高德寶，邵云虹，徐 磊

近些年來，豬肉價(jià)格大起大落的戲碼頻頻上演，已是見怪不怪.但“價(jià)高傷民，價(jià)賤傷農(nóng)”，百姓深受其苦.牛肉與羊肉等肉類商品也會(huì)偶爾地表演一番價(jià)格飆升與驟降.豬肉商品價(jià)格飆升與驟降的根本原因是供需不平衡.而導(dǎo)致其供需不平衡的主要原因有兩個(gè)：一是受生產(chǎn)周期影響，供應(yīng)量與需求量發(fā)生博弈戰(zhàn)，而供應(yīng)量與需求量之間的博弈戰(zhàn)是通過價(jià)格表現(xiàn)的.價(jià)格暴跌意味著供應(yīng)量遠(yuǎn)大于需求量，價(jià)格飆升表明需求量遠(yuǎn)大于供應(yīng)量.二是瘟疫對(duì)生豬的影響：它導(dǎo)致合格豬肉商品供應(yīng)量急劇減少，同時(shí)瘟疫亦會(huì)導(dǎo)致其需求量的降低（例如2018年的非洲豬瘟導(dǎo)致我國豬肉需求量與其價(jià)格急劇下降）.而瘟疫結(jié)束后的一段時(shí)間內(nèi)，價(jià)格又會(huì)急劇飆升.

供應(yīng)量隨著價(jià)格的變化而變化.當(dāng)價(jià)格升高時(shí)，豬農(nóng)會(huì)增加生豬的存欄量；當(dāng)價(jià)格降低時(shí)，豬農(nóng)會(huì)減少存欄量.而價(jià)格升高時(shí)，豬肉的需求量會(huì)減少；價(jià)格降低時(shí)，豬肉的需求量會(huì)增加.由此可見，供應(yīng)量、需求量和價(jià)格之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系類似于捕食者與被捕食之間的關(guān)系，供應(yīng)量捕食價(jià)格，價(jià)格捕食需求量［1-4］.而瘟疫對(duì)豬肉商品的沖擊作用相當(dāng)于生物數(shù)學(xué)中的脈沖擾動(dòng)作用［5-7］.

我國豬肉價(jià)格頻繁大起大落的原因，以及瘟疫對(duì)供應(yīng)量、需求量和價(jià)格三者產(chǎn)生了何種影響，本文應(yīng)用微分動(dòng)力學(xué)的相關(guān)理論研究上述兩個(gè)問題的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)關(guān)系［8-11］.

1 生產(chǎn)周期影響下豬肉商品動(dòng)力模型的構(gòu)建與分析

豬肉等肉類商品的即時(shí)供應(yīng)量是上一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)的，所以其供應(yīng)量的實(shí)現(xiàn)具有時(shí)滯性.一般情況下，供應(yīng)量和需求量均會(huì)隨著價(jià)格的變化而變化，價(jià)格能夠?qū)崟r(shí)地反映肉類的供應(yīng)量與其需求量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系［12］.為建立數(shù)學(xué)模型，需作以下模型假設(shè).

①對(duì)需求量、價(jià)格和供給量統(tǒng)一量綱，比如統(tǒng)一為貨幣單位.

②豬肉的平均生產(chǎn)周期為τ(τ＞0).

③豬農(nóng)根據(jù)現(xiàn)時(shí)價(jià)格決定下一個(gè)周期內(nèi)豬肉的供應(yīng)量.

④假設(shè)t時(shí)刻，豬肉商品的需求量、價(jià)格和供應(yīng)量分別為D(t)，P(t)，S(t-τ).

⑤因?yàn)樾枨罅繉?duì)價(jià)格的反應(yīng)比較靈敏，所以假設(shè)需求量與價(jià)格之間的功能性反應(yīng)具有線性關(guān)系.

⑥受消費(fèi)人數(shù)的限制，假設(shè)需求量具有密度制約性并且需求量不完全依賴于供應(yīng)和價(jià)格.

⑦假設(shè)豬肉價(jià)格僅受需求量與供應(yīng)量的影響.因?yàn)樾枨罅吭黾訒r(shí)，價(jià)格上漲，供給量增加時(shí)，價(jià)格下降，所以本文假設(shè)價(jià)格對(duì)需求量和供給量的功能性反映函數(shù)為

⑧因?yàn)閠時(shí)刻豬肉的供應(yīng)量S(t)是由tτ時(shí)刻的價(jià)格P(t-τ)決定的，所以假設(shè)供給量對(duì)價(jià)格的功能性反映函數(shù)為c1P(t-τ).

綜上分析與假設(shè)，則僅受生產(chǎn)周期影響的豬肉商品微分動(dòng)力系統(tǒng)為

其中：a0，a1，a2，b0，b1，c0，c1，w均為正數(shù).基于問題的實(shí)際意義，系統(tǒng)（1）的可行域?yàn)?/p>

系統(tǒng)（1）在[-τ,0)內(nèi)的初始條件滿足

其 中：(?1(t)，?2(t)，?3(t))∈C([-τ，0]，)，表示從區(qū)間[-τ，0]映射到的所有連續(xù)函數(shù)所構(gòu)成的空間.

顯然，系統(tǒng)（1）的右側(cè)是光滑的，根據(jù)微分方程解的存在性與唯一性定理知：系統(tǒng)（1）滿足初值條件（2）的解(D(t),P(t),S(t))在全局上是唯一存在的［13-14］.

定理1系統(tǒng)（1）以D(0)＞0,P(0)＞0，S(0)＞0為 初 值 的 解(D(t)，P(t)，S(t))具 有 非負(fù)性.

證明 易知系統(tǒng)（1）的前兩個(gè)方程等價(jià)于以下兩個(gè)方程：

顯 然，當(dāng)D(0)＞0,P(0)＞0時(shí)，D(t)＞0,P(t)＞0.因?yàn)镾′(t)|S=0=c1P(t-τ)＞0，所以S(t)＞0.

綜 上 可 得，D(t)＞0，P(t)＞0，S(t)＞0，t∈[0,+∞).

基于社會(huì)的實(shí)際情況，不管價(jià)格如何，總會(huì)有人買一些豬肉來食用，也就是說需求量必定大于零.受豬肉生產(chǎn)成本的制約，其價(jià)格必定大于零.盡管偶爾會(huì)有豬瘟或其他影響豬肉質(zhì)量因素發(fā)生，但是合格豬肉的供應(yīng)量或多或少都是存在的.因此，定理1的結(jié)論與實(shí)踐狀況相符合.

定理2系統(tǒng)（1）在[0,+∞)內(nèi)一致有界［8］.

證明 作函數(shù)V(t)=b1D(t)+a2P(t)，則有

易知P(t)在[0,+∞)上是有界連續(xù)函數(shù)，不妨設(shè)MP是它的一個(gè)上界.根據(jù)系統(tǒng)（1）的第3個(gè)方程可得

根據(jù)文獻(xiàn)［11］的引理1.1.10可得

綜上可得，定理2的結(jié)論成立.

定理2也可進(jìn)一步地說明D(t)，P(t)，S(t)在[0,+∞)上有界.容易理解：因?yàn)橄M(fèi)者的人數(shù)是有限的，所以需求量必定是有限的.價(jià)格越高，豬肉的銷售量會(huì)越少.當(dāng)價(jià)格超出大多數(shù)人的消費(fèi)能力范圍時(shí)，購買豬肉的人們會(huì)更少，所以價(jià)格必須在絕大多數(shù)人的接受范圍內(nèi).也就是說價(jià)格需要有上限.對(duì)于供應(yīng)量而言，不是越多越好.當(dāng)供應(yīng)量遠(yuǎn)大于需求量時(shí)，其價(jià)格會(huì)很低，養(yǎng)殖戶的利益會(huì)大大減小，因此豬肉的供應(yīng)量必然有上限.這些實(shí)際狀況與定理2的結(jié)論吻合.

通過求解方程組

可得如下定理.

定理3若條件H1:a0b1-a1b0＞0成立，則系統(tǒng)（1）存在唯一的正平衡點(diǎn)(D*,P*,S*)，其中

在無其他因素影響的條件下，正平衡點(diǎn)(D*，P*，S*)是需求量、價(jià)格和供給量經(jīng)過一段時(shí)間博弈之后所處的平衡狀態(tài).

2 局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

定理4若系統(tǒng)（1）滿足條件H1和條件

則存在τ0＞0，使得系統(tǒng)（1）所對(duì)應(yīng)的正平衡點(diǎn)(D*,P*,S*)，當(dāng)0≤τ＜τ0時(shí)，局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)（1）在(D*,P*,S*)處產(chǎn)生Hopf分支；當(dāng)τ＞τ0時(shí)，(D*,P*,S*)是不穩(wěn)定的.

證明 系統(tǒng)（1）在(D*,P*,S*)的特征方程為

若令

則有

當(dāng)τ=0時(shí)，系統(tǒng)（1）的特征方程（3）變換為

易知

根 據(jù)Routh-Hurwitz［8］定 理 知：特 征 方 程（3）的所有根具有負(fù)部，由Hurwitz［8］定理知：當(dāng)τ=0時(shí)，正平衡點(diǎn)(D*,P*,S*)是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)τ＞0，設(shè)λ=ωi(ω＞0)是特征方程（3）的一純虛根，則ω滿足

分離上式的實(shí)部和虛部可得

由上式可得

在式（4）中消去cos(2ωτ)，sin(2ωτ)，則有

因?yàn)闂l件H2成立，所以

根據(jù)零點(diǎn)定理［12］，因此，方程（5）至少存在一正根ω0＞0，將其代入方程組（4）計(jì)算可得

由上式可得與ω0對(duì)應(yīng)的τn，

取τ0是式（7）產(chǎn)生純虛根的最小正值.根據(jù)Butler引理可知：則當(dāng)τ＜τ0時(shí)，正平衡點(diǎn)(D*，P*，S*)仍然保持穩(wěn)定［13］.

令λ=λ(τ)，代入式（3），并在其兩邊對(duì)τ求導(dǎo)，有

將λ=ω0i，τ=τ0代入上式，得

因?yàn)?ω0,τ0)是式（4）的解，因此有

由式（5）可知

將上式代入式（9）可得

由式（6）可知(m11m23m32)2-(m12m21m33)2＞0.因?yàn)?/p>

又因?yàn)闂l件H3成立，所以(m11+m33)2-2(m11m33+m12m21)≥0.綜 上 可 得

由Hopf分 支 定 理 知，當(dāng)τ=τ0時(shí)，系 統(tǒng)（1）在正平衡點(diǎn)(D*,P*,S*)產(chǎn)生Hopf分支；當(dāng)τ＞τ0時(shí)，正平衡點(diǎn)(D*,P*,S*)不穩(wěn)定［14-17］.

定理4分別給出了僅受生產(chǎn)周期影響的系統(tǒng)（1）在正平衡點(diǎn)(D*,P*,S*)局部漸近穩(wěn)定和產(chǎn)生周期解的充分條件.

3 生產(chǎn)周期與豬瘟疊加效應(yīng)影響下的豬肉商品動(dòng)態(tài)關(guān)系分析

上文僅研究了生產(chǎn)周期對(duì)豬肉的供應(yīng)量、價(jià)格和需求量的影響，若有瘟疫發(fā)生，則必定會(huì)對(duì)它們產(chǎn)生很大程度的影響［18-20］.為構(gòu)建生產(chǎn)周期與豬瘟疊加效應(yīng)影響下的豬肉商品關(guān)系模型，需作如下模型假設(shè).

①當(dāng)消費(fèi)者得知有瘟疫發(fā)生時(shí)，必將會(huì)盡最大可能地降低需求，假設(shè)瘟疫發(fā)生時(shí)豬肉的最低需求量為常數(shù)d0(0＜d0＜D*).

②根據(jù)2018年非洲豬瘟的經(jīng)驗(yàn)，瘟疫期間的肉類商品的價(jià)格接近最低值，接近于單位成本，假設(shè)此時(shí)的價(jià)格為最低值p0(0＜p0＜P*).

③瘟疫期間，為了阻止瘟疫地?cái)U(kuò)大，得病的生豬必須被處理掉，豬農(nóng)幾乎不會(huì)增加養(yǎng)殖量.因此，豬肉供應(yīng)量就會(huì)出現(xiàn)斷崖式下降，假設(shè)供應(yīng)量的最小值為常數(shù)s0(0＜s0＜S*).

④當(dāng)瘟疫影響結(jié)束時(shí)，供應(yīng)量還需要一個(gè)生產(chǎn)周期才能提高.

為簡(jiǎn)化問題，假設(shè)tk(k=1,2,…)時(shí)刻瘟疫發(fā)生，tk+1時(shí)刻瘟疫影響結(jié)束.而在(tk-1,tk]時(shí)間段內(nèi)，沒有豬瘟影響.根據(jù)上面的分析與假設(shè)，生產(chǎn)周期與瘟疫疊加效應(yīng)影響下的豬肉商品動(dòng)態(tài)關(guān)系模型如下所示.

其 中 ：0＜t1＜t2＜…＜tk＜…＜tk+1+τ＜tk+2＜…，并且當(dāng)k→+∞時(shí)，tk→+∞.

定理5當(dāng)條件H4:a0-a1d0-a2p0＞0，H5:b1d0-b0-b0s0w＞0，H6:c1p0-c0s0＞0成立時(shí)，則有

證明 根據(jù)導(dǎo)數(shù)極限定理［12］和系統(tǒng)（11）可知

在瘟疫影響結(jié)束之后的第1個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，豬肉供應(yīng)量仍然是s0，系統(tǒng)（11）等價(jià)于下面的系統(tǒng)（12）.

由系統(tǒng)（12）可得

若條件H4～H6成立，則有

定理5給出了瘟疫影響結(jié)束時(shí)，需求量和價(jià)格的即時(shí)增速的數(shù)值.而S′((tk+1+τ)+)表示瘟疫影響結(jié)束之后第一個(gè)生產(chǎn)周期結(jié)束時(shí)的豬肉供應(yīng)量的即時(shí)增速.

下 面 討 論D(t)，P(t)在 區(qū) 間[tk+1,tk+1+τ]上的極值情形.根據(jù)命題“可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)［12］”的結(jié)論，求解方程

⑤tp是方程P′(t)=0的所有解中，在tk+1右側(cè)并距離其最近的解.

⑥根據(jù)⑤的假設(shè)，若tp≥tk+1，則P(t)在(tk+1，tk+1+τ)內(nèi) 無 極 值，所 以 需 假 設(shè)tk+1＜tp＜tk+1+τ.

因此可得如下命題.

命題1若系統(tǒng)（12）滿足條件H4～H6和假設(shè)⑤，⑥成立，則當(dāng)D′(tp)＜0時(shí)，P(t)在tp點(diǎn)取得極大值；當(dāng)D′(tp)＞0時(shí)，P(t)在tp點(diǎn)取得極小值.

命題1揭示，在瘟疫影響結(jié)束后的第一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，豬肉價(jià)格隨著需求量的增加而上漲.但是當(dāng)需求量增加到極大值時(shí)，價(jià)格的上漲并未達(dá)到極大值，而是在需求量下降的某一時(shí)刻達(dá)到極大值.然后，價(jià)格會(huì)隨著需求量的減少而降低，當(dāng)價(jià)格降到極小值時(shí)，需求量也未達(dá)到極小值，價(jià)格是在需求量觸底反彈之后的某一時(shí)刻達(dá)到極小值.

求 解 方 程D′(t)=D(t)[a0-a1D(t)-a2P(t)]=0，可得

⑦設(shè)td是 方 程D′(t)=0的 所 有 解 中，在tk+1右側(cè)并距離其最近的解.

⑧同假設(shè)⑥中的原因，假設(shè)tk+1＜tp＜tk+1+τ.

因 為D″(t)=[a0-2a1D(t)-a2P(t)]D′(t)-a2D(t)P′(t)，所以D″(td)=-a2D(td)P′(td).進(jìn)而可得如下結(jié)論.

命題2若系統(tǒng)（12）滿足條件H4～H6和式（7），式（8）成立，則當(dāng)P′(td)＞0時(shí)，D(t)在td點(diǎn)取得極大值；當(dāng)P′(td)＜0時(shí)，D(t)在td點(diǎn)取得極小值.

命題2揭示，在瘟疫影響結(jié)束后的第一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，豬肉需求量會(huì)在價(jià)格上漲過程中的某一時(shí)刻td達(dá)到極大值，也會(huì)在其價(jià)格下降過程中的某一時(shí)刻達(dá)到極小值.

4 數(shù)值仿真

在這一節(jié)，取相同的系數(shù)和不同的生產(chǎn)周期τ對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行數(shù)值模擬.首先，取系數(shù)

經(jīng)計(jì)算，可驗(yàn)證上面的系數(shù)滿足條件H1～H3.因此系統(tǒng)（1）的正平衡點(diǎn)和ω0,τ0分別為

取 初 值（D，P，S）=（1，1.5，1）.當(dāng) 取τ=2＜τ0時(shí)，正平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的.正平衡點(diǎn)（D*，P*，S*）局部漸近穩(wěn)定的相圖如圖1、圖2所示.

圖1 正平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定的平面相圖

圖2 正平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定的三維相圖

當(dāng)取τ=5.3≈τ0時(shí)，系統(tǒng)（1）在正平衡點(diǎn)（2.37，2.69，3.22）處產(chǎn)生Hopf分支，即產(chǎn)生周期解，其相圖如圖3、圖4所示.

圖3 系統(tǒng)（1）存在周期解的平面相圖

圖4 系統(tǒng)（1）存在周期解的三維相圖

再取時(shí)滯τ0=2.3，并取d0=1，p0=0.8，s0=0.6，易驗(yàn)證條件H4～H6成立.取瘟疫影響的時(shí)間段分別為［15，30］和［50，60］.數(shù)值仿真結(jié)果如圖5所示.

圖5 豬周期和豬瘟疊加效應(yīng)影響下的數(shù)值仿真圖

從圖5可以看出，當(dāng)瘟疫影響結(jié)束時(shí)，因?yàn)樾枨罅康脑雎屎艽?，所以它幾乎是瞬時(shí)地變化到極大值，然后回歸到正常的波動(dòng)狀態(tài)；在瘟疫影響結(jié)束時(shí)，價(jià)格也會(huì)以很快的速度攀升到極值點(diǎn)，但它的速率明顯小于需求量的增長(zhǎng)速率再回歸到正常的波動(dòng)狀態(tài).需求量與價(jià)格的快速升高與經(jīng)濟(jì)理論中的報(bào)復(fù)性反彈理論［14］比較貼合.

在圖5中的兩個(gè)區(qū)間［30，32.3］和［60，62.3］是瘟疫影響結(jié)束的第一個(gè)生產(chǎn)周期.在這段時(shí)間內(nèi)，供應(yīng)量（粗線表示）保持常數(shù).需求量在價(jià)格（虛線所示）的上升過程中達(dá)到極大值，而價(jià)格（虛線所示）卻是在需求量的下降過程中達(dá)到極小值.

2018年8 月，非洲豬瘟開始在我國蔓延，2019年，瘟疫影響基本結(jié)束.9月之后，隨著需求量的恢復(fù)，豬肉價(jià)格一路飆升，至2020年初，價(jià)格開始平穩(wěn)并逐步回落，這與圖5中的仿真結(jié)果基本一致.

利用經(jīng)濟(jì)理論也可以很好地解釋這種現(xiàn)象：在瘟疫影響結(jié)束后的一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，供應(yīng)量是固定的.因?yàn)樾枨罅克矔r(shí)回歸到正常狀態(tài)，所以發(fā)生了嚴(yán)重的供不應(yīng)求現(xiàn)象，因此價(jià)格會(huì)發(fā)生快速升高的現(xiàn)象.

5 結(jié)語

一般情況下，僅受生產(chǎn)周期影響的肉類商品會(huì)有兩種變化趨勢(shì)：一是需求量、價(jià)格和供應(yīng)量動(dòng)態(tài)波動(dòng)地收斂于正平衡點(diǎn)；二是三者圍繞正平衡點(diǎn)作周期性波動(dòng).當(dāng)生產(chǎn)周期和瘟疫疊加影響肉類商品動(dòng)態(tài)關(guān)系時(shí)也會(huì)有兩種狀況出現(xiàn).瘟疫影響期間，需求量、價(jià)格和供應(yīng)量均會(huì)降到它們的極小值；在瘟疫影響結(jié)束后的短期內(nèi)，因?yàn)樾枨罅繕O快地回升，導(dǎo)致嚴(yán)重的供不應(yīng)求，所以價(jià)格升高的速度很快.