛度分別為kx和ky，1#、2#、3#、4#點(diǎn)x向剛度分別為k1x、k2x、k3x、k4x，y向剛度分別為k1y、k2y、k3y、k4y，同一套慣組的減振器在挑選時(shí)通常根據(jù)剛度進(jìn)行匹配，使減振器的剛度盡量接近，因此忽略同一套慣組減振器剛度之間的差異，則有：

根據(jù)圖2中的幾何關(guān)系，可得：

由力和力矩的平衡方程可得：

將式(2)-(5)代入式(6)，可寫成以下形式：

上式中，X=[x0y0ξ]T，M和K的形式如下：

令 Δx1=l1sinα1， Δy1=-l1cosα1， Δx2=l2sinα2，Δy2=l2cosα2， Δx3=-l3sinα3， Δy3=-l3cosα3，Δx4=-l4sinα4， Δy4=l4cosα4，式(9)中矩陣各元素為：

設(shè)同一方向的減振器剛度一致，則單個(gè)減振器x向和y向剛度為：

式中，fx和fy為慣組減振系統(tǒng)線振動(dòng)固有頻率，可由慣組減振系統(tǒng)線振動(dòng)試驗(yàn)測(cè)得。

求解式(7)，可得到慣組減振系統(tǒng)的線振動(dòng)固有頻率和角振動(dòng)固有頻率。當(dāng)慣組質(zhì)心與形心重合時(shí)，有a= 0.5，b=0.5，由式(12)可得：

由式(7)可得慣組減振系統(tǒng)繞慣組質(zhì)心處坐標(biāo)系z(mì)軸的RZ向角振動(dòng)固有頻率frz為：

慣組減振系統(tǒng)繞慣組質(zhì)心處坐標(biāo)系x軸和y軸的角振動(dòng)固有頻率frx和fry的預(yù)示方法可根據(jù)式(1)-(15)類推。

2 慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率不確定性分析方法

將慣組減振系統(tǒng)減振器x向和y向剛度視為隨機(jī)變量，設(shè)二者均滿足高斯分布，設(shè)標(biāo)稱狀態(tài)下減振器x向和y向剛度分別為kx0和ky0，kx和ky可表示為：

式中，CVx是減振器x向剛度的變異系數(shù)，CVy是減振器y向剛度的變異系數(shù)，ξx和ξy是服從高斯分布的隨機(jī)變量，設(shè)ξx和ξy均服從N(0,1)的高斯分布。

采用蒙特卡羅方法的思想，在剛度隨機(jī)輸入下，通過式(15)可以獲取大量的慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率樣本。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行非參數(shù)密度估計(jì)，本文采用核密度估計(jì)方法，概率密度估計(jì)為：

式中，f(x)為估計(jì)的概率密度，xi為樣本數(shù)據(jù)，n為樣本個(gè)數(shù)，Kh為核函數(shù)，本文選取高斯核函數(shù)，Δh為帶寬，選取的原則是使得均方誤差最小，本文假設(shè)輸入的剛度滿足高斯分布，Δh的選擇見式(18)。

式中，σ是樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

3 捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)線角振動(dòng)試驗(yàn)及算例

3.1 線振動(dòng)試驗(yàn)

首先對(duì)捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)進(jìn)行了線振動(dòng)傳遞特性試驗(yàn)，隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)條件如圖3所示，試驗(yàn)測(cè)得的減振前后x向和y向線振動(dòng)傳遞率的幅頻特性見圖4。

圖3 捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)線振動(dòng)試驗(yàn)條件Fig.3 Test condition of linear vibration of strapdown IMU damping system

圖4 捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)線振動(dòng)傳遞率的幅頻特性Fig.4 Amplitude-frequency characteristics of linear vibration transmissibility of strapdown IMU damping system

由圖4可知，慣組減振系統(tǒng)兩向線振動(dòng)固有頻率分別為：x向71 Hz，y向71 Hz。由慣組的總質(zhì)量m及式(13)可得每個(gè)減振器x向和y向剛度分別為：

獲取kx和ky后，由式(15)可計(jì)算RZ向角振動(dòng)固有頻率。

3.2 角振動(dòng)試驗(yàn)

為檢驗(yàn)RZ向角振動(dòng)固有頻率計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，對(duì)捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)進(jìn)行了RZ向角振動(dòng)傳遞特性試驗(yàn)，角振動(dòng)試驗(yàn)條件由圖3中的線振動(dòng)條件根據(jù)慣組質(zhì)心所在的艙段截面直徑分解而來，見圖5。將試驗(yàn)件安裝在角振動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)繞轉(zhuǎn)軸進(jìn)行角振動(dòng)加載，如圖6所示，在轉(zhuǎn)臺(tái)繞轉(zhuǎn)軸的兩端布置線振動(dòng)加速度傳感器，通過控制轉(zhuǎn)臺(tái)上控制點(diǎn)（圖6中A點(diǎn)或B點(diǎn)）的振動(dòng)加速度傳感器的響應(yīng)以滿足角振動(dòng)條件，控制設(shè)備使用單維控制儀。在慣組減振后繞轉(zhuǎn)軸的兩側(cè)邊布置線振動(dòng)加速度傳感器，按照文獻(xiàn)[12]的方法可由線振動(dòng)加速度傳感器信號(hào)獲取減振后的角振動(dòng)響應(yīng)。

圖5 捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)試驗(yàn)條件Fig.5 Test condition of angular vibration of strapdown IMU damping system

圖6 捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)試驗(yàn)示意圖Fig.6 Schematic diagram of angular vibration test of strapdown IMU damping system

慣組減振系統(tǒng)的角振動(dòng)傳遞率H(j)ω計(jì)算方法見式(20)。

式中，φout(jω)為慣組減振后的角振動(dòng)響應(yīng)，φin(jω)為角振動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角振動(dòng)輸入。

由試驗(yàn)測(cè)得的RZ向角振動(dòng)傳遞率幅頻特性見圖7。

圖7 角振動(dòng)試驗(yàn)測(cè)得的RZ向角振動(dòng)傳遞率幅頻特性Fig.7 Amplitude-frequency characteristics of angular vibration transmissibility in RZ direction measured by angular vibration test

由圖7可得RZ向角振動(dòng)固有頻率，將由式(15)預(yù)示的RZ向角振動(dòng)固有頻率與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，結(jié)果見表1。

表1 RZ向角振動(dòng)固有頻率預(yù)示結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Tab.1 Comparison of predicted result of angular vibration natural frequency of RZ direction with test result

由表1可見，慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率預(yù)示結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)偏差為-3.8%，預(yù)示結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果接近，計(jì)算結(jié)果比試驗(yàn)結(jié)果略低，可能是實(shí)際產(chǎn)品的質(zhì)量特性與設(shè)計(jì)值差異導(dǎo)致的。

4 捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率不確性分析

以式(19)中的kx和ky為標(biāo)稱值，設(shè)減振器x向和y向剛度是獨(dú)立分布的，其變異系數(shù)CVx和CVy均為2.5%，對(duì)服從高斯分布的隨機(jī)變量xξ和yξ取樣，各選取5000，10000，20000，50000組隨機(jī)變量進(jìn)行蒙特卡羅模擬。將每組隨機(jī)變量代入式(14)，再將式(14)代入式(15)中計(jì)算RZ向角振動(dòng)固有頻率，樣本組數(shù)N為5000時(shí)的角振動(dòng)固有頻率與kx和ky的關(guān)系見圖8。

圖8 樣本組數(shù)為5000時(shí)的蒙特卡羅法慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率仿真結(jié)果Fig.8 The simulation results of the natural frequency of angular vibration of the IMU damping system when the number of samples is 5000 using Monte Carlo method

將不同組數(shù)的蒙特卡羅仿真結(jié)果用于核密度估計(jì)，可以得到角振動(dòng)固有頻率的概率密度函數(shù)，樣本組數(shù)N為5000和50000時(shí)的概率密度函數(shù)對(duì)比見圖9。

圖9 樣本組數(shù)分別為5000和50000時(shí)概率密度函數(shù)對(duì)比Fig.9 Comparison of probability density functions when the number of sample groups is 5000 and 50000

不同組數(shù)樣本角振動(dòng)固有頻率的平均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差和變異系數(shù)見表2。

表2 不同組數(shù)樣本角振動(dòng)固有頻率的平均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差和變異系數(shù)Tab.2 The average value, standard deviation and coefficient of variation of the natural frequency of angular vibration of samples with different numbers of groups

由圖9可知，當(dāng)選取的樣本組數(shù)N足夠大時(shí)，采用蒙特卡羅法得出的慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率概率密度曲線比較光滑，概率分布趨近于高斯分布。由表2可見，不同樣本組數(shù)角振動(dòng)固有頻率的平均值與表1中標(biāo)稱狀態(tài)下的慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率接近，相對(duì)誤差不超過0.01%，不同樣本組數(shù)的角振動(dòng)固有頻率變異系數(shù)不超過1.051%，不超過減振器x向和y向剛度變異系數(shù)的42%（前文設(shè)定剛度變異系數(shù)為2.5%），可見，該結(jié)果可為慣組減振器剛度離散程度的量化控制及慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率的偏差設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

5 結(jié) 論

本文提出了捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率預(yù)示方法，并開展了角振動(dòng)固有頻率的參數(shù)不確定性分析。建立了某捷聯(lián)慣組減振系統(tǒng)的簡化動(dòng)力學(xué)模型，給出了基于線振動(dòng)傳遞特性試驗(yàn)識(shí)別減振器剛度，并在此基礎(chǔ)上預(yù)示角振動(dòng)固有頻率的方法，角振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果表明，角振動(dòng)固有頻率預(yù)示結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)偏差為-3.8%，預(yù)示結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果接近?？紤]減振器剛度的不確定性，結(jié)合蒙特卡羅法和核密度估計(jì)方法對(duì)角振動(dòng)固有頻率的不確定性進(jìn)行了量化分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)選取的樣本組數(shù)N足夠大時(shí)，采用蒙特卡羅法得出的慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率概率密度曲線比較光滑，概率分布趨近于高斯分布。獲得了減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率變異系數(shù)與減振器剛度變異系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為慣組減振器剛度離散程度的量化控制及慣組減振系統(tǒng)角振動(dòng)固有頻率的偏差設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。