孟陽(yáng)君

(湖南文理學(xué)院， 湖南 常德 415000)

0 薄板理論研究現(xiàn)狀

大量橋梁結(jié)構(gòu)的行車道板為矩形薄板結(jié)構(gòu)，研究矩形薄板的受力情況可為橋梁行車道板的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

綜上所述，采用數(shù)值分析或有限元的方法分析研究薄板已經(jīng)比較成熟，但是研究任意荷載作用下任意邊界條件的矩形薄板的解析解仍然具有一定意義。

1 不同邊界矩形薄板的受力分析

1.1 四邊簡(jiǎn)支

圖1為四邊形簡(jiǎn)支矩形薄板，在均布荷載q作用下，其受力方程見(jiàn)式(1)。

圖1 四邊簡(jiǎn)支矩形薄板受力分析計(jì)算圖示

(1)

四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的邊界條件見(jiàn)式(2)。

(2)

假設(shè)：

(3)

式(3)求導(dǎo)代入式(1)：

(4)

將荷載q也按重三角級(jí)數(shù)展開(kāi)：

(5)

(6)

承受荷載q的四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的撓度：

(7)

1.2 兩邊簡(jiǎn)支、兩邊自由

圖2為兩邊簡(jiǎn)支、兩邊自由的矩形薄板。在均布荷載q作用下，其受力方程見(jiàn)式(1)，邊界條件見(jiàn)式(8)。

圖2 兩邊簡(jiǎn)支、兩邊自由矩形薄板受力分析計(jì)算圖示

(8)

以：

(9)

求導(dǎo)整理代入式(1)得：

(10)

將q也展為傅立葉級(jí)數(shù)：

(11)

整理比較可得:

(12)

式(9)的一般解為：

(13)

(14)

(15)

結(jié)合邊界條件式(14)，且q0作用下w應(yīng)為ym偶函數(shù)，即Bm=Cm=0，

(16)

(m=1，3，5,…)

(17)

計(jì)算分析可得：

(18)

(μ-1)。

1.3 四邊固支

圖3為四邊固支的矩形薄板，在均布荷載q作用下，其受力方程見(jiàn)式(1)，邊界條件見(jiàn)式(19)。

圖3 四邊固支矩形薄板受力分析計(jì)算圖示

(19)

承受均布荷載q，四邊簡(jiǎn)支矩形板在圖3所示的新坐標(biāo)系中的撓度見(jiàn)式(20)。

(20)

在邊緣y=b/2上，板的轉(zhuǎn)角見(jiàn)式(21)。

(21)

(22)

(23)

將式(22)對(duì)x求導(dǎo)，并令x=a/2，得式(24)。

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

結(jié)合邊界條件，可得：

(29)

(30)

式(29)對(duì)任意x都成立，分析整理可得包含Ei和Fi的方程組，見(jiàn)式(31)；式(30)對(duì)任意的y都成立，分析整理可得式(32)。

(31)

(32)

求解上述方程組可得Ei和Fi的具體表達(dá)式，代入w1、w2的表達(dá)式，即可得到四邊固支的矩形薄板在均布荷載作用下的撓度w撓度=w+w1+w2。

1.4 四邊彈性支撐

計(jì)算分析模型見(jiàn)圖3。假設(shè)板的邊緣與一支撐梁(梁的彎曲剛度為EI，扭轉(zhuǎn)剛度為GJ)固結(jié)，則沿此邊緣板的撓度等于梁的撓度，板的轉(zhuǎn)動(dòng)等于梁的扭轉(zhuǎn)。

(33)

(34)

承受均布荷載q，撓度見(jiàn)式(35)。

(36)

結(jié)合邊界條件，即可求解An、Bn、Cn、Dn常數(shù)，限于篇幅，具體表達(dá)式略。

當(dāng)薄板任意一點(diǎn)(ξ，η)受荷載集度F作用，可以用微分面積dxdy上的均布荷載F/dxdy來(lái)代替分布荷載q，相應(yīng)求得撓度表達(dá)式。

2 數(shù)值驗(yàn)證

假定矩形薄板a×b為1 m×1 m，厚度t為0.1 m，彈性模量E=3.0×1010Pa，泊松比μ=0.3，承受均布荷載q=1.0 kN/m2，數(shù)值計(jì)算采用MIDAS軟件進(jìn)行。理論計(jì)算與數(shù)值計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。其中：①為四邊簡(jiǎn)支；②為兩邊簡(jiǎn)支，兩邊自由；③為四邊固支；④為四邊彈性支撐，四邊彈性支撐梁為0.1 m×0.2 m的矩形截面梁。

表1 理論與數(shù)值計(jì)算結(jié)果一覽表邊界條件中心撓度/(kN·m)MIDAS理論分析誤差/%①1.478×10-61.479×10-6-0.067 6②4.722×10-64.766×10-6-0.923 2③4.733×10-74.609×10-72.62④8.163×10-68.195×10-6-0.390 5

各種邊界條件下，矩形薄板的彎矩分布見(jiàn)圖4～圖7。由圖可看出，四邊支撐矩形薄板的彎矩Mxx、Myy呈現(xiàn)環(huán)形分布，越靠近中心彎矩越大；對(duì)邊支撐的矩形薄板沿支撐邊方向彎矩呈現(xiàn)帶狀分布，另一垂直方向彎矩也呈現(xiàn)環(huán)狀分布，越靠近中心彎矩越大。四邊固支矩形薄板板邊有較大的彎矩分布，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)予加強(qiáng)。

a) Mxx

a) Myy圖4 四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的彎矩Mxx、Myy分布

a) Mxx

a) Myy圖5 兩邊簡(jiǎn)支、兩邊自由矩形薄板的彎矩Mxx、Myy分布

a) Mxx

a) Myy圖6 四邊固支矩形薄板的彎矩Mxx、Myy分布

a) Mxx

a) Myy圖7 四邊彈性支撐矩形薄板的彎矩Mxx、Myy分布

均布荷載作用下，不同邊界條件，板中心撓度不同；邊界約束越強(qiáng)，中心撓度越小。四邊彈性約束下，板中心撓度與四邊約束梁的剛度有關(guān)，梁剛度越大，板中心撓度越小。

均布荷載作用下，不同邊界條件，板中心彎矩不同；邊界約束越強(qiáng)，中心彎矩越??；四邊彈性約束下，板中心撓度與四邊約束梁的剛度有關(guān)，梁剛度越大，板中心彎矩越小。

表1表明，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與解析結(jié)果相比，撓度最大誤差為2.62%，滿足工程精度要求。再次證明理論分析結(jié)果是正確、可靠的，同時(shí)也驗(yàn)證了MIDAS軟件薄板單元計(jì)算的準(zhǔn)確性。

3 結(jié)語(yǔ)

矩形薄板在均布荷載作用下，推導(dǎo)了四類邊界條件下的解析解，并通過(guò)MIDAS軟件進(jìn)行驗(yàn)證，證明了理論分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。

四邊支撐矩形薄板的彎矩Mxx、Myy呈現(xiàn)環(huán)形分布，越靠近中心彎矩越大；對(duì)邊支撐的矩形薄板沿支撐邊方向彎矩呈現(xiàn)帶狀分布，另一垂直方向彎矩也呈現(xiàn)環(huán)狀分布，越靠近中心彎矩越大。四邊固支矩形薄板板邊有較大的彎矩分布，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)予加強(qiáng)。

均布荷載作用下，不同邊界條件，板中心撓度不同。邊界約束越強(qiáng)，中心撓度越??；四邊彈性約束下，板中心撓度與四邊約束梁的剛度有關(guān)，梁剛度越大，板中心撓度越小。

均布荷載作用下，不同邊界條件，板中心的彎矩不同。邊界約束越強(qiáng)，中心彎矩越?。凰倪厪椥约s束下，板中心撓度與四邊約束梁的剛度有關(guān)，梁剛度越大，板中心彎矩越小。