范紅磊, 王朝

(南京信息工程大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,江蘇 南京 210044)

1.引言及預備知識

設(H,〈.,.〉)是一實Hilbert空間, 具有誘導范數(shù)‖.‖,C為H的一個非空閉凸子集,T:C →C是一非線性算子,x0∈C是給定的初始點, 定義序列{xn}:

其中{an},{bn},{cn},{αn},{βn},{bn+cn},{αn+βn}?[0,1],n ≥0.若在(1.1)中取βn=cn=0,則(1.1)式被稱為Noor迭代[1].若取βn=cn=an= 0, 則(1.1)式被稱為Ishikawa迭代[2].若取βn=cn=an=bn= 0, 則(1.1)式被稱為Mann迭代[3].2015年, Maruster和Maruster[4]根據(jù)半壓縮算子的定義提出了強半壓縮算子(SDC)的概念: 如果對于任意的x ∈C, 有

其中s?∈Fix(T) ={x ∈C:Tx=?(s?稱為T的不動點),a ∈(0,1),K ≥0, 則算子T被稱為強半壓縮算子(注意到若T是一強半壓縮算子, 則其不動點是唯一的).在此基礎上,文[4]研究了在強半壓縮算子下的Mann迭代的誤差估計和T-穩(wěn)定性.WANG[5]改進了文[4]的結(jié)論, 得到了Mann迭代誤差估計的一個新的公式, 與文[4]中誤差估計式相比有更快的收斂速度, 并且根據(jù)所得誤差估計式得到了迭代序列強收斂的一個充分條件.在文[6]中, WANG等對[4-5]進行了推廣, 建立了Ishikawa迭代的兩個誤差估計式和強半壓縮算子的強收斂定理, 并討論了Ishikawa 迭代及Mann迭代的收斂速度和誤差估計, 最后證明了Ishikawa迭代的T-穩(wěn)定性.Grsoy等[7]在不同的條件下, 提出了Mann迭代的穩(wěn)定性定理.與此同時, 文[7]中考慮了強半壓縮算子下的Mann迭代的弱ω2-穩(wěn)定性, 并討論了強半壓縮算子的數(shù)據(jù)依賴性.文[8-9]研究了Jungck-Khan迭代的強收斂性和T-穩(wěn)定性, 并給出了Jungck-type迭代的數(shù)據(jù)依賴定理.

本文將討論在強半壓縮算子下的迭代序列(1.1)的誤差估計及穩(wěn)定性.首先, 給出在Lipschitz條件下該迭代序列的誤差估計及強收斂的充分性條件, 并舉例與文[6]中所得Ishikawa迭代的誤差估計式進行對比.其次, 在非Lipschitz條件下, 我們也討論了該迭代序列的誤差估計式及強收斂的充分性條件.最后, 分析了該迭代序列的T-穩(wěn)定性.所得結(jié)果推廣了文[4-9]的相關結(jié)論.

為了證明本文的主要結(jié)果, 我們需要以下定義和結(jié)論.

定義1.1[10]設X是一實Banach空間,C為X的一個非空閉凸子集,T是C上的自映射,x0∈C為任意給定的點, 若由

生成的序列{xn}強收斂到T的不動點s?∈Fix(T), 則稱迭代序列(1.3)是T-穩(wěn)定的(或關于T是穩(wěn)定的)當且僅當對任意的序列{yn}?C, 有

其中εn=‖yn+1?f(T,yn)‖.

引理1.1[10]設(H,‖.‖)是一實Hilbert空間, 對?x,y ∈H, 有

其中a是一實數(shù).

引理1.2[11]設(H,‖.‖)是一實Hilbert空間, 則對于?x,y,z ∈H, 有

其中α,β,γ ∈[0,1],α+β+γ=1.

引理1.3[10]設{dn},{εn}是兩個非負實數(shù)列, 滿足

其中0≤α<1.若則

?

引理1.4[5]設{dn}是一非負實數(shù)列, 滿足

其中0<α<1,β >0.若{?n}是一非負實數(shù)列, 且滿足

2.強半壓縮算子的迭代序列(1.1)的誤差估計

本節(jié)我們將給出強半壓縮算子下的迭代序列(1.1)的兩個誤差估計式及相應的強收斂的充分性條件, 并舉例與已有的誤差估計式進行對比.

定理2.1設T是L-Lipschitz的(即對于?x,y ∈C, 存在L, 使得‖Tx ?Ty‖ ≤L‖x ?y‖),且T是一強半壓縮算子, 其中0

其中Tαn,βn,bn,cn,an:=(1?αn?βn)I+αnTbn,cn,an+βnT,Tbn,cn,an:=(1?bn?cn)I+bnTan+cnT,Tan:=(1?an)I+anT.設{xn}?C是由(1.1)產(chǎn)生的序列, 且滿足

則有如下估計式:

證由引理1.2可得

因為T是一強半壓縮算子, 故由(1.2)及引理1.1, 我們有

因為T是L-Lipschitz的, 所以

從而

將(2.3)-(2.6)代入到(2.2)中得

其中

此時(2.7)可轉(zhuǎn)化為

與文[6]中定理2.2的證明過程相似, 我們有

注2.1上述定理推廣了文[6]中定理2.2的相關結(jié)果.

注2.2與文[6]中類似, 當T為可微映射時, 條件(?)是容易實現(xiàn)的.事實上, 若T是可微、Lipschitz的強半壓縮算子, 且由迭代過程(1.1)產(chǎn)生的序列{xn}滿足

則有

其中ξ=x+η(t2+t1t4+t1t3t5)(Tx ?x),0<η <1.若T的導數(shù)T′滿足

則

由定理2.1可知,{xn}強收斂于不動點s?, 且滿足誤差估計式(2.1).

下面我們考慮文[6]中的例子, 將(1.1)和(2.1)與文[6]中Ishikawa迭代序列及誤差估計式進行對比.

例2.1[6]設C=[0.5,1.5], 定義T:C →C:

T是1-Lipschitz的且是強半壓縮的(a=0.15,K=0.42), 其不動點s?=1.

1)對于Ishikawa迭代.根據(jù)文[6]中定理2.2,因為0<θ1<θ2

我們有

因此

即滿足文[6]中定理2.2的所有條件.

故

即滿足定理2.1的所有條件.

下面我們比較Ishikawa迭代和迭代序列(1.1)的收斂速度和誤差估計.分別取Ishikawa迭代序列中t1=0.8, t2=0.5和t1=0.9, t2=0.5.迭代序列(1.1)中t1=0.78, t2=0.19, t3=t4=t5= 0.4 和t1= 0.8, t2= 0.13, t3= 0.3, t4= 0.4, t5= 0.5.設終止參數(shù)為‖xn ?s?‖ ≤10?5.經(jīng)過計算, 迭代次數(shù)和誤差估計的結(jié)果分別在表2.1和圖2.1中給出.

圖2.1 初始值x0 =0.5的迭代序列(ii)、(iv)的真實誤差‖xk ?s?‖(1 ≤k ≤30) 和誤差估計

表2.1 Ishikawa迭代和迭代序列(1.1)收斂于s?=1所需的迭代次數(shù)

注2.3從表2.1我們可以看出：1) (iii)和(iv)的收斂速度是穩(wěn)定的; 2) (iv)比其他三個迭代收斂得更快.從圖2.1可以看出(ii)的誤差估計比(iv)的誤差估計更有效.但當?shù)螖?shù)k=30時, (ii)和(iv)的誤差估計都達到了10?5, 此時我們認為誤差估計的有效性是一致的.

定理2.2設T是一強半壓縮算子, 其中0< a <1,K ∈[0,1),s?∈Fix(T).假設存在0≤q,s<1 及正數(shù)θ1,θ2, 0<θ1<θ2

證由文[4]中定理2知

由條件M <1及引理1.2知

此時

從而

與定理2.1的證明過程相似, 我們有

注2.4上述定理推廣了文[5]中定理2.1的相關結(jié)果.

注2.5與注2.2相似, 若T是可微的強半壓縮算子, 且由迭代過程(1.1)產(chǎn)生的序列{xn}滿足

時, 條件(?)成立.由定理2.2知, 序列{xn}強收斂于不動點s?, 且滿足誤差估計式(2.8).

我們考慮如下例子.

例2.2設C=[?1,1], 定義T:C →C如下

其不動點s?= 0.此時T是一強半壓縮算子(a= 0.008, K= 0.07).令q= 0.58,s= 0.25, 因此a+q <1.由0<θ1<θ2

故t1∈[0.6801,0.8859],t2∈[0,0.25](需要注意的是t1+t2≤1),t3+t4∈[0,0.58],t5∈[0,1].若t1∈[0.877,0.8859],t2∈[0.1119,0.1141],t3=0.28,t4=0.3,t5∈[0.59,0.6], 則有

即滿足定理2.2的所有條件.我們可取t1=0.877, t2=0.114, t3=0.28, t4=0.3, t5=0.59, 所得迭代程序(1.1)的真實誤差和誤差估計(取迭代次數(shù)k= 60, 初始值x0= 0.6)可達到10?6, 故我們認為真實誤差和誤差估計的有效性是一致的.

3.迭代序列(1.1)的T-穩(wěn)定性

則

將(3.2)及(3.3)代入到(3.1)中得