陳天浩，楊建偉，王金海

(1.北京建筑大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，北京 100044；2.北京建筑大學(xué)城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044)

橋梁結(jié)構(gòu)在高速鐵路中占很大比例，其主要功能是為高速列車提供平滑穩(wěn)定的線路，以確保運(yùn)行和乘坐舒適性[1-3]。在橋梁的建造和運(yùn)營(yíng)中，由于一些有害因素，例如不合理的設(shè)計(jì)，超負(fù)荷運(yùn)行和極端天氣，不可避免地會(huì)導(dǎo)致橋墩沉降。不均勻的沉降將導(dǎo)致橋梁下沉，并且軌道表面發(fā)生變形。此外，軌道底座板和橋面板之間還有一些脫空區(qū)域。當(dāng)列車高速通過(guò)時(shí)，底座板與橋面板的脫空區(qū)域會(huì)加劇軌道系統(tǒng)的損壞并縮短使用壽命[4-6]。橋墩沉降引起的鋼軌變形會(huì)對(duì)輪軌接觸產(chǎn)生干擾，惡化列車的安全性和穩(wěn)定性，甚至導(dǎo)致列車脫軌[7，8]。為了保證軌道系統(tǒng)的可靠性和高速列車的舒適性[9]，有必要研究橋墩沉降與軌道系統(tǒng)之間的映射關(guān)系。映射關(guān)系在橋梁軌道系統(tǒng)的維護(hù)和運(yùn)營(yíng)中起著至關(guān)重要的作用。

一些研究人員在鐵路與橋梁或鐵路與路基之間的映射關(guān)系方面開展了卓有成效的研究工作，可分為解析法和有限元法。在解析法中，陳兆偉等[11-12]推導(dǎo)了不同軌道系統(tǒng)下橋墩沉降與鋼軌豎向變形之間的映射表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)在縱向連接的無(wú)砟軌道系統(tǒng)中，橋墩沉降將導(dǎo)致底座板和梁部分分離。一些研究人員研究了橋墩沉降對(duì)不同軌道系統(tǒng)(如CRTSⅠ，Ⅱ和Ⅲ)的影響，并獲得了沉降極限值[13-15]。一些研究人員研究了沉降條件下扣件剛度[15-16]和砂漿層剛度[16]對(duì)軌道位移曲線的影響。陳兆偉等[17-19]比較了單墩沉降模型(SPSM)和多墩沉降模型(MPSM)，發(fā)現(xiàn)SPSM和MPSM具有相似之處。從MPSM獲得的結(jié)果是SPSM計(jì)算結(jié)果的疊加。此外，姜力等[20-21]計(jì)算了橋梁結(jié)構(gòu)3種典型變形下的鋼軌變形，分析了鋼軌幾何形狀的演變，并得出橋梁結(jié)構(gòu)變形與鋼軌變形的映射系數(shù)隨著橋梁結(jié)構(gòu)變形幅度的增加呈非線性增加的結(jié)論。郭宇等[22-23]研究了不同路基沉降值下軌道與路基的接觸關(guān)系，通過(guò)半解析法推導(dǎo)了路基沉降與軌道之間的映射關(guān)系。何春艷等[24]研究了列車在路基-橋梁過(guò)渡段中的動(dòng)力特性，推導(dǎo)了鋼軌變形與路基不均勻沉降之間的映射關(guān)系。

在有限元方法中，研究人員通過(guò)建模驗(yàn)證了上述映射關(guān)系的正確性和準(zhǔn)確性，然后研究了車輛在沉降條件下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。茍洪業(yè)等[25]通過(guò)建立車輛-軌道-橋梁模型來(lái)分析不同橋梁變形條件下車輛的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。結(jié)果表明，豎向橋梁變形主要影響豎向車輛動(dòng)力指標(biāo)，而對(duì)橫向動(dòng)力指標(biāo)的影響可忽略不計(jì)。鄭嵐等[26]分析了橋墩沉降和梁斷裂對(duì)不同類型高速列車乘坐舒適性的影響。根據(jù)仿真結(jié)果，不同列車的動(dòng)態(tài)響應(yīng)顯示出明顯不同的靈敏度。張曉慧[27]比較了不同跨度橋梁下車輛的動(dòng)力響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)跨度為24 m的梁所有動(dòng)力響應(yīng)比跨度為32 m的動(dòng)力響應(yīng)略大。

盡管目前取得了上述進(jìn)展，但大多數(shù)學(xué)者均是使用有限元模型進(jìn)行模擬，或者是推導(dǎo)鋼軌變形與橋墩沉降之間的映射關(guān)系。很少有文獻(xiàn)使用解析法來(lái)研究橋墩沉降與軌道底座板脫空區(qū)域之間的映射關(guān)系。本文推導(dǎo)了縱向連接板式無(wú)砟軌道條件下橋墩沉降與軌道底座板脫空區(qū)域映射關(guān)系的解析表達(dá)式，并用有限元模型進(jìn)行了模擬驗(yàn)證，還分析了橋梁表面剛度對(duì)脫空區(qū)域的影響。

1 軌道底座板脫空的機(jī)理分析

簡(jiǎn)支梁橋發(fā)生沉降時(shí)，沉降處相鄰的跨梁由于重力發(fā)生垂向位移，軌道結(jié)構(gòu)也隨之變形。圖1所示為縱連板式無(wú)砟軌道軌道底座板與橋面板間脫空區(qū)域的示意。

圖1 縱連板式軌道結(jié)構(gòu)底座板隨橋墩沉降脫空區(qū)域示意

軌道底座板連同整個(gè)軌道系統(tǒng)結(jié)構(gòu)在重力作用下發(fā)生垂向位移，因?yàn)檐壍赖目v向聯(lián)結(jié)特性，底座板與橋面板在A，B，C處產(chǎn)生分離。P位置處的底座板與橋面板接觸成因是橋墩沉降導(dǎo)致橋梁轉(zhuǎn)動(dòng)抬起所致。而Q位置的接觸則是由于軌道系統(tǒng)的垂向位移與梁體位移相等所致。因此，沉降值的大小直接影響脫空區(qū)域的范圍以及底座板與橋面板間的間距大小。

2 脫空區(qū)域的求解

2.1 脫空區(qū)域求解表達(dá)式

在對(duì)軌道-橋梁系統(tǒng)分析前，將鋼軌、軌道板和底座板考慮為自由梁，并作如下假設(shè)：

(1)考慮變形過(guò)程中鋼軌對(duì)軌道板、軌道板對(duì)底座板的影響，不考慮底座板對(duì)橋梁板的影響；

(2)不考慮砂漿層的離縫，并且將砂漿層等效為線性彈簧；

(3)橋梁與底座板之間等效為單向受壓彈簧接觸。

本文對(duì)軌道-橋梁系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，橋梁取為4跨，每跨橋長(zhǎng)度為32.6 m，有N個(gè)扣件。

2.1.1 鋼軌變形的解析表達(dá)式

沿鋼軌方向設(shè)為x方向，按0.01 m將鋼軌分成M個(gè)單元，每個(gè)單元的重力表示為Gr=mrglR，mr為鋼軌單位長(zhǎng)度質(zhì)量，g為重力加速度，lR為鋼軌單元的長(zhǎng)度，即0.01 m。Fr為扣件彈簧力，本文中扣件間距l(xiāng)f設(shè)為0.6 m，如圖2所示。

圖2 鋼軌受力分析圖式

鋼軌視為自由梁，受到重力和扣件彈簧力的作用。鋼軌的兩端可以視為兩端點(diǎn)扣件的彈簧支撐，分別為F(r，1)和F(r，4N)。因此，自由梁的彈性變形可以按簡(jiǎn)支梁彎曲變形模型來(lái)求解，如圖3所示。

圖3 自由梁模型分解

自由梁兩端點(diǎn)的垂向剛性位移為

(1)

其中，kp為扣件彈簧剛度。

鋼軌兩端點(diǎn)以外，鋼軌各位置的位移表達(dá)式為

(2)

式中Er——鋼軌彈性模量；

Ir——鋼軌截面慣量；

lr——鋼軌長(zhǎng)度；

Xr，j——第j個(gè)鋼軌單元距離鋼軌左端的距離。

結(jié)合式(1)和式(2)，鋼軌各單元的位移矩陣為

Zr=A·Gr-B·Fr

(3)

式中，Zr為所有鋼軌單元的位移矩陣；A和B分別為重力Gr和扣件力Fr對(duì)鋼軌變形的作用效果矩陣。其中

(4)

(5)

(6)

(7)

因?yàn)榭奂g距l(xiāng)f為0.6 m，因此扣件力Fr只有在x=0.6，1.2 m…的位置才會(huì)對(duì)鋼軌變形產(chǎn)生作用效果。

2.1.2 軌道板變形的解析表達(dá)式

軌道板在重力、扣件彈簧力Fr和砂漿的支承力的作用下發(fā)生彈性變形，受力分析如圖4所示。如同上文中鋼軌分析一樣，將軌道板沿x方向，按0.01 m分成M個(gè)單元，每個(gè)單元的重力用Gs表示。將砂漿層的作用力等效為彈簧力Fs，彈簧間距為0.01 m。

圖4 軌道板受力分析圖式

同上，軌道板兩端點(diǎn)的垂向剛性位移為

(8)

其中，ks為砂漿等效彈簧剛度。

軌道板除去兩端點(diǎn)以外的位移表達(dá)式為

(9)

式中Es——軌道板彈性模量；

Is——軌道板截面慣量；

ls——軌道板長(zhǎng)度；

Xs，j——第j個(gè)軌道板單元距離軌道板左端的距離。

結(jié)合式(8)和式(9)，軌道板各單元的位移矩陣為

Zs=C1·Gs-C2·Fr-D·Fs

(10)

式中，Zs為所有軌道板單元的位移矩陣；C1、C2和D分別為重力Gs、扣件力Fr和砂漿等效彈簧力Fs對(duì)軌道板變形的作用效果矩陣。其表達(dá)形式與上文中力對(duì)鋼軌變形的作用效果矩陣類似，因此不再列出。

2.1.3 底座板變形的解析表達(dá)式

底座板在重力、砂漿作用力Fs和接觸力Fp的作用下發(fā)生彈性變形，受力分析如圖5所示。如同上文，將底座板沿x方向，按0.01 m分成M個(gè)單元，每個(gè)單元的重力用Gp表示。接觸力Fp的彈簧剛度設(shè)為kb，間距設(shè)為0.01 m。

圖5 底座板受力分析圖式

底座板兩端點(diǎn)的垂向剛性位移為

(11)

其中，kb為橋梁板接觸剛度。

底座板除去兩端點(diǎn)以外的位移表達(dá)式為

(12)

其中Ep——底座板的彈性模量；

Ip——底座板截面慣量；

lp——底座板長(zhǎng)度；

Xp，j——第j個(gè)底座板單元距離底座板左端的距離。

結(jié)合式(11)和式(12)，底座板各單元的位移矩陣為

Zp=G(Gp+Fs)-H·Fp

(13)

式中，Zp為所有底座板單元的位移矩陣;G和H分別為重力Gp、砂漿等效彈簧力Fs和接觸力Fp對(duì)軌道板變形的作用效果矩陣。

2.1.4 橋梁沉降位移

如圖6所示，3號(hào)橋墩發(fā)生沉降d，第2和第3跨梁發(fā)生垂向位移。第1跨和第4跨梁的垂向位移為0。

圖6 橋墩沉降示意

圖7為第2跨梁體位移，lb1為梁端到支座的距離，lb0為梁支座之間的距離。

圖7 第2跨梁體位移示意

沿橋梁的縱向，0.01 m為一個(gè)單元長(zhǎng)度，則對(duì)應(yīng)每個(gè)單元處的橋梁位移為

Zb,i=(xb,i-lb1)×d/lb0

(14)

式中，x(b，i)為第2跨梁上第i個(gè)單元距左端的距離。

同理求得第3跨梁各單元處的位移，最后得出四跨橋梁的垂向位移矩陣Zb。

2.1.5 扣件彈簧力

第i個(gè)扣件彈簧力為

Fr，i=kp(Zr，i-Zs，i)

(15)

因此，扣件彈簧力矩陣可表示為

Fr=kp(Zr-Zs)

(16)

2.1.6 砂漿等效彈簧力

第i個(gè)砂漿等效彈簧力為

Fs，i=ks(Zs，i-Zp，i)

(17)

因此，砂漿等效彈簧力矩陣可表示為

Fs=ks(Zs-Zp)

(18)

2.1.7 接觸力

第i個(gè)接觸力為

Fp，i=kb，i(Zp，i-Zb，i)

(19)

(20)

因此，接觸力矩陣可表示為

Fp=Kb·(Zp-Zb)

(21)

式中，Kb為接觸力剛度矩陣。

2.1.8 脫空區(qū)域的求解

聯(lián)立式(3)，式(10)，式(13)，式(16)，式(18)和式(21)可得

(22)

式中，E為單位矩陣。

底座板和橋梁板的脫空區(qū)域范圍通過(guò)如下步驟循環(huán)迭代求解：

(1)假設(shè)底座板和橋梁板初始是全接觸，則對(duì)于i=1～M，都有kb，i=kb；

(2)通過(guò)式(22)可以求出Zp，i和Zb，i。通過(guò)判斷Zp，i和Zb，i的大小，如果Zp，i>Zb，i，則i點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置為接觸狀態(tài)，反之則為脫空區(qū)域，并令Ki，i=0；

(3)循環(huán)步驟2，直到接觸力剛度矩陣Kb穩(wěn)定，即可得到Kb矩陣。并且通過(guò)底座板位移矩陣Zp和橋梁板位移矩陣Zb對(duì)比得出脫空區(qū)域的范圍。

2.2 脫空區(qū)域解析的有限元驗(yàn)證

在ABAQUS中建立軌道-橋梁系統(tǒng)有限元模型，得到該系統(tǒng)隨橋墩沉降而產(chǎn)生的脫空區(qū)域范圍的數(shù)值解，以此來(lái)驗(yàn)證脫空區(qū)域范圍的解析表達(dá)式?？紤]到模型的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，取4跨軌道-橋梁系統(tǒng)，沉降發(fā)生在最中間處，進(jìn)行建模分析。模型如圖8所示。

圖8 軌道-橋梁有限元模型

在該模型中，橋梁板和底座板、底座板和砂漿層、砂漿層和軌道板之間采用表面-表面的接觸方式，軌道板和鋼軌之間的接觸關(guān)系用TIE約束的方式，各部件彈性模量參數(shù)如表1所示。

表1 有限元模型中各部件的彈性模量參數(shù) Pa

計(jì)算時(shí)，橋梁長(zhǎng)度取4×32.6 m，沉降量取30 mm，將有限元模型得出的底座板位移大小對(duì)解析表達(dá)式得到的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果如圖9所示。

圖9 底座板位移

由于底座板的縱向聯(lián)結(jié)特性，隨著中部橋墩沉降的產(chǎn)生，底座板隨之產(chǎn)生垂向變形，在進(jìn)入沉降區(qū)域時(shí)，底座板會(huì)稍微上翹，這是由于中部沉降導(dǎo)致梁體轉(zhuǎn)動(dòng)，兩端因此被抬起。在沉降區(qū)域，底座板位移達(dá)到最大值，且有緩和過(guò)渡曲線。由有限元模型和解析模型得出的底座板位移基本吻合，說(shuō)明解析模型完全可以用于求解縱連板式軌道系統(tǒng)下橋墩沉降引起的底座板脫空區(qū)域。相比于有限元模型，解析模型更容易表現(xiàn)出軌道系統(tǒng)各參數(shù)之間的關(guān)系，而且建模更加方便，下文將采用解析模型來(lái)分析底座板脫空區(qū)域。

3 不同沉降量引起的脫空區(qū)域分析

每跨橋梁長(zhǎng)度為32.6 m，沉降量d分別取5，10，15，20，25，30 mm和35 mm，底座板與橋梁板間的間隙如圖10所示。

圖10 不同沉降量下底座板到橋梁板的間距

由圖10可知，橋墩沉降引起的底座板脫空區(qū)域一共有5處，分別位于3號(hào)橋墩(x=65.2 m)處，以及2號(hào)(x=32.6 m)和4號(hào)橋墩(x=97.8 m)相鄰的左右位置，脫空區(qū)域的大小呈對(duì)稱狀，故取2號(hào)橋墩左右位置和3號(hào)橋墩處的脫空區(qū)域范圍進(jìn)行詳細(xì)闡述，如圖11和圖12所示。

圖11 第2個(gè)橋墩左右位置處底座板到橋梁板間距

由圖11可得，脫空區(qū)域存在于橋墩處左邊x=29～32 m、右邊x=33～36 m，橋墩x=32～33 m處為接觸區(qū)。這是由于3號(hào)橋墩沉降，底座板在重力作用下產(chǎn)生垂向位移，引起梁體的轉(zhuǎn)動(dòng)，使得底座板在2號(hào)橋墩附近位置有少量上撓。同時(shí)，橋梁由于3號(hào)橋墩沉降而下沉，橋梁轉(zhuǎn)動(dòng)使第2跨橋梁的左端點(diǎn)處(即2號(hào)橋墩處)有少許的抬起，使得該橋墩位置的橋梁與底座板相接觸。圖11中，當(dāng)沉降量為5～35 mm時(shí)，脫空區(qū)域的范圍和底座板與橋梁的間距大小隨沉降量增加而增加。

如圖12所示，在沉降發(fā)生處(x=65.2 m)，脫空區(qū)域范圍和間距大小隨沉降量的增大而增大，呈對(duì)稱結(jié)構(gòu)，最大間距發(fā)生在沉降處(x=65.2 m)，不同沉降量對(duì)應(yīng)的數(shù)值如表2所示。

圖12 3號(hào)橋墩處底座板到橋梁板的間距

表2 不同沉降量的脫空區(qū)域參數(shù)

由表2可知，脫空區(qū)域的大小隨沉降量增加而增加，但隨著沉降量的增加，范圍的增加量減少；間距隨沉降量增加而增加，并且最大間距值的變化量隨著沉降量增加而增加。原因是底座板由于縱向聯(lián)結(jié)特性，在剛度可承受范圍內(nèi)隨著沉降量的增加，變形會(huì)達(dá)到一個(gè)最大值，達(dá)到這個(gè)限值后，脫空區(qū)域范圍不再隨沉降量增加有明顯變化。

橋梁的面剛度一般在1 000～2 000 MPa/m，取沉降量為30 mm，研究不同橋梁面剛度下，對(duì)底座板脫空區(qū)域的影響，如圖13、圖14所示。

圖14 不同橋梁面剛度對(duì)3號(hào)橋墩處底座板脫空區(qū)域的影響

如圖13所示，2號(hào)橋墩附近位置的底座板脫空區(qū)域和空隙大小，隨著橋梁面剛度增大而增大，其數(shù)值如表3、表4所示。

圖13 橋梁面剛度對(duì)2號(hào)橋墩位置底座板脫空區(qū)域的影響

表3 橋梁面剛度對(duì)2號(hào)橋墩左側(cè)底座板脫空區(qū)域的影響

表4 橋梁面剛度對(duì)2號(hào)橋墩右側(cè)底座板脫空區(qū)域的影響

由表3、表4可以得出，橋梁面剛度對(duì)2號(hào)橋墩左右兩處脫空區(qū)域范圍影響不大，影響范圍不超過(guò)2%，但是底座板與橋梁板之間的最大間距隨著橋梁面剛度的增加而增加，最大增幅達(dá)到26.3%。

由圖14可知，該位置脫空范圍隨橋梁面剛度的增大而增大，而底座板與橋梁板間的最大間距基本沒有變化，數(shù)值如表5所示。

由表5可以看出，橋梁面剛度對(duì)沉降發(fā)生處(3號(hào)橋墩處)的脫空最大間距基本沒有影響，對(duì)脫空范圍的影響不超過(guò)4%。

表5 橋梁面剛度對(duì)3號(hào)橋墩位置底座板脫空區(qū)域的影響

4 結(jié)論

本文對(duì)縱連板式軌道條件下橋墩沉降量與底座板脫空區(qū)域的關(guān)系進(jìn)行了推導(dǎo)，計(jì)算了底座板隨橋墩沉降的位移曲線，并加以有限元驗(yàn)證，同時(shí)還對(duì)不同沉降量、不同橋梁面剛度下底座板脫空區(qū)域的變化進(jìn)行了對(duì)比分析。主要結(jié)論如下。

(1)由橋墩沉降與底座板脫空區(qū)域的映射關(guān)系推導(dǎo)的解析模型可用于求解底座板脫空區(qū)域問題。相比有限元法，解析法求解速度更快，而且更清楚地描述了鋼軌-軌道板-橋梁面板之間的參數(shù)關(guān)系。

(2)橋墩沉降下，底座板和橋梁板會(huì)發(fā)生局部脫離，形成脫空區(qū)域。脫空區(qū)域范圍和脫空最大間距隨沉降量的增加而增加，但是脫空區(qū)域范圍的增加量逐漸減小，而間距的增加量逐漸增大。

(3)沉降區(qū)外脫空區(qū)域的間隙隨橋梁面剛度的增大而增大，對(duì)于沉降處的脫空區(qū)域，橋梁面剛度變化對(duì)其影響不大。