摘 要：本文基于虛功原理，推導(dǎo)了通過(guò)力學(xué)平衡方程計(jì)算運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的方法，并將該方法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析法做了對(duì)比，驗(yàn)證了其可靠性。該方法原理簡(jiǎn)單，可以快速直觀地分析硬點(diǎn)位置與運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：懸架 運(yùn)動(dòng)學(xué) 硬點(diǎn)

Abstract：Based on the principle of virtual work， this paper deduces the method of calculating kinematic characteristics by mechanical equilibrium equation， and compares the calculation results of this method with the numerical analysis method to verify its reliability. This method is simple in principle and can quickly and intuitively analyze the relationship between hard point position and kinematic characteristics.

Key words：suspension， kinematics， hard point

在懸架硬點(diǎn)的設(shè)計(jì)工作中，設(shè)計(jì)者需要獲取硬點(diǎn)參數(shù)對(duì)應(yīng)的懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，用以優(yōu)化硬點(diǎn)設(shè)計(jì)。目前，基于數(shù)值方法求解的計(jì)算機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真工具已得到廣泛運(yùn)用，能夠根據(jù)硬點(diǎn)位置較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)對(duì)應(yīng)的懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，適合作為設(shè)計(jì)凍結(jié)前的準(zhǔn)確分析手段。但在初期的硬點(diǎn)布置方案確定時(shí)，采用圖解法可以更快速直觀地分析硬點(diǎn)位置與運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的關(guān)系，適合進(jìn)行總體硬點(diǎn)布置方案的規(guī)劃。

但圖解法的適用范圍比較有限，只能適用于麥弗遜、雙橫臂懸架以及從這兩種懸架形式衍生的，布置方式接近麥弗遜、雙橫臂的多連桿懸架。對(duì)于很多特殊形式的多連桿懸架，例如E型多連桿，H臂型多連桿等，無(wú)法使用圖解法進(jìn)行分析。另外，圖解法對(duì)于跳動(dòng)轉(zhuǎn)向性能的分析也十分局限。

本文提供一種簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算方法，不需要通過(guò)數(shù)值方法求解，僅通過(guò)矩陣計(jì)算，即可根據(jù)已知硬點(diǎn)參數(shù)獲取對(duì)應(yīng)懸架姿態(tài)下各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)及其變化率，可以像圖解法一樣快速直觀地分析硬點(diǎn)位置與運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的關(guān)系，同時(shí)能適應(yīng)絕大部分獨(dú)立懸架形式。原理上，基于虛功原理，不需要深刻的運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，只需要掌握基本的力學(xué)平衡方程，即可建立硬點(diǎn)參數(shù)與運(yùn)動(dòng)學(xué)特性間的關(guān)聯(lián)。

1 計(jì)算方法

下面以H臂型多連桿懸架為例，分析其彈簧杠桿比，跳動(dòng)轉(zhuǎn)向和外傾角變化三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。

如圖所示為H臂型多連桿懸架的一般形式，其桿件包括一根前束拉桿，一根外傾拉桿，兩者沿車(chē)身Y向布置，一端與轉(zhuǎn)向節(jié)通過(guò)柔性襯套連接，另一端與車(chē)身或副車(chē)架通過(guò)柔性襯套連接;H形控制臂，與副車(chē)架（或車(chē)身）通過(guò)兩個(gè)襯套鉸點(diǎn)連接，形成一個(gè)內(nèi)樞軸，另一端與轉(zhuǎn)向節(jié)之間除了有一個(gè)直接連接的襯套鉸點(diǎn)外，還通過(guò)一根沿車(chē)身Z向布置的小連桿連接，該小連桿通過(guò)兩個(gè)襯套分別較與H形控制臂和轉(zhuǎn)向節(jié)。

這類懸架可以以緊湊的縱向布置實(shí)現(xiàn)較理想的側(cè)視圖運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，其H形控制臂的受力情況較復(fù)雜。

1.1 力學(xué)平衡方程

如圖，硬點(diǎn)坐標(biāo)系OXYZ取車(chē)身后方為X軸正方向，車(chē)身右側(cè)為Y軸正方向，豎直上方為Z軸正方向。

設(shè)外側(cè)（轉(zhuǎn)向節(jié)側(cè)）硬點(diǎn)坐標(biāo)：

取輪心O坐標(biāo)為原點(diǎn);外傾拉桿外點(diǎn)D1坐標(biāo)為XD1，YD1，ZD1。

前束拉桿外點(diǎn)D2坐標(biāo)為XD2，YD2，ZD2。

H形控制臂連接轉(zhuǎn)向節(jié)的外鉸點(diǎn)D3坐標(biāo)為XD3，YD3，ZD3。

轉(zhuǎn)向節(jié)連接小連桿的鉸點(diǎn)D4坐標(biāo)為XD4，YD4，ZD4。

由內(nèi)側(cè)和外側(cè)（車(chē)身/副車(chē)架側(cè)）硬點(diǎn)坐標(biāo)，可計(jì)算外傾拉桿、前束拉桿和小連桿的內(nèi)外硬點(diǎn)連線矢量，由于這三根連桿內(nèi)外鉸點(diǎn)可等效為球鉸，忽略其慣量，連桿可視為二力桿，該連線矢量也即連桿的受力方向。

簡(jiǎn)明起見(jiàn)，此處直接設(shè)連桿的內(nèi)外硬點(diǎn)連線單位矢量：

外傾拉桿內(nèi)外硬點(diǎn)連線（由內(nèi)點(diǎn)指向外點(diǎn)）單位矢量f1=[f1X;f1Y;f3Z];

前束拉桿內(nèi)外硬點(diǎn)連線（由內(nèi)點(diǎn)指向外點(diǎn)）單位矢量f2=[f2X;f2Y;f2Z];

小連桿內(nèi)外硬點(diǎn)連線（由控制臂較點(diǎn)指向轉(zhuǎn)向節(jié)較點(diǎn)）單位矢量f4=[f4X;f4Y;f4Z]。

設(shè)連接H形控制臂的彈簧下點(diǎn)S坐標(biāo)為XS，YS，ZS;

H形控制臂內(nèi)樞軸上的某點(diǎn)E坐標(biāo)為XE，YE，ZE;

H形控制臂連接小連桿的外鉸點(diǎn)D5坐標(biāo)為XD5，YD5，ZD5;

彈簧軸線單位矢量（由上點(diǎn)指向下點(diǎn)）為fS=[fSX;fSY;fSZ];

H形控制臂內(nèi)樞軸單位矢量為I=[IX;IY;IZ]。

以輪心為參考點(diǎn)，設(shè)車(chē)輪（轉(zhuǎn)向節(jié)）受到的外部作用力為F=[FX;FY;FZ];

外部作用力矩為M=[MX;MY;MZ]。

設(shè)車(chē)輪（轉(zhuǎn)向節(jié)）受到懸架桿件的作用力：

轉(zhuǎn)向節(jié)受到外傾拉桿作用力大小為F1（力由桿件指向轉(zhuǎn)向節(jié)方向?yàn)檎?

轉(zhuǎn)向節(jié)受到前束拉桿作用力大小為F2（力由桿件指向轉(zhuǎn)向節(jié)方向?yàn)檎?

轉(zhuǎn)向節(jié)在其與H形控制臂的鉸點(diǎn)處受力為F3=[F3X F3Y F3Z];

轉(zhuǎn)向節(jié)受到小連桿作用力大小為F4（力由桿件指向轉(zhuǎn)向節(jié)方向?yàn)檎?/p>

則關(guān)于轉(zhuǎn)向節(jié)有受力平衡方程：

FT=AH2TFH

其中FH為硬點(diǎn)力向量，F(xiàn)T為輪胎外力向量，AT2H為轉(zhuǎn)化矩陣，對(duì)應(yīng)有：

則可根據(jù)硬點(diǎn)受力求車(chē)輪受力情況，反之亦然 。

當(dāng)根據(jù)車(chē)輪受力求得硬點(diǎn)力時(shí)，可進(jìn)一步求得彈簧受力。分析方法與轉(zhuǎn)向節(jié)受力分析相同：設(shè)彈簧力為Fs（彈簧受壓縮力為正）;以H形控制臂內(nèi)樞軸上任一點(diǎn)E為參考點(diǎn)，將車(chē)身/副車(chē)架對(duì)控制臂的作用力和力矩設(shè)為對(duì)該點(diǎn)的FE=[FEX;FEY;FEZ]和ME =[MEX;MEY;MEZ]，則有ME×I=0，結(jié)合以求得的F3=[F3X F3Y F3Z]與F4，以及H形控制臂相關(guān)硬點(diǎn)位置，對(duì)控制臂做受力分析得平衡方程：

FI=AH2IFH2

其中FH2為控制臂外硬點(diǎn)受力向量，F(xiàn)I為內(nèi)樞軸及彈簧力向量，AH2I為轉(zhuǎn)化矩陣，對(duì)應(yīng)有：

簡(jiǎn)明起見(jiàn)，略去AH2I表達(dá)式。

1.2 彈簧杠桿比分析

彈簧杠桿比為單位車(chē)輪跳動(dòng)量對(duì)應(yīng)的彈簧壓縮量，同時(shí)也等效于懸架靜態(tài)壓縮時(shí)單位彈簧彈力變化對(duì)應(yīng)的車(chē)輪垂向力變化。則根據(jù)前面的力學(xué)平衡方程求出加載車(chē)輪垂向力時(shí)，產(chǎn)生的彈簧力Fs與車(chē)輪垂向力Fz的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可求出杠桿比。

可以看到，杠桿比表達(dá)式中的系數(shù)都是僅由硬點(diǎn)位置決定的參數(shù)，因此可由硬點(diǎn)參數(shù)直接導(dǎo)出杠桿比。

1.3 跳動(dòng)轉(zhuǎn)向/外傾角增益分析

跳動(dòng)轉(zhuǎn)向?yàn)閱挝卉?chē)輪跳動(dòng)量對(duì)應(yīng)的前束角變化。根據(jù)虛功原理，可以知道，其等效于車(chē)輪受到單位回正力矩對(duì)應(yīng)的車(chē)輪垂向力變化。因此根據(jù)力學(xué)平衡方程，求出加載車(chē)輪回正力矩時(shí)，產(chǎn)生的垂向力Fz與回正力矩Mz的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可求出跳動(dòng)轉(zhuǎn)向值。

由前面的平衡方程可知，如果轉(zhuǎn)向節(jié)硬點(diǎn)處受力都是未知量，根據(jù)現(xiàn)有的平衡方程數(shù)量不足以直接求出Fz與Mz的關(guān)系，因此需要增加一個(gè)約束條件：加載回正力矩Mz時(shí)，彈簧受力Fs不產(chǎn)生變化。

這樣，若要直接求Fz與Mz的關(guān)系，就需要將前面的方程（1）和（5）聯(lián)立，計(jì)算較復(fù)雜;為簡(jiǎn)化方程，我們可以分三步計(jì)算：①求僅加載垂向力Fz時(shí)，產(chǎn)生的彈簧力Fs變化與Fz的關(guān)系;②求僅加載回正力矩Mz時(shí)，產(chǎn)生的彈簧力Fs變化與Mz的關(guān)系;③最后將前兩步的計(jì)算結(jié)果聯(lián)立，求Fs不變時(shí)垂向力Fz變化與Mz的關(guān)系。

顯然，第①步在前面求杠桿比時(shí)已經(jīng)完成。按照同樣的方式進(jìn)行第②步，求彈簧力隨回正力矩的變化率MAlign：

令FX，F(xiàn)Y，F(xiàn)Z，MX，MY為0，則

求跳動(dòng)轉(zhuǎn)向（角度以弧度表示）：

同理，外傾角增益——單位車(chē)輪跳動(dòng)量對(duì)應(yīng)的外傾角變化，可以轉(zhuǎn)化為求加載車(chē)輪傾覆力矩時(shí)，保持彈簧力Fs不變，產(chǎn)生的垂向力Fz與傾覆力矩MX的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

可得外傾角增益（角度以弧度表示）：

1.4 小結(jié)

上面以三個(gè)常見(jiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性為例，進(jìn)行了推導(dǎo)，它們都可以根據(jù)硬點(diǎn)參數(shù)直接計(jì)算。同理可推導(dǎo)出大部分運(yùn)動(dòng)學(xué)特性參數(shù)的表達(dá)式，包括側(cè)傾中心高度，抗制動(dòng)點(diǎn)頭角，抗加速后蹲角，車(chē)輪跳動(dòng)俯仰變化率等等（需要對(duì)輪胎接地點(diǎn)進(jìn)行分析）。還可以方便地推導(dǎo)出一些不常見(jiàn)，但實(shí)用的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，例如外傾拉桿長(zhǎng)度變化對(duì)車(chē)輪外傾角變化的影響、前束拉桿長(zhǎng)度變化對(duì)車(chē)輪前束角變化的影響等，用于估算前束/外傾角調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)所需滿足的調(diào)節(jié)范圍。

注意這種方法推導(dǎo)出的變化率都是輸入的硬點(diǎn)參數(shù)對(duì)應(yīng)懸架行程下，相應(yīng)的變化率，不能體現(xiàn)整個(gè)跳動(dòng)行程中運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)曲線的整體走向。

大部分常見(jiàn)獨(dú)立懸架形式，如麥弗遜，雙橫臂，E型多連桿，五連桿等等，都適用該分析方法。

2 與數(shù)值分析方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

取同樣的H臂型多連桿懸架形式，設(shè)置同樣的硬點(diǎn)參數(shù)，對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)特性分別用數(shù)值方法做運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，以及用上述力學(xué)分析方法計(jì)算，其結(jié)果如下。

表1是用數(shù)值方法分別在輪心位置為-2mm，0mm和2mm處求解得到的幾項(xiàng)懸架參數(shù)值，下面分別計(jì)算這幾項(xiàng)參數(shù)隨輪心垂向跳動(dòng)的變化率，并將其與力學(xué)分析方法直接計(jì)算得到的變化率放在一起對(duì)比，如表2所示。

可以看到，受力分析法得到的變化率在數(shù)值方法求解得到的兩組值之間。可以預(yù)見(jiàn)，隨著數(shù)值分析步長(zhǎng)的減小，其計(jì)算結(jié)果將越來(lái)越接近受力分析法的計(jì)算結(jié)果。

從前面的分析可以知道，受力分析法計(jì)算的變化率都是通過(guò)體現(xiàn)硬點(diǎn)參數(shù)的解析式直接計(jì)算得到的，不需要進(jìn)行數(shù)值迭代，因此該方法雖然不能體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)曲線整體走向，但在求參數(shù)變化率時(shí)，一方面更節(jié)約計(jì)算資源，另一方面精度更高，其精度完全取決于四則運(yùn)算的精度，不受迭代方法影響。

用數(shù)值分析法做運(yùn)動(dòng)學(xué)求解時(shí)，如果結(jié)合該分析方法，做不同懸架行程下的參數(shù)變化率計(jì)算，可以在采用較大步長(zhǎng)時(shí)仍不影響精度。

3 總結(jié)

本文基于虛功原理，推導(dǎo)了通過(guò)力學(xué)平衡方程計(jì)算運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的方法，并將該方法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析法做了對(duì)比，驗(yàn)證了其可靠性。

3.1 該計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)：

（1）通過(guò)解析式計(jì)算，速度快（編輯公式后可即時(shí)得到結(jié)果），精度高;

（2）原理簡(jiǎn)單，便于實(shí)現(xiàn)。

3.2 該計(jì)算方法的缺點(diǎn)：

不能直接體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)曲線的整體走向。

3.3 該計(jì)算方法的適用場(chǎng)合：

（1）硬點(diǎn)初步設(shè)計(jì)時(shí)，代替圖解法，對(duì)較復(fù)雜的懸架形式做初期布置方案的確定（建議用Excel實(shí)現(xiàn)）;（2）估算前束/外傾角調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)所需滿足的調(diào)節(jié)范圍;（3）數(shù)值分析法做運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真時(shí)，結(jié)合該分析方法求解，提高部分參數(shù)計(jì)算精度。

參考文獻(xiàn)：

[1]王霄峰.《汽車(chē)懸架和轉(zhuǎn)向系統(tǒng)設(shè)計(jì)》.

[2]（美）E·J·豪格 著，劉興祥等譯.《機(jī)械系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)》.

[3]《理論力學(xué)》.

作者簡(jiǎn)介

呂近添：（1995.02—），男，湖南冷水江人，本科，試驗(yàn)工程師。研究方向：汽車(chē)操縱穩(wěn)定性和車(chē)輛動(dòng)力學(xué)。