◎陳 杰

(蘇州旅游與財(cái)經(jīng)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 蘇州 215104)

一、引 言

在許多實(shí)際問題中，人們常常需要尋求變量之間的函數(shù)關(guān)系.有時(shí)這種關(guān)系無法直接建立起來，但是可以建立起該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種關(guān)系式就是微分方程.微分方程是在處理實(shí)際問題中產(chǎn)生的，縱觀微分方程的發(fā)展，它與物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)以及天文學(xué)等方面都有著密切的聯(lián)系，例如飛行器的運(yùn)行軌跡，污染物濃度的變化，介質(zhì)的傳播，傳染病的擴(kuò)散與控制等都會(huì)用到微分方程的理論.

數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的思想方法對(duì)復(fù)雜的現(xiàn)象進(jìn)行分析，并用數(shù)學(xué)語言描述其中的關(guān)系或規(guī)律，抽象出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題并加以解決.數(shù)學(xué)建模的過程就是一個(gè)分析問題、解決問題的創(chuàng)造性思維過程，也是一個(gè)演繹推理與歸納總結(jié)相結(jié)合的過程，對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的觀察、假設(shè)、歸納，怎么將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵.對(duì)于不同的問題可以用不同的方法來建立數(shù)學(xué)模型，如常見的運(yùn)動(dòng)變化率的問題可以利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來建立模型，常見的抽樣調(diào)查問題可以利用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)來建立模型，在研究買彩票中獎(jiǎng)的概率的問題可以利用概率論相關(guān)知識(shí)來建立模型等.

二、常微分方程融入數(shù)學(xué)建模思想的措施

在日常的常微分方程教學(xué)中，教師首先要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，善于利用教材中的數(shù)學(xué)模型作為典型案例進(jìn)行分析探索.同時(shí)在案例素材的選擇上也可以緊緊圍繞學(xué)生所學(xué)的專業(yè)或者是日常生活中最常見的問題，通過學(xué)生比較熟悉的案例素材引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的認(rèn)識(shí)與理解，讓學(xué)生利用常微分方程這個(gè)工具去解決專業(yè)中或?qū)嶋H生活中的相關(guān)問題，這在一定程度上還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.其次在日常的常微分方程教學(xué)中，教師要有意識(shí)地結(jié)合數(shù)學(xué)模型進(jìn)行案例教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題抽象化成數(shù)學(xué)模型.這樣可以有效鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維能力，提高學(xué)生實(shí)際問題解決能力.最后教師可采用啟發(fā)討論式的教學(xué)方法并利用現(xiàn)代信息技術(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.在數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程過程中，要引導(dǎo)學(xué)生參與到數(shù)學(xué)建模的各個(gè)環(huán)節(jié)中來，并針對(duì)每個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生展開討論，充分發(fā)揮學(xué)生的能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題并能分析問題、解決問題的能力.教師在教學(xué)中也要教會(huì)學(xué)生利用現(xiàn)代信息技術(shù)建立數(shù)學(xué)模型，這樣可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模有更直觀的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也能簡化模型建立過程中復(fù)雜的數(shù)值運(yùn)算.

三、常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)和實(shí)際問題的紐帶，是數(shù)學(xué)在相關(guān)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用的媒介.數(shù)學(xué)建模的方法有很多種，而利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型是其中重要的一種.常微分方程可以很好地將實(shí)際問題通過數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而能有效地簡化處理問題的過程，將問題解決.

利用常微分方程解決實(shí)際問題一般可按如下步驟進(jìn)行：首先，用數(shù)學(xué)符號(hào)假設(shè)出實(shí)際問題中所涉及的變量和變化率，找出問題中包含的原理以及相關(guān)公式、定理等，根據(jù)問題的規(guī)律列出相應(yīng)的微分方程；其次，對(duì)微分方程進(jìn)行求解或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行進(jìn)一步的定性分析.對(duì)于參數(shù)問題模型需進(jìn)一步討論參數(shù)變化對(duì)于問題的影響；最后，對(duì)結(jié)果進(jìn)行描述、分析、預(yù)測或控制.下面從日常生活、幾何、物理以及經(jīng)濟(jì)等方面常見例子來介紹微分方程在數(shù)學(xué)建模中的廣泛應(yīng)用.

(一)日常生活方面的應(yīng)用

日常生活中的很多問題都可以建立數(shù)學(xué)模型，并利用常微分方程進(jìn)行解決.下面以日常交通出行中最常見的紅綠燈問題以及生活中經(jīng)常出現(xiàn)的溶液稀釋問題為例，介紹常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用.

例1(紅綠燈問題)：在一些大城市中，由于汽車保有量比較大，等紅綠燈時(shí)的擁堵一直是一個(gè)比較麻煩的問題.在紅綠燈轉(zhuǎn)換的過程中通常會(huì)有個(gè)過渡狀態(tài)的黃燈.怎么合理的設(shè)置紅綠燈的時(shí)間，即能保證交通安全又能避免由于車輛積壓造成等候時(shí)間過長，給司機(jī)和乘客造成煩惱，如何設(shè)置黃燈閃爍的時(shí)長，是交通指揮燈經(jīng)常要處理的問題.

例2(溶液稀釋問題)：假設(shè)現(xiàn)有一批工業(yè)鹽溶液，每升溶液中含0.3 kg的工業(yè)鹽，現(xiàn)以2 L/min的速度將溶液倒入裝有10 L純凈水的容器中，溶液在容器里經(jīng)過稀釋后又以相同的速度從容器中流出，問經(jīng)過5 min后，容器中還剩有多少工業(yè)鹽.

解：令時(shí)間t為函數(shù)的自變量，把注入容器經(jīng)過t分鐘時(shí)工業(yè)鹽的數(shù)量看作待求解的未知函數(shù)y(t)，接下來求t到t+Δt這段時(shí)間間隔內(nèi)工業(yè)鹽的變化量.

流入：2ΔtL溶液中含有0.3·2Δt=0.6Δtkg的工業(yè)鹽.

于是，在這段時(shí)間內(nèi)工業(yè)鹽的增量為y(t+Δt)-y(t)=0.6(Δt-0.2)Δt(y(t)+α)，上式除以Δt，當(dāng)Δt→0時(shí)求極限，可得微分方程y′(t)=0.6-0.2y(t).

求通解得y(t)=3+Ce-0.2t，而y(0)=0，代入上式求得特解為y(t)=3-3e-0.2t.

所以，當(dāng)t=5時(shí)，容器中將有y(5)=3-3e-0.2×5=3e-1≈1.9 kg的工業(yè)鹽.

在上例中主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想，在實(shí)例中，引入了時(shí)間變量，建立了微分方程模型，通過求其特解，進(jìn)而求得其結(jié)果.

(二)幾何方面的應(yīng)用

常微分方程還可建立求解幾何問題的數(shù)學(xué)模型，主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′等于函數(shù)所表示曲線上點(diǎn)(x,f(x))處切線的斜率.

例1已知一條曲線通過點(diǎn)(1,3)，且曲線上任何一點(diǎn)(x,y)處切線介于x軸及y=x+1之間的線段正好被切點(diǎn)所平分，求該曲線的方程.

解：設(shè)該曲線的表示式為y=y(x)，則過任意點(diǎn)(x,y)的切線方程可表示為：

Y-y=y′(X-x)

這是一個(gè)一階線性方程，通過計(jì)算可得曲線的方程為：

y2-xy-y=3.

解：設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,y)，則切線NA的方程為Y-y=y′(X-x).令X=0，則Y=y-xy′，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,y-xy′).

(三)物理方面的應(yīng)用

微分方程物理應(yīng)用的范圍很廣，幾乎涉及物理學(xué)的每個(gè)分支，但應(yīng)用得較多的領(lǐng)域是動(dòng)力學(xué)及電學(xué).在動(dòng)力學(xué)中主要用牛頓第二定律，在電路分析中主要用克西霍夫定律.

例1從地球表面垂直向上發(fā)射一枚質(zhì)量為m的火箭，考慮火箭所受空氣阻力可忽略不計(jì)的理想狀態(tài)，設(shè)火箭初速為v0，求火箭能克服地球引力發(fā)射到無窮遠(yuǎn)去的最小速度.

這時(shí)一個(gè)形如y″=f(y,y′)不顯含自變量的二階微分方程，可降階為一階微分方程.

例2在RLC串聯(lián)電路中串接交流電源E0sinωt，求回路電流i(t).

當(dāng)ω≠ω0時(shí)，非齊次方程(1)的通解為

由解得結(jié)果分析可知，當(dāng)ω≠ω0時(shí)，回路電流i(t)是一個(gè)周期振蕩的電流；當(dāng)ω=ω0時(shí)，由于特解中含有tsinω0t項(xiàng)，當(dāng)t→∞時(shí)振幅可趨于無窮，這就是共振現(xiàn)象.

(四)經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用

例1(人口模型)某城市在時(shí)刻t的人口函數(shù)用p=p(t)表示，m及n分別表示該城市的出生率和死亡率，在時(shí)間段Δt內(nèi)出生人口與死亡人口都與Δt成正比.求在不發(fā)生意外的情況下，該城市的人口函數(shù).

解：考慮在時(shí)間段[t,Δt]內(nèi)人口的變化：(m-n)應(yīng)表示人口的自然增長率，一方面，(m-n)p(t)Δt應(yīng)近似表示這個(gè)時(shí)間段內(nèi)人口的變化；另一方面，Δp=p(t+Δt)-p(t)精確表示了這個(gè)時(shí)間段內(nèi)人口的變化，由此Δp≈(m-n)p(t)Δt.

注：生物群體的生滅變化是一個(gè)隨機(jī)過程，本例給出的只是一個(gè)簡化的近似模型.

例2(房貸模型)某客戶向銀行申請(qǐng)住房貸款，貸款本金為y0=20萬元，貸款月利率為λ=0.0045，協(xié)議貸款時(shí)間為300個(gè)月，問該客戶平均每月應(yīng)向銀行還貸本息為多少.(銀行利息需計(jì)復(fù)利)

解：記y(k)為第k個(gè)月還款后尚欠銀行的本息數(shù)，x為每月還貸金額(為常數(shù))，則可建立方程y(k+1)=(1+λ)y(k)-x，初始條件為y(0)=y0，這時(shí)線性差分方程的初值問題：

通過求解可得x=1216.26元.

四、結(jié)束語

常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的廣泛應(yīng)用，將數(shù)學(xué)理論方法與實(shí)際生活巧妙地結(jié)合了起來，將生產(chǎn)生活實(shí)際中不容易解決的難題用數(shù)學(xué)的方法解決.常微分方程建立起來的數(shù)學(xué)模型，一般都是動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)模型，雖然整個(gè)推導(dǎo)過程相當(dāng)復(fù)雜，但是結(jié)果卻是簡單明了.因此，將常微分方程和數(shù)學(xué)建模有機(jī)結(jié)合起來，能夠讓常微分方程在實(shí)際應(yīng)用過程中發(fā)揮更大的作用，解決更多的實(shí)際問題.