薛婷婷, 劉元彬, 汪秀娟

(新疆工程學院數(shù)理學院, 新疆 烏魯木齊 830000)

1.引言

Kirchhoff方程是波動方程的擴展, 該方程最早是Kirchhoff[1]在1883年研究彈性弦的自由振動時所提出的.Kirchhoff型模型的一個顯著的特點是含有非局部項這使得模型不再是逐點都成立, 而是一個非局部的問題, 后來人們常常將含有類似于上述非局部項的問題稱為Kirchhoff問題.Kirchhoff方程在諸多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用, 包括非牛頓力學、宇宙物理學、彈性理論電磁學及人口動力學等.對于Kirchhoff方程問題, 近些年取得了許多這方面的研究成果[2?9].例如: 在文[7]中, 主要通過變分方法, 來研究如下Kirchhoff型微分方程正解的存在性

在文[9]中, 作者們研究了一類含有非局部算子的Kirchhoff型問題非負解的存在性.文中考慮了張力的非局部特性, 因為該特性是由繩的分數(shù)維長度的非局部測度引起的, 所以文章將經(jīng)典的Kirchhoff方程推廣到分數(shù)階Kirchhoff方程.由于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)為描述大量過程和材料的記憶和遺傳特性提供了一個出色的工具, 所以分數(shù)階模型比整數(shù)階模型更適用于現(xiàn)實世界, 從而使得分數(shù)階Kirchhoff方程問題的研究成為了一個熱點.然而, 由于Kirchhoff項是非線性的且分數(shù)階微分算子是非局部算子, 這給Kirchhoff型分數(shù)階微分方程的研究帶來了困難, 主要反映在(PS)條件的驗證、Nehari流形和值映射凸性的驗證, 所以與該方程有關(guān)的帶分數(shù)階算子的研究工作并不多[10?13].例如：在文[10-11]中, 作者們利用山路定理、Nehari流形方法和臨界點理論中的虧格理論, 研究分數(shù)階Kirchhoff問題非平凡弱解、基態(tài)解的存在性和多重性.

現(xiàn)階段, 研究帶有Kirchhoff項的分數(shù)階微分方程問題解存在的主要方法是變分方法.那么一個很自然的想法就是：能否使用不同的方法和技巧研究含分數(shù)階算子的Kirchhoff型方程問題？基于此, 本文主要利用不動點定理和先驗界估計結(jié)合一些變分技巧研究如下Kirchhoff型分數(shù)階微分方程Dirichlet邊值問題(簡記KD)

其中a >0,b ≥0,λ ≥0,0和t分別是α ∈(1/2,1]階左和右Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù).這個想法主要是受到文[14]的啟發(fā), 在該文中作者使用Banach不動點定理和一些變分技巧來研究一類含變指數(shù)增長條件的特征值問題弱解的存在性.

2.預(yù)備知識

定義2.1[15]令0<α ≤1,1

在Eα,p中的閉包.

方便起見, 對?t ∈[0,T], 1≤p<∞, 下文記

引理2.1[15]令0< α ≤1, 1< p < ∞, 則空間關(guān)于范數(shù)‖u‖Eα,p是一個可分自反的Banach空間.

引理2.2[16]令0<α ≤1, 1

其中‖u‖∞=maxt∈[0,T]|u(t)|是C([0,T],R)的范數(shù),是常數(shù).

注2.1根據(jù)(2.1), 可以在如下范數(shù)意義下考慮空間

引理2.3[16]令1/p<α ≤1,1

3.主要結(jié)果

為研究問題的需要, 先給出下面的特征值問題

令λ1>0是問題(3.1) 的第一特征值,φ1>0是相應(yīng)的特征函數(shù).λ1>0可表示為

其中Eα,20 的定義見定義2.1(p=2).接下來給出KD(1.1)的弱解定義和本文的主要結(jié)果.

定義3.1若對有成立, 則稱u是KD(1.1)的一個弱解.

定理3.1若f(t,u)滿足下列條件:

(H1)f ∈C([0,T]×R,R)且(t,0)dt>0;

(H2) 存在C0>0使得對幾乎所有的t ∈[0,T]和?u,v ∈R, 有

則對?λ ∈KD(1.1)有唯一正的弱解.

注3.1當α=1時, Kirchhoff型分數(shù)階微分方程退化為Kirchhoff型二階常微分方程, 因此本文所研究的問題更加寬泛.另外, 對于此類問題, 尚未見有類似結(jié)果.

定義如下兩個算子:

為證明定理3.1, 下面給出兩個重要的引理.

引理3.1算子A和Fλ滿足以下性質(zhì):

3) 對由Hder不等式和(2.3)可知,

4) 對給定的, 顯然v →Fλ(u,v)是線性的.由(H1), (H2), Hder不等式和(2.1),(2.3)可知,

產(chǎn)生矛盾.因此, 結(jié)論成立.

下面給出定理3.1的主要證明.

定理3.1的證明任意給定λ ∈由引理3.1中1)和Riesz定理可知, 對?u ∈Eα,2

0 , 存在唯一的使得

因而,G:由引理3.1中2)可知,

即G是強單調(diào)的.由引理3.1中3)可知,

因此,

由引理3.1中6)可知,

定義算子S:B(θ,r)

由于

所以有

因此, 由(3.15)-(3.17)可知,

以u?=max{?u,0}作為(3.19)的檢驗函數(shù), 由(H1), (H2), (2.3)和特征值的定義可知,

所以u?=0.因此, 當λ ∈時,u是KD (1.1)的一個正解.