華思博，張勇

北京大學地球與空間科學學院，北京 100871

0 引言

地震波由震源激發(fā)，在地球內部介質中傳播，介質在地震波作用下發(fā)生的運動通常包括平移運動、旋轉運動和體積形變(Trifunac，2009).傳統(tǒng)地震學主要觀測平動記錄，在此基礎上開展相關的模擬和反演工作，但要想完整地描述地震波作用下的介質運動過程，不僅需要平動，還需要旋轉(Aki and Richards，2002；Lee et al.，2009).地震波旋轉的理論、觀測和分析研究在地震學中具有重要意義(顧浩鼎和陳運泰，1988；劉庚等，2020).事實上，一百年前就有研究者觀測到了由地震產(chǎn)生的旋轉效應，但受限于當時的儀器水平，無法進行準確測量.旋轉的振幅比平動一般要低若干數(shù)量級，導致其很長一段時間都未被重視，大多地震學研究仍以平動研究為主(張佩等，2018).

近些年來隨著地震觀測技術的發(fā)展，人們設計制造了越來越精確的旋轉地震儀，以此積累了越來越多的地面旋轉記錄(Lee et al.，2009；董興朋等，2013).目前獲得旋轉記錄的手段有兩類，一類為根據(jù)臺陣平動進行差分得到旋轉(王君杰和胡聿賢，1991；何超等，2011；周佩佩和巢斯，2013)；另一類為直接觀測，比如利用激光陀螺儀(Takeo，1998；Igel et al.，2005，2007；Huang et al.,2006)和利用光纖技術測量地面的旋轉運動(Schreiber et al.,2009;Bernauer et al.,2012)，以及利用地面傾斜數(shù)據(jù)構建旋轉波場(周聰?shù)龋?019).有關旋轉的理論研究也在近些年得到了進一步發(fā)展，比如遠震旋轉勒夫波層析成像(Takeo，1998)、地球自由震蕩的旋轉觀測(Igel et al.，2011)以及旋轉噪聲成像等(Hadziioannou et al.，2012).隨著旋轉觀測技術的發(fā)展和旋轉地震波理論的成熟，旋轉地震波越來越得到重視，其應用也越來越廣泛.可以預期，未來旋轉觀測數(shù)據(jù)完全可能成為和平動記錄一樣普遍的地震波數(shù)據(jù)類型，應用于震源反演及地球介質成像等常規(guī)地震學研究工作中.

在震源反演中，平動分量和旋轉分量能否聯(lián)合反演，其效果如何，值得預先進行探究.在這方面，已經(jīng)有學者對利用旋轉和平動記錄對震源反演開展了初步的數(shù)值試驗，如Bernauer 等(2014)和Reinwald等(2016)利用貝葉斯反演的方法，探究在有限斷層反演中利用旋轉和平動進行聯(lián)合反演的效果，發(fā)現(xiàn)加入旋轉分量可以更好地約束破裂過程，降低結果非唯一性.此外，也有學者應用貝葉斯反演的方法對在矩張量反演中加入旋轉分量進行了數(shù)值試驗(Donner et al.，2016，2018，2020)，發(fā)現(xiàn)旋轉分量可以更好地約束矩心深度，同時改善對矩張量某些元素的約束.

然而現(xiàn)有的將旋轉用于矩張量反演的數(shù)值試驗都是基于簡單震源時間函數(shù)(δ函數(shù))，針對特定或少數(shù)幾種震源機制進行反演，對震源機制、震源時間函數(shù)的復雜性和典型臺站分布未給予充分考慮.本研究將從更一般的角度出發(fā)，對雙力偶震源機制所有可能的走向、傾角和滑動角做等間距采樣，以保證矩張量的完備性；同時采用復雜的震源時間函數(shù)，盡可能真實地模擬實際的震源過程；針對不同的典型臺站分布、頻段和信噪比等情況開展更為系統(tǒng)和全面的數(shù)值試驗，得到更具代表性和普適性的認識.

1 均勻無限空間中地震波的旋轉分量與平動分量的輻射花樣

地震動的旋轉可由其平動的空間旋度得到(Aki and Richards，2002；張海明，2021).在均勻無限空間中，純剪切位錯源激發(fā)的旋轉地震波場可以表示為(Suryanto,2006;Cochard et al.,2006;周聰?shù)?2019)：

(1)

圖1 均勻無限空間中位錯點源激發(fā)的靜態(tài)位移和旋轉場(Suryanto,2006)Fig.1 The distribution of the static displacement and rotation excited by a dislocation point source in a homogeneous infinite space (Suryanto,2006)

平動和旋轉分量輻射花樣的互補性顯示：在平動分量的基礎上引入旋轉分量可能為地震震源參數(shù)提供更好的約束，從而得到更可靠的反演結果.因為在反演過程中，如果某個矩張量元素激發(fā)的波形振幅遠小于其他矩張量元素，則該元素可能無法得到有效的約束(Dziewonski et al.，1981；Bukchin et al.，2010).在臺站非常稀疏時，所有平動分量可能都無法有效約束某個矩張量元素，這時如果在相同臺站處引入旋轉分量，完全可能提升對該矩張量元素的約束能力.基于以上分析與認識，我們設計了本文的數(shù)值試驗.

2 研究方案

2.1 平動與旋轉波形的正演計算

在同步源的假設下，地震在n方向產(chǎn)生的位移和旋轉可分別表示為：

un(t)=Mpq·stf(t)*Gnp,q(t),

(2)

wn(t)=Mpq·stf(t)*Hnp,q(t),

(3)

其中stf(t)為震源時間函數(shù)，Gnp,q(t)為震源處的力偶Mpq在此臺站處激發(fā)的平動n分量格林函數(shù)，Hnp,q(t)為相應的旋轉格林函數(shù)，‘*’為卷積符號，除特殊說明外，所有公式均采用愛因斯坦求和約定.

本文基于一維速度結構模型(見圖2b和圖2c)，采用QSSP2017(Wang et al.，2017)計算平動和旋轉格林函數(shù)(Gnp,q和Hnp,q).選取圖2a所示持續(xù)時間為20 s的面積歸一化的復雜震源時間函數(shù)作為stf(t)，對雙力偶震源的斷層參數(shù)進行均勻采樣，以5°為間距，走向從0°到175°，傾角從0°到90°，滑動角從 0°到175°，得到24624個純剪切位錯的矩張量，并按照(2)和(3)式計算平動和旋轉波形.需要說明的是，我們沒必要對走向和滑動角的所有取值范圍(0°～360°)采樣，因為在其他條件不變的情況下，走向或滑動角加180°只改變合成波形的極性，而不改變其波形形態(tài).為模擬地震觀測誤差，我們在合成的平動和旋轉波形中均添加了高斯隨機噪聲.除后文對信噪比進行特殊討論外，添加噪聲后所有波形的信噪比均為10.通過以上步驟，得到了用于后文反演的合成平動和旋轉波形.研究考慮了幾種典型的臺站分布，震源均位于(0°,0°)，震源深度為10 km(圖3).

圖2 用于數(shù)值試驗的部分條件(a)用于正演的面積歸一化震源時間函數(shù)；(b)P波速度結構模型，藍色和紅色分別為準確速度結構和有誤差的速度結構；(c)同(b)但為S波.Fig.2 Conditions used in the numerical experiment(a)Area-normalized source time function used for the forward model;(b)P wave velocity model,the blue and red lines denote the original and the adjusted velocity model,respectively;(c)Similar to (b)but for S wave.

圖3 數(shù)值試驗中用到的各種臺站分布(a)單臺;(b)北南雙臺;(c)北東雙臺;(d)北東南西四臺;(e)32臺.其中紅色三角形代表加旋轉分量且保持總記錄數(shù)量不變時選擇的臺站，即在紅色臺站添加旋轉來替換藍色臺站的平動，黃色五角星為震中位置.Fig.3 Station distributions used in the numerical experiments(a)Single station;(b)Double stations in the north and the south;(c)Double stations in the north and the east;(d)4 stations in the north,the east,the south and the west;(e)32 stations.The red triangles denote the chosen stations when we keep the total record quantity unchanged,which means we add rotational components to the red stations to replace translational components in blue stations. The yellow stars are the epicenters.

2.2 用平動與旋轉進行矩張量反演

我們將2.1節(jié)合成的平動和旋轉波形作為數(shù)據(jù)，結合Global Centroid Moment Tensor (GCMT)和United States Geological Survey(USGS)等機構的震源機制反演流程(Ekstr?m et al.,2005)進行矩張量反演，將震源時間函數(shù)簡化為一個等腰三角形，由起始時間ts和半寬tr兩個參數(shù)控制.對矩心深度d以及ts和tr進行格點搜索，d的范圍為6～15 km，步長為1 km，ts為0～6 s，tr為2～9 s，二者步長均為1 s.每次搜索中的線性反演矩陣可表示為

[STF(ts,tr)*Knp,q(d)][Mpq]=[A],

(4)

其中STF(ts,tr)為每次格點搜索中由ts和tr合成的等腰三角形震源時間函數(shù)，A為正演合成的波形，Kn p,q(d)為對應此搜索深度的格林函數(shù)矩陣，包含了位移格林函數(shù)Gn p,q和旋轉格林函數(shù)Hn p,q，Mpq為待求解的矩張量.取此矩陣方程的最小二乘解為此格點條件下的矩張量反演結果，并計算歸一化的波形反演殘差Misfit

(5)

其中obs為正演合成的波形，syn為根據(jù)反演結果計算得到的波形.對于每個矩張量的反演，在每個反演深度下，取使Misfit最小的ts、tr組合，在此情況下得到此深度下該矩張量的反演結果，最后將不同深度下的24624個矩張量反演結果的平均Misfit進行比較.除對頻段的專門討論外，反演中使用的頻段均為0.005～0.02 Hz，采樣率為1 Hz，波形長度為360 s，由于平動振幅和旋轉振幅相差數(shù)個量級，我們對所有波形進行了能量平權處理(即所有波形和對應的格林函數(shù)在反演前都除以其波形的平方和)，平權后以1∶1的權重進行反演，以確保反演時平動波形和旋轉波形的振幅大體相當.

本文針對不同臺站分量分布的情況進行考察，嘗試了三種臺站分量分布情況：①只用平動分量單獨反演，②在平動分量的基礎上加上旋轉分量進行聯(lián)合反演，以及③在總波形數(shù)量不變的前提下(即在部分臺站添加旋轉分量替換其他臺站的平動分量)進行聯(lián)合反演.對于不同臺站分量的情況，我們主要從以下幾個方面對得到的結果進行評估.一是反演得到的每個矩張量元素與輸入值的誤差，觀察不同情況下的誤差分布直方圖，并用正態(tài)分布擬合，得到均值μ與標準差σ；二是針對矩張量整體的差異，根據(jù)Kagan(1992)中描述的矩張量的相關性，由矩張量差異角Δφ及反演得到的地震矩M0(Silver and Jordon,1982)來進行評價：

(6)

(7)

其中上角標1和2代表兩個不同的矩張量.由于將震源時間函數(shù)進行了單位化，得到的結果地震矩M0越接近1的說明結果越好，而Δφ則越接近0越好.

3 反演試驗結果與分析

3.1 單臺六分量與單臺平動三分量

首先考慮圖3a所示情況，比較用單臺平動和單臺平動加旋轉分別反演得到的結果.圖4a和圖4b分別展示了兩種反演得到的矩張量差異角Δφ分布，可以看到引入旋轉的反演結果對應的Δφ更小，說明反演質量得到了顯著提升.圖4c展示了兩種情況下反演得到的地震矩分布結果，引入旋轉分量的反演結果在1附近分布更多，標準差更小，說明旋轉分量對地震矩起到了很好的約束作用.

圖4d顯示了采用不同深度的格林函數(shù)進行反演得到的歸一化殘差(式(5))，可以看到平動反演的殘差幾乎不隨深度發(fā)生變化，但加入旋轉記錄后，反演深度與正演深度(10 km)不一致時殘差會顯著增加，說明旋轉對于深度有顯著強于平動的分辨能力，這與Donner 等(2016)的結論一致.我們推測其原因是在較低的頻段下旋轉地震被與深度相關的低階面波主導，對深度非常敏感，也因此對與深度相關的矩張量元素(Mxz、Myz、Mzz)有更強的約束能力.在附圖1中，我們展示了由不同深度的Myz激發(fā)的Z分量平動與旋轉格林函數(shù)波形，并計算了它們與真實震源深度(10 km)下的格林函數(shù)波形之間的歸一化殘差，可見旋轉格林函數(shù)波形隨深度發(fā)生的變化較平動更為顯著，印證了旋轉記錄對深度的強分辨能力.

附圖1 (a)不同深度下Myz在圖3a臺站激發(fā)的Z分量旋轉格林函數(shù)波形，波形下的數(shù)值為它們與10 km情況的格林函數(shù)波形的殘差(類似于式(5))；(b)類似于(a)但為平動格林函數(shù)；(c)(a)和(b)中的殘差隨深度變化曲線，紅色為旋轉分量，藍色為平動分量Fig.A1 (a)The Z component rotational Green′s functions at station in Fig.3a excited by Myz at different depth,the numbers under the waves are the Misfits (similar to equation (5))between them and the condition in 10 km.(b)Similar to (a)but for translational Green′s functions.(c)Misfits in (a)and (b)at different depth,the red ones denote rotational components while the blue ones denote translational components

圖4 單臺平動加旋轉和單臺平動反演結果比較(a)單臺平動反演得到的矩張量差異角Δφ分布，綠色的豎線和黃色的豎線分別代表Δφ中位數(shù)處和90%的位置;(b)單臺平動加旋轉反演結果，圖件說明同(a);(c)地震矩(即M0)結果分布，紅色和藍色柱狀圖分別為單臺平動加旋轉和單臺平動的結果，紅色和藍色曲線為擬合得到的最佳正態(tài)分布曲線;(d)用不同深度的格林函數(shù)反演得到的波形與原始波形的平均殘差，紅色和藍色曲線分別為平動加旋轉和平動的結果.Fig.4 Comparison of the inversion results from inversions with translational and rotational components at 1 station and those using only translational components at 1 station(a)The distribution of Δφ obtained by using only translational components.The green bar denotes the medium value of Δφ and the yellow bar denotes the 90% position.(b)The distribution of Δφ obtained by using both translational and rotational components.Please refer to (a)for captions.(c)The distribution of seismic moments (M0).The blue bars and red bars denote results obtained by using both translational and rotational components,and only translational,respectively.The blue and red curves denote respectively the fitting curves of normal distribution for them.(d)The mean Misfits between the original waveforms and the inverted waveforms with Green′s functions at different depths.The red and blue curves denote the results using both translational and rotational components,and only translational components,respectively.

圖5展示了兩種情況下得到的不同矩張量元素的差異分布，我們發(fā)現(xiàn)加入旋轉反演后所有矩張量元素結果都得到了改善，其中Myz的改善最為顯著.圖6給出了各矩張量元素在臺站產(chǎn)生的平動與旋轉的最大幅度，其中Mzz激發(fā)的Z方向旋轉振幅為0，圖中未畫出.可以觀察到不同矩張量元素激發(fā)出的三分量平動和旋轉的振幅都具有非常好的互補性，在反演中它們將聯(lián)合作用，提高對矩張量元素的約束能力.可以推測，如果在反演中給予平動和旋轉不同的權重，結果也將發(fā)生變化.若給予旋轉較大權重，則旋轉約束較好的矩張量元素會更可靠，反之平動約束較好的矩張量元素會更可靠.整體而言，二者權重不宜相差過大，否則其互補作用將不能充分體現(xiàn)，因此本文將平動和旋轉的權重設為1∶1.

圖5 輸入和反演得到的矩張量各元素的差異分布圖其中藍色柱狀圖為單臺平動反演結果，紅色柱狀圖為單臺平動加旋轉反演結果.藍色和紅色曲線是分別用正態(tài)分布進行擬合得到的它們的最佳正態(tài)分布曲線.Fig.5 The distribution of difference between the input and inverted moment tensor elementsThe blue bars are for that using only translational components at 1 station,while the red bars are for that using both translational and rotational components at 1 station.The blue and red curves denote respectively the best fitting curves of normal distribution for them.

圖6 各矩張量元素在圖3a臺站處產(chǎn)生的平動和旋轉分量的最大振幅的對數(shù)值(a)E方向(正東);(b)N方向(正北);(c)Z方向(豎直向上).Fig.6 The logarithmic value of the maximum amplitudes of translational and rotational ground motions produced by different moment tensor elements at the station shown in Fig.3a(a)E component (east);(b)N component (north);(c)Z component (vertical).

3.2 雙臺平動三分量與單臺平動加旋轉六分量

本節(jié)我們考慮對比兩種情況：①在單臺三分量平動的基礎上增加一個臺站的三分量平動；②在單臺三分量平動的基礎上加入該臺站的三分量旋轉.在情況①中，原臺站位于正北方震中距為1°處，分別嘗試在正東方1°處和正南方1°處增加一個臺站的三分量平動(圖3b和圖3c)，反演結果及其比較見圖7.

對比圖7a—b與圖4b—c，雖然在正南方向增加一個平動臺站相比單臺平動反演有一定改進，但仍不如在原臺站處增加旋轉分量.然而，當額外增加的平動臺站位于正東時(圖7c—d)，其結果與單臺平動加旋轉反演接近.實際上不論是增加旋轉還是增加平動，本質上都是提供額外的信息，由于提供的信息不同，提升的作用存在差異.對比圖7e和圖7f可以看到，在正東增加臺站可以較好地改進之前約束最差的Myz，但在正南增加臺站提供的信息與原正北臺站重復度較高，對Myz的約束依然不好.整體而言，在單臺平動反演基礎上增加旋轉能起到強于額外增加一個平動臺站的作用，尤其是對于Δφ較大的矩張量，改進效果更為顯著.

圖7 (a)、(b)南-北臺站(圖3b)平動反演結果；(c)、(d)東-北臺站(圖3c)平動反演結果，圖件說明同圖4a、c；(e)臺站分布為圖3b時Myz的誤差結果；(f)臺站分布為圖3c時Myz的誤差結果Fig.7 (a)(b)Inversion results obtained with only translational components of 2 stations in the south and the north (Fig.3b),(c)(d)Inversion results obtained with only translational components of 2 stations in the east and the north (Fig.3c),please refer to Fig.4a,c for captions.(e)Error of Myz with the station distribution in Fig.3b.(f)Error of Myz with the station distribution in Fig.3c

3.3 雙臺六分量、四臺平動三分量與四臺六分量

針對方位角覆蓋更充分的四個臺站的情況(圖3d)，我們展示和比較了北-東雙臺平動加旋轉分量和東-西-南-北四臺平動分量的結果對比(圖8)，可以看到二者Δφ和地震矩的分布結果相近，這說明它們提供的約束程度基本相當.另外，四臺平動加旋轉分量的反演效果相比四臺平動反演有顯著提升(圖9).值得注意的是，格林函數(shù)波形歸一化殘差隨深度變化的趨勢(圖8d、圖9d)與3.1和3.2節(jié)結果相似：加入旋轉都能顯著提升對矩心深度的分辨能力.整體而言，在稀疏臺站的情況下，在已有臺站加入旋轉分量能起到不弱于甚至強于增加相同數(shù)量的平動分量的作用.

圖8 北-東雙臺平動加旋轉分量與四臺平動分量(圖3d)的反演結果比較，圖件說明同圖4Fig.8 Comparison of the inversion results obtained with translational and rotational components of 2 stations in the north and the east,and those obtained with only translational components of 4 stations (Fig.3d).Please refer to Fig.4 for captions

圖9 四臺平動加旋轉分量與四臺平動分量(圖3d)反演結果比較，圖件說明同圖4Fig.9 Comparison of the inversion results obtained with translational and rotational components of 4 stations,and those obtained with only translational ground motions of 4 stations (Fig.3d).Please refer to Fig.4 for captions

3.4 16臺六分量與32臺平動三分量

最后，考慮臺站覆蓋足夠充分的16臺平動加旋轉分量與32臺平動分量(圖3e)的情況，反演結果比較見圖10，可以看到在原臺站處增加旋轉比額外增加同樣數(shù)量的平動臺站結果更好，這說明旋轉分量提供的空間梯度信息比增加一倍數(shù)目的平動分量提供的信息更有效.圖11展示了各個矩張量元素誤差的情況，可以觀察到除Mzz外其他矩張量元素的反演誤差都很小，而加入旋轉分量對于Mzz結果的改善非常明顯.加入旋轉分量對Mzz結果的改善可能也與深度相關，旋轉被低階面波主導，因此在矩心深度更準確的同時對Mzz的約束也更加有效.以上結果說明，在平動臺站方位角及震中距覆蓋充分的情況下，增加平動臺站的密度可能效果比較有限，而在原有臺站的基礎上增加旋轉分量，能提供位移所欠缺的空間梯度信息，從而更好地約束矩張量反演結果.

圖10 16臺平動加旋轉分量和32臺平動分量(圖3e)的反演結果比較，圖件說明同圖4Fig.10 Comparison of the inversion results obtained with translational and rotational components of 16 stations,and those obtained with only translational components of 32 stations (Fig.3e).Please refer to Fig.4 for captions

圖11 16臺平動加旋轉分量與32臺平動分量(圖3e)情況下輸入和反演得到的各矩張量元素的差異分布圖，圖件說明同圖5Fig.11 The distribution of difference between the input and inverted moment tensors obtained with translational and rotational components of 16 stations,and with only translational components of 32 stations (Fig.3e).Please refer to Fig.5 for captions

4 討論

前述的反演試驗都是在特定條件下進行，比如頻段都是0.005～0.02 Hz，添加噪聲之后的波形信噪比都為10，接下來對這些可能影響試驗結果的因素做進一步的試驗和討論.

4.1 頻段的影響

保持其他條件不變，在圖3b所示的臺站分布下，保持頻率下限0.005 Hz不變，嘗試不同的頻率上限，比較南-北雙臺平動加旋轉分量、正北單臺平動加旋轉分量和南-北雙臺平動分量的結果.為了更好的量化比較，我們主要考察Δφ在中位數(shù)和90%處的數(shù)值，并探究它們隨頻率的變化.從圖12a—b中可以看到，這三種情況得到的反演效果都隨頻率上限升高而變差，但是雙臺平動分量和雙臺平動加旋轉分量的結果整體變化幅度相對較小，而單臺平動加旋轉分量的結果隨著頻率增加而急劇變差.這可能是使用相對高頻的成分進行矩張量反演時，需要更好的方位角覆蓋.同時也觀察到雙臺平動加旋轉分量的結果普遍略好于雙臺平動分量，也就是說在相對寬的頻段的情況下加入旋轉依然可以起到一定的作用，但作用可能相對比較有限.

圖12 (a)Δφ中位數(shù)(圖4中的綠色豎線)隨頻率上限變化圖；(b)Δφ 90%數(shù)值(圖4中的黃色豎線)隨頻率上限變化圖；(c)頻率上限為0.02 Hz時用不同深度的格林函數(shù)反演得到的平均反演殘差分布；(d)同(c)但頻率上限為0.1 Hz圖中藍色、黑色、紅色曲線分別為雙臺平動分量、單臺平動加旋轉分量、雙臺平動加旋轉分量(圖3b)的反演結果.Fig.12 (a)The variation of the medium values (the green bar in Fig.4)of Δφ inverted with different upper cut-off frequencies.(b)The value of Δφ at the 90% positions (the yellow bar in Fig.4)with different upper cut-off frequencies.(c)The mean Misfits of inversions with Green′s functions at different depths when the upper cut-off frequency is 0.02 Hz.(d)Similar to (c)but the upper cut-off frequency is 0.1 HzThe blue,black,red curves denote results obtained by using 3 translational components at 2 stations,translational and rotational compoenents at 1 station,translational and rotational compoenents at 2 stations (Fig.3b),respectively.

此外，可以觀察到隨著頻率的升高，Δφ變化不完全單調，這可能是由于平動和旋轉記錄對不同頻率成分的敏感性不同，且它們受到噪聲的影響可能有差異.隨著頻率的升高，如果新加入進來的頻段受噪聲影響相對較小，信息更有效，就會對矩張量反演起到改善作用，反之則會引入錯誤信息甚至掩蓋原有頻段的正確信息，使反演結果變差.此外，隨著頻率的升高，旋轉對于深度的約束作用逐漸下降(圖12c—d)，說明隨著頻段升高，高頻成分增加，原本對深度敏感的低頻低階面波的貢獻減小了.

為了探究上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，我們對合成波形的頻譜進行分析.比較兩種情況下的頻譜：①f1：原始合成波形加噪聲并濾波后的頻譜；②f0：原始合成波形直接濾波后的頻譜.為了更好量化頻譜的差異，定義如下的頻譜差異Δ(f)：

(8)

其中|f0|代表f0的模的大小，計算不同頻段下的Δ(f)可以觀察添加噪聲對波形頻譜的影響.所有24624個矩張量合成波形的平均Δ(f)隨頻率上限的變化如圖13所示，整體而言在頻率下限0.005 Hz不變的情況下，頻段越寬噪聲對頻譜的影響越大，且對旋轉的影響普遍大于平動，這可能是頻率上限升高后加入旋轉反演對結果提升不再顯著甚至變差的原因.注意到在頻率上限較低時(小于0.02 Hz時)，二者基本上重合，也就是在較低的頻段下添加噪聲對平動和旋轉的影響基本相當.為保證旋轉記錄對矩張量元素更有效地約束作用，可能需要選擇相對較低的頻帶(比如0.005～0.02 Hz)進行反演.

圖13 平均Δ(f)(式(8))隨頻率上限變化的關系圖藍色和紅色分別為平動和旋轉波形的平均Δ(f).Fig.13 Relationship between mean Δ(f)(equation (8))and the upper frequencyThe blue and red curves denote the mean Δ(f)of translational and rotational components,respectively.

4.2 不同信噪比的討論

保持其他條件不變，本文測試了不同信噪比的影響.從圖14中可以觀察到隨著信噪比的增加，三種情況的反演效果都會變好，但含旋轉的情況隨信噪比變化相對較小，這可能是由于對深度敏感的低階面波在較低的頻段(0.005～0.02 Hz)不易受到噪聲的影響.我們還注意到，至少在測試的信噪比范圍內，雙臺平動加旋轉分量具有絕對優(yōu)勢，單臺平動加旋轉分量也普遍優(yōu)于雙臺平動分量，尤其在低信噪比的情況下.

圖14 不同信噪比時的反演結果，圖件說明同圖12(a)Δφ中位數(shù)；(b)Δφ在90%處的數(shù)值.Fig.14 Inversion results with different signal-to-noise ratios.Please refer to Fig.12 for captions(a)Medium values of Δφ;(b)Values of Δφ at the 90% position.

4.3 震中距的影響

保持其他條件不變，臺站仍位于正南和正北，本文測試了不同震中距的情況，結果如圖15所示.可以觀察到雙臺平動加旋轉分量仍有絕對優(yōu)勢，而單臺平動加旋轉分量在部分情況下相比雙臺平動分量仍有優(yōu)勢.整體而言震中距越小越有優(yōu)勢，可能是由于旋轉的近場項衰減較快，在相對近場的情況下旋轉的作用更強.

圖15 不同震中距時使用不同數(shù)據(jù)的反演結果，圖件說明同圖12(a)Δφ中位數(shù)；(b)Δφ在90%處的數(shù)值.Fig.15 Inversion results with different epicentral distances.Please refer to Fig.12 for captions.(a)Medium values of Δφ;(b)Values of Δφ at the 90% position.

4.4 考慮速度結構模型誤差時

保持其他條件不變，改變反演中計算格林函數(shù)的速度結構模型(見圖2b—c)，比較雙臺平動加旋轉分量和雙臺平動分量的結果，如圖16所示.可以觀察到加入旋轉的結果受到了非常嚴重的影響，Δφ分布顯著變大，這表明旋轉對于速度結構變化非常敏感.這個現(xiàn)象與旋轉對深度敏感類似，本質上與格林函數(shù)相關，速度結構改變對旋轉格林函數(shù)的影響遠大于平動.有學者在旋轉分量的研究中針對一維和三維速度結構也做了討論(Donner et al.，2020)，發(fā)現(xiàn)用三維速度結構反演時加入旋轉效果會更好，這和我們的結論在一定程度上是一致的.這也提示我們，未來用實際旋轉數(shù)據(jù)反演矩張量時，應該用盡可能準確的速度結構，否則旋轉分量可能會放大模型中的錯誤信息對結果造成負面影響.但另一方面，由于對地下速度結構非常敏感，旋轉記錄在地下速度結構的反演工作中也可起到非常重要的作用.

圖16 正反演速度結構模型不同時(圖2b—c)不同數(shù)據(jù)反演結果對比，圖件說明同圖4Fig.16 The comparison of the inversion results when different velocity models are used in forward modeling and inversion (Fig.2b—c).Please refer to Fig.4 for captions

綜合上述所有數(shù)值試驗，在速度模型相對準確且頻段合適的情況下，在原有平動臺站增加旋轉分量具有絕對優(yōu)勢，Δφ普遍減小30%以上；若保持總記錄數(shù)量不變(即在部分臺站增加旋轉替代其他臺站的平動)，Δφ在90%處的數(shù)值普遍比只用平動小，這進一步證實了旋轉分量對矩張量元素的約束能力.在平動記錄基礎上引入旋轉分量，有助于得到更準確的矩張量結果.

5 總結與展望

本文從地震動旋轉分量的理論公式出發(fā)，首先給出了均勻無限空間中位錯點源激發(fā)的旋轉分量和平動分量輻射花樣的互補性，從理論上說明加入旋轉分量能為矩張量反演提供額外的信息.隨后基于層狀介質模型的格林函數(shù)和復雜震源時間函數(shù)，合成得到了平動和旋轉的理論地震圖.在此基礎上開展了多種情況下的矩張量反演試驗，對不同的頻段范圍等試驗條件進行了比較討論，確證了旋轉分量可以更好地約束矩張量反演結果，以及旋轉分量對矩心深度分辨率更高等結論.

盡管旋轉分量的應用可能需要一定的前提，比如較為準確的速度結構和較低的頻段，整體而言，將旋轉分量應用到矩張量反演中是可行的.比如本文研究發(fā)現(xiàn)，在已有臺站處增加旋轉分量可以更好地約束矩張量反演結果，起到不弱于甚至強于新增平動分量的作用，這適用于臺站非常稀疏的情況，比如偏僻的海島等極端的自然環(huán)境下，在同一個臺站同時布設平動地震儀和旋轉地震儀的成本和難度遠小于布設二倍數(shù)量的平動臺站.另一方面我們也發(fā)現(xiàn)，在臺站非常密集、方位角覆蓋已經(jīng)比較充分的情況下，在已有臺站增加旋轉分量比增加同樣數(shù)量的平動臺站更有效，這可為在觀測條件較好的地區(qū)繼續(xù)提升地震監(jiān)測能力提供思路.當然，在實際旋轉數(shù)據(jù)反演中，由于模型和觀測的誤差非常復雜，與我們開展數(shù)值試驗得到的認識仍然可能存在一些差異，未來還需要針對實際問題進行更多的分析和討論.

致謝作者感謝北京大學課程“地球物理研究的論文寫作指導”(課程號01201110)對本文語言表述的提升和潤色.