李兵華 賀 兵

龍賽瓊2 湯迎紅1

米承繼1

1.湖南工業(yè)大學(xué)

機械工程學(xué)院

湖南 株洲 412007

2.廣州海關(guān)技術(shù)中心

廣東 廣州 510623

0 引言

貼標(biāo)機是包裝生產(chǎn)線上的重要設(shè)備，其技術(shù)含量較高、結(jié)構(gòu)較復(fù)雜。隨著貼標(biāo)機向高速度、高精度的方向不斷發(fā)展，機構(gòu)運動精度成為了影響貼標(biāo)質(zhì)量的關(guān)鍵因素，愈來愈受到人們的重視。制造、安裝中的誤差，以及運動副間隙和彈性變形等因素的不確定性，造成了機構(gòu)實際運動輸出與理想輸出之間的差異，即機構(gòu)運動誤差。當(dāng)運動誤差較大時，貼標(biāo)質(zhì)量無法達到要求。因此，對貼標(biāo)機機構(gòu)進行運動精度可靠性分析是十分必要的。

目前，關(guān)于機構(gòu)可靠性已有一定研究。Wang J.G.等[1]用混合降維法進行了考慮運動副間隙的機械運動精度可靠性分析；Kim J.等[2]對考慮尺寸誤差和間隙開環(huán)機構(gòu)的定位和定向運動進行可靠性分析；Huang X. Z.等[3]對汽車齒輪齒條式轉(zhuǎn)向器進行運動精度可靠性分析；Zhang J. F.等[4]探討了再現(xiàn)函數(shù)機構(gòu)可靠度；郝振國等[5]對爬樓輪椅后腿機構(gòu)進行運動精度可靠性分析；聶飛飛等[6]對高速經(jīng)編機槽針機構(gòu)進行運動精度可靠性優(yōu)化；張義民等[7-8]對牛頭刨床機構(gòu)運動精度進行可靠性分析；郭惠昕等[9]研究了桿長制造誤差和運動副間隙對平面連桿機構(gòu)運動精度的影響；左傳等[10]基于解析法對RSSR機構(gòu)進行運動精度及可靠性分析；袁英才等[11]研究了運動副間隙對輪轉(zhuǎn)機刀式折頁機構(gòu)動態(tài)性能的影響；魏永祥等[12]研究了隨機參數(shù)彈性連桿機構(gòu)在平穩(wěn)隨機激勵下的動力響應(yīng)；于霖沖、王慧、龐歡等[13-15]提出建立仿真模型對運動機構(gòu)可靠性進行仿真分析。然而研究工作多集中于位移可靠性問題上，極少涉及速度可靠性。本研究考慮構(gòu)件的加工誤差，以貼標(biāo)機供標(biāo)機構(gòu)為例，討論了機構(gòu)運動精度位移和速度可靠性問題。

1 貼標(biāo)機結(jié)構(gòu)及供標(biāo)機構(gòu)運動分析

1.1 貼標(biāo)機結(jié)構(gòu)

貼標(biāo)機結(jié)構(gòu)如圖1所示，由首張標(biāo)簽（嵌入標(biāo)盒中）、上膠輥、傳標(biāo)輥和供標(biāo)機構(gòu)等組成。其運動過程為：傳標(biāo)輥作勻速轉(zhuǎn)動，經(jīng)過上膠輥時，在首張標(biāo)簽表面涂一層膠，然后從標(biāo)盒中粘取一張標(biāo)簽，再將標(biāo)簽傳給其它機構(gòu)[16]。為提高貼標(biāo)精度，傳標(biāo)輥與標(biāo)盒傳遞標(biāo)簽的任意瞬間，傳標(biāo)輥上相應(yīng)點的線速度應(yīng)與標(biāo)簽上相應(yīng)點的速度大小相等、方向一致。

圖1 貼標(biāo)機結(jié)構(gòu)Fig. 1 Labeling machine for standard structure

1.2 供標(biāo)機構(gòu)運動分析

為滿足貼標(biāo)機運動要求，供標(biāo)機構(gòu)采用連桿滑塊機構(gòu)，如圖2所示。標(biāo)盒的運動軌跡由圓弧和近似直線段組成。連桿滑塊機構(gòu)中，AD為機架，曲柄AB和DC為原動件，標(biāo)盒與MC桿固連，標(biāo)簽放置在標(biāo)盒里。圓弧段為傳標(biāo)過程，其運動軌跡平穩(wěn)，與傳標(biāo)輥的傳標(biāo)過程可視同兩個圓進行純滾動，軌跡的直線段為標(biāo)盒的回程段。首張標(biāo)簽上任一點工作段的軌跡為一段圓弧，且速度平穩(wěn)，即在工作段中M點的理想軌跡為一段圓弧，理想速度為一定值。

圖2 供標(biāo)機構(gòu)示意圖Fig. 2 A schematic diagram for label deliver mechanism

連桿滑塊機構(gòu)封閉矢量方程為

將式（1）向直角坐標(biāo)系的橫、縱坐標(biāo)軸方向投影，可得運動方程：

式中：l1是AB的長度；l2是BC的長度；l3是DC的長度；l4是AD的長度；θ1是AB與X軸的夾角；θ2是BC與X軸的夾角；θ3是DC與X軸的夾角。

在圖2所示供標(biāo)機構(gòu)中，原動件AB、DC的角速度ω1與ω3相等，并且初始相位一致，所以θ1=θ3。

M點的位置坐標(biāo)為：

式中：xM、yM分別是M點的X、Y坐標(biāo)；δ是MC與BC之間的夾角，δ=0；l5是MC的長度。

θ2和l2可用式（4）和式（5）進行求解，

2 供標(biāo)機構(gòu)運動精度可靠性分析

2.1 供標(biāo)機構(gòu)誤差概率模型

以圖2中M點位置坐標(biāo)（xM, yM）和BC桿長度l2、角度θ2為研究對象，則輸出運動參數(shù)向量可表示為 U=[xM, yM, l2, θ2]T。因為 θ1=θ3，所以輸入可只考慮參數(shù)θ1，輸入運動參數(shù)向量V=[θ1]，有效結(jié)構(gòu)參數(shù)（設(shè)計參數(shù)）向量 L=[L1, L2, …, L5]T=[l1, l3, l4, l5, δ]T。

供標(biāo)機構(gòu)實際輸出運動UA(V, L)和理想輸出運動UI之間的誤差函數(shù)為

工程上，通常認(rèn)為同一批次的零件尺寸服從正 態(tài) 分 布 且 相 互 獨 立， 因 此 L～N(μL, σL)， 其 中是隨機變量的均值，是隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差。由于隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差σL相對于μL很小，因此采用誤差函數(shù)G(V, L)在均值μL處的線性近似代替誤差函數(shù)G(V, L)，這樣也具有足夠的精度。將誤差函數(shù)G(V, L)在均值μL處進行一階泰勒展開，得到：

2.2 供標(biāo)機構(gòu)位移可靠度分析

根據(jù)式（2）（3）可建立連桿滑塊機構(gòu)輸入與輸出關(guān)系的均值模型，即

連桿滑塊機構(gòu)的運動輸出位移隨機誤差矢量為ΔU=[ΔxM, ΔyM, Δl2, Δθ]T。

為了保證供標(biāo)機構(gòu)具有較高的傳標(biāo)精度，必須使首張標(biāo)簽上每一點的運動誤差保持在允許范圍內(nèi)。由于供標(biāo)機構(gòu)采用確定的連桿滑塊機構(gòu)，故此處不討論結(jié)構(gòu)誤差，只討論首張標(biāo)簽的中點（即圖1 M點）的運動誤差，即

式 中：Δui是 輸 出 位 移 隨 機 誤 差，Δu1=ΔxM，Δu2=ΔyM；εi是允許輸出位移誤差，ε1是X方向允許位移誤差，ε2是Y方向允許位移誤差；Bi0(V)是輸出位移結(jié)構(gòu)誤差。

關(guān)于供標(biāo)機構(gòu)位移精度可靠性問題，X方向位移精度可靠度的計算方法與Y方向的一樣。X方向位移精度可靠度的計算方法是：先計算滿足下限的可靠度Rsl和滿足上限的可靠度Rsu，然后求出供標(biāo)機構(gòu)的可靠度：

式中：f(Z)是機構(gòu)運動輸出X方向位移誤差允許值ξ（ξ=ε1）和輸出 X 方向位移誤差 r（r=ΔxM+B10(V)）的聯(lián)合概率密度函數(shù)；

g(ξ, r)為狀態(tài)函數(shù)，可以表示機構(gòu)的兩種狀態(tài)，即

其中g(shù)(ξ, r)=0是極限狀態(tài)方程，表示臨界失效面。

根據(jù)狀態(tài)函數(shù)的定義，供標(biāo)機構(gòu)X方向的位移精度極限狀態(tài)函數(shù)可以表示為

可見，機構(gòu)運動輸出誤差的X方向位移允許值ξ與輸出X方向位移誤差r是相互獨立的隨機變量。采用一次二階矩法求解可靠度具有足夠的精度。

狀態(tài)函數(shù)的前二階矩公式如下：

一階矩

式中ur=B10(V)；

二階矩

X方向輸出位移誤差ΔxM的方差為

式中：J1是供標(biāo)機構(gòu)敏度矩陣J[8]的第1行向量；Var(ΔxM)、Var(X)分別是輸出變量ΔxM和基本隨機向量X的方差。

可靠性指標(biāo)定義為

從幾何意義來看，β是n維正則化空間中坐標(biāo)原點到臨界失效面g(ξ, r)=0的最短距離。當(dāng)基本隨機向量服從正態(tài)分布時，供標(biāo)機構(gòu)X方向的位移可靠度為

式中Φ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

用相同的方法可以求得運動精度滿足下限的可靠度Rsl。

2.3 供標(biāo)機構(gòu)速度可靠度分析

以供標(biāo)機構(gòu)M點速度(vMx, vMy)、BC桿桿長變化速度i2和輸出角速度ω2為研究對象。

將式（11）對時間連續(xù)微分，得到輸出向量速度：

雅可比矩陣為：

供標(biāo)機構(gòu)的運動輸出速度誤差矢量為隨機誤差。為了保證供標(biāo)機構(gòu)具有較高的供標(biāo)精度，其X方向輸出速度誤差和Y方向輸出速度誤差需保持在允許范圍內(nèi)，其中誤差包括結(jié)構(gòu)誤差和隨機誤差。故此節(jié)只討論X方向速度可靠度的計算方法，同理可得Y方向速度可靠度。

式中：ΔvMx是M點的X方向速度隨機誤差；D10(V)是M點的X方向速度結(jié)構(gòu)誤差；τ1是允許X方向輸出速度誤差允許值?？梢?，機構(gòu)運動輸出速度誤差允許值τ與輸出速度誤差γ是相互獨立的隨機變量。

狀態(tài)函數(shù)的前二階矩表示如下：

式中：A1是敏度矩陣A[7]的第1行向量；Var(ΔvMx)是輸出速度變量ΔvMx的方差。

可靠性指標(biāo)為

從幾何意義來看，β是n維正則化空間中坐標(biāo)原點到臨界失效面g(τ,γ)=0 的最短距離。基本隨機參數(shù)向量服從正態(tài)分布時，供標(biāo)機構(gòu)X方向的速度可靠度為

3 數(shù)值計算與分析

已知供標(biāo)機構(gòu)各構(gòu)件的幾何尺寸均值如下：曲柄AB長度l1為 150 mm，曲柄DC長度l3為 80 mm，支架AD長度l4為180 mm，支臂角度δ為0°，支臂MC長度l5為281 mm。曲柄做勻速旋轉(zhuǎn)（角加速度均值為 0 rad/s2），角速度ω1為 0.523 6 rad/s。構(gòu)件的幾何尺寸服從正態(tài)分布規(guī)律，加工精度為IT7級。要求供標(biāo)機構(gòu)M點圓弧軌跡工作段X、Y方向位移精度誤差允許值的分布為εi～N(0.1, 0.042)，X、Y方向速度精度誤差允許值的分布為τi～N(0.1, 0.042)。曲柄AB工作段角度θ1為168°～192°。

蒙特卡洛法（Monte-Carlo）是利用隨機抽樣進行可靠度計算的一種可靠性分析設(shè)計方法，其優(yōu)點是計算可靠性相對比較精確，可以用于其他可靠性分析設(shè)計方法計算精度的檢驗，其缺點是計算量大，計算效率低[17-19]。故本研究以式（11）～（24）為依據(jù)，用Matlab編制計算程序，計算M點輸出位移可靠度，同時用Monte-Carlo對計算結(jié)果進行檢驗。計算程序流程如圖3所示。

圖3 Matlab計算程序流程Fig. 3 Matlab calculation program flow

圖4 ～5分別為M點在工作區(qū)間內(nèi)X、Y方向的位移可靠度，圖中實線表示本文方法求得的可靠度，虛線表示Monte-Carlo法求得的結(jié)果。兩種方法的具體計算結(jié)果如表1所示。由圖4、圖5和表1可知，本文方法相對于Monte-Carlo法，相對誤差小于0.4%。

表1 位移可靠度Table 1 Displacement reliability

圖4 X方向位移可靠度Fig. 4 X-direction displacement reliability

圖5 Y方向位移可靠度Fig. 5 Y-direction displacement reliability

以式（25）～（38）為依據(jù)，用Matlab編制計算程序，計算M點輸出速度可靠度。圖6～7分別為M點在工作區(qū)間內(nèi)X、Y方向的速度可靠度，圖中實線表示本文方法求得的可靠度，虛線表示Monte-Carlo法求得的結(jié)果。兩種方法的具體計算結(jié)果如表2所示。由圖6～7和表2可知，本文方法相對于Monte-Carlo法的相對誤差小于0.5%。

圖6 X方向速度可靠度Fig. 6 X-direction speed reliability

圖7 Y方向速度可靠度Fig. 7 Y-direction speed reliability

表2 速度可靠度Table 2 Speed reliability

4 結(jié)論

1）本研究采用矩陣法推導(dǎo)了供標(biāo)機構(gòu)連桿滑塊機構(gòu)的運動輸出位移誤差和速度誤差表達式。

2）建立了連桿滑塊機構(gòu)位移和速度可靠度計算公式，并用Matlab編制了計算程序。

3）以貼標(biāo)機供標(biāo)機構(gòu)為例，利用計算程序得到了其位移可靠度和速度可靠度。與Monte-Carlo法相比，用本文方法所得結(jié)果的相對誤差均小于0.5%。本文方法求出的結(jié)果可以滿足一定的精度，證明了該方法的可行性和有效性。